クラスターの拡大

統計力学において、クラスター展開（高温展開、ホッピング展開とも呼ばれる）は、相互作用しない0次元場の理論の和集合である模型の周りの統計場の理論の分配関数の冪級数展開である。通常は発散する漸近級数をもたらす通常の摂動展開とは異なり、クラスター展開は、特に相互作用が小さく短距離である場合に、非自明な領域内で収束することがある。

クラスター展開係数は複雑な組み合わせ計算によって計算されます。チュートリアルレビューについては ^{[ 1 ]を参照してください。}

コンテンツ

• 1古典的なケース
  • 1.1一般理論
  • 1.2配置積分の計算
• 2量子力学アプローチ
  • 2.1背景
  • 2.2 N粒子寄与の分類
  • 2.3クラスターの再帰定義
  • 2.4拡張機能
• 3参照
• 4参考文献
• 5さらに読む

古典的なケース

一般理論

統計力学では、相互作用しない粒子系の性質は分配関数を用いて記述される。N個の相互作用しない粒子の場合、系はハミルトニアンで記述される。 $${\displaystyle H_{0}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}},}$$  そして、分配関数は（古典的なケースでは）次のように計算できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{0}&={\frac {1}{h^{3N}N!}}\int \prod _{i}d^{3}\mathbf {p} _{i}\,d^{3}\mathbf {r} _{i}\exp \left[-\beta H_{0}(\{\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}\}})\right]\\[1ex]&={\frac {V^{N}}{h^{3N}N!}}\left({\frac {2\pi m}{\beta }}\right)^{{3N}/{2}}.\end{aligned}}}$$  分配関数からヘルムホルツ自由エネルギーを計算することができる。${\displaystyle F_{0}=-k_{\text{B}}T\ln Z_{0}}$ そして、そこから、エントロピー、内部エネルギー、化学ポテンシャルなど、 システムのすべての熱力学的特性が得られます。

系の粒子が相互作用する場合、分配関数の正確な計算は通常不可能です。低密度の場合、相互作用は2粒子ポテンシャルの和で近似できます。 $${\displaystyle U(\{r_{i}\})=\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{j}u_{2}(|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|)=\sum _{i,j=1 \atop i<j}^{N}u_{2}(r_{ij})。}$$  この相互作用ポテンシャルの分配関数は次のように表される。

$${\displaystyle Z=Z_{0}\Q,}$$  そして自由エネルギーは $${\displaystyle F=F_{0}-k_{\text{B}}T\ln(Q),}$$  ここでQは配置積分である。 $${\displaystyle Q={\frac {1}{V^{N}}}\int \prod _{i}d^{3}\mathbf {r} _{i}\exp \left[-\beta \sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{j}u_{2}(r_{ij})\right].}$$ 

配置積分の計算

配置積分${\displaystyle Q}$ 一般的な対ポテンシャルについては解析的に計算できない ${\displaystyle u_{2}(r)}$ ポテンシャルを近似的に計算する方法の一つは、マイヤークラスター展開を用いることです。この展開は、${\displaystyle Q}$ は、次の形式の積として表すことができます。 $${\displaystyle \exp \left[-\beta \sum _{1\leq i<j\leq N}u_{2}(r_{ij})\right]=\prod _{1\leq i<j\leq N}\exp \left[-\beta u_{2}(r_{ij})\right]}$$ 次に、マイヤー関数を定義する。${\displaystyle f_{ij}}$ による${\displaystyle \exp \left[-\beta u_{2}(r_{ij})\right]=1+f_{ij}}$ 代入後、配置積分の式は次のようになります。

$${\displaystyle Q={\frac {1}{V^{N}}}\int \prod _{i}d^{3}\mathbf {r} _{i}\prod _{1\leq i<j\leq N}\left(1+f_{ij}\right)}$$ 

上記の式の積の計算は、一連の項につながり、最初の項は1に等しく、2番目の項はiとjの項の合計に等しい。${\displaystyle f_{ij}}$ このプロセスは、すべての高次の項が計算されるまで継続されます。

$${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq N}\left(1+f_{ij}\right)=1+\sum _{1\leq i<j\leq N}\;f_{ij}+\sum _{1\leq i<j\leq N,1\leq m<n\leq N \atop i<m\ {\text{or}}\ (i=m\ {\text{and}}\ j<n)}^{N}f_{ij}\,f_{mn}+\cdots }$$ 

各項は一度だけ出現しなければなりません。この展開により、関与する粒子の数に応じて、異なる順序の項を見つけることができます。最初の項は非相互作用項（粒子間の相互作用がない項に対応）、2番目の項は2粒子間の相互作用に対応、3番目の項は4つの（必ずしも異なるとは限らない）粒子間の2粒子間の相互作用に対応し、以下同様に続きます。この物理的な解釈こそが、この展開がクラスター展開と呼ばれる理由です。つまり、和を並べ替えることで、各項が特定の数の粒子からなるクラスター内の相互作用を表すことができるのです。

積の展開を配置積分の式に代入すると、次の級数展開が得られる。${\displaystyle Q}$ :

$${\displaystyle Q=1+{\frac {N}{V}}\alpha _{1}+{\frac {N\left(N-1\right)}{2V^{2}}}\alpha _{2}+\cdots .}$$ 

この式に自由エネルギーを代入すると、相互作用する粒子系の 状態方程式を導くことができる。この式は次のようになる。$${\displaystyle PV=Nk_{\text{B}}T\left[1+{\frac {N}{V}}B_{2}(T)+{\frac {N^{2}}{V^{2}}}B_{3}(T)+{\frac {N^{3}}{V^{3}}}B_{4}(T)+\cdots \right],}$$  これはビリアル方程式として知られており、その成分は${\displaystyle B_{i}(T)}$ はビリアル係数である。各ビリアル係数は、クラスター展開（${\displaystyle B_{2}(T)}$ は2粒子相互作用項であり、${\displaystyle B_{3}(T)}$ は3粒子相互作用項などです。2粒子相互作用項のみを考慮すると、クラスター展開によって、いくつかの近似値を用いてファンデルワールス方程式が得られることがわかります。

これは、ガスと液体溶液の混合物にもさらに適用できます。

量子力学アプローチ

クラスター展開法は、相互作用系の量子ダイナミクスを解く際に生じるBBGKY階層問題を体系的に切り捨てる量子力学の手法である。この手法は、様々な多体問題や量子光学問題の解析に適用可能な、数値計算可能な閉方程式群を生成するのに適している。例えば、半導体量子光学^{[ 2 ]}において広く応用されており、半導体ブロッホ方程式や半導体発光方程式の一般化にも適用できる。

背景

量子論は本質的に、古典的に正確な値を、波動関数、密度行列、位相空間分布などを使用して定式化できる確率分布で置き換えます。概念的には、少なくとも形式的には、測定される各観測量の背後には必ず確率分布が存在します。量子物理学が定式化されるはるか昔の1889年に、すでにThorvald N. Thieleは、可能な限り少ない量で確率分布を記述するキュムラントを提案し、それを半不変量と呼びました。^{[ 3 ]}キュムラントは平均、分散、歪度、尖度などの量の列を形成し、より多くのキュムラントが使用されるほど、分布をより正確に識別します。

キュムラントの概念は、フリッツ・コースター^{[ 4 ]}とヘルマン・キュメル^{[ 5 ]}によって、原子核多体現象の研究を目的として量子物理学に応用されました。その後、イジ・チジェクとヨゼフ・パルドゥスは、このアプローチを量子化学に拡張し、複雑な原子や分子における多体現象を記述しました。この研究は、主に多体波動関数を扱う結合クラスターアプローチの基礎を導入しました。結合クラスターアプローチは、複雑な分子の量子状態を解くための最も成功した方法の一つです。

固体においては、多体系波動関数は非常に複雑な構造を持つため、波動関数を直接解く手法は扱いにくい。クラスター展開は結合クラスターアプローチ^{[ 2 ] [ 6 ]}の変種であり、近似波動関数や密度行列の量子力学を解くのではなく、相関の力学方程式を解く。クラスター展開は多体系の特性と量子光学相関の取り扱いに同様に適しており、半導体量子光学に非常に適したアプローチとなっている。

多体物理学や量子光学においてほぼ常にそうであるように、関連する物理を記述するには第二量子化形式を適用するのが最も簡便である。例えば、光場はボソン生成消滅演算子によって記述される。${\displaystyle {\hat {B}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }}$ そして${\displaystyle {\hat {B}}_{\mathbf {q} }}$ それぞれ、${\displaystyle \hbar \mathbf {q} }$ 光子の運動量を定義する。${\displaystyle B}$ 量の作用素性を表す。多体状態が物質の電子励起からなる場合、それはフェルミオン生成消滅作用素 によって完全に定義される。${\displaystyle {\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }^{\dagger }}$ そして${\displaystyle {\hat {a}}_{\lambda ,\mathbf {k} }}$ それぞれ、${\displaystyle \hbar \mathbf {k} }$ 粒子の運動量を指しますが、${\displaystyle \lambda }$ スピンやバンドインデックスなどの内部自由度です。

N粒子寄与の分類

多体系をその量子光学的性質とともに研究すると、すべての測定可能な期待値はN粒子の期待値の形で表現できる。

${\displaystyle \langle {\hat {N}}\rangle \equiv \langle {\hat {B}}_{1}^{\dagger }\cdots {\hat {B}}_{K}^{\dagger }\ {\hat {a}}_{1}^{\dagger }\cdots {\hat {a}}_{N_{\hat {a}}}^{\dagger }{\hat {a}}_{N_{\hat {a}}}\cdots {\hat {a}}_{1}\ {\hat {B}}_{J}\cdots {\hat {B}}_{1}\rangle }$ 

どこ${\displaystyle N=N_{\hat {B}}+N_{\hat {a}}}$ そして${\displaystyle N_{\hat {B}}=J+K}$ 簡潔にするために、明示的な運動量指数は省略されている。これらの量は通常順序付けられており、期待値において、すべての生成演算子は左側に、すべての消滅演算子は右側に位置する。フェルミオン生成演算子と消滅演算子の量が等しくない場合、この期待値はゼロになることは容易に示される。^{[ 7 ] [ 8 ]}

システムのハミルトニアンが分かれば、ハイゼンベルクの運動方程式を使って与えられた物体の力学を生成することができる。${\displaystyle N}$ 粒子演算子である。しかし、多体相互作用と量子光学相互作用は、${\displaystyle N}$ -粒子量を${\displaystyle (N+1)}$ 粒子の期待値、これはボゴリュボフ・ボーン・グリーン・カークウッド・イヴォン（BBGKY）階層問題として知られています。より数学的に言えば、すべての粒子が互いに相互作用し、方程式構造を形成します。

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\langle {\hat {N}}\rangle =\mathrm {T} \left[\langle {\hat {N}}\rangle \right]+\mathrm {Hi} \left[\langle {\hat {N}}+1\rangle \right]}$ 

機能的な場所${\displaystyle T}$ 階層問題のない寄与を象徴し、階層的（Hi）結合の関数は次のように象徴される。${\displaystyle \mathrm {Hi} [\langle {\hat {N}}+1\rangle ]}$ 実際の粒子数に至るまで、期待値のすべてのレベルはゼロ以外になる可能性があるため、この式はさらなる考慮なしに直接切り捨てることはできません。

クラスターの再帰定義

 

クラスター拡張に基づく分類の模式図。相関関係全体は、シングレット、ダブレット、トリプレット、そして高次相関から構成され、これらはすべてクラスター拡張アプローチによって一意に定義されます。青い球はそれぞれ1つの粒子演算子に対応し、黄色の円/楕円は相関関係に対応します。相関関係内の球の数はクラスター番号を示します。

階層問題は、相関のあるクラスターを特定した後、体系的に切り捨てることができる。クラスターを再帰的に特定した後、最も単純な定義が導かれる。最下層では、単一粒子の期待値（シングレット）のクラスが求められる。これは次のように表される。${\displaystyle \langle 1\rangle }$ 任意の2粒子の期待値${\displaystyle \langle 2\rangle }$ 因数分解で近似できる${\displaystyle \langle 2\rangle _{\mathrm {S} }=\langle 1\rangle \langle 1\rangle }$ 単一粒子の期待値のすべての可能な積の形式的な和を含む。より一般的には、${\displaystyle \langle 1\rangle }$ シングレットを定義し、${\displaystyle \langle N\rangle _{\mathrm {S} }}$ は、${\displaystyle N}$ 粒子の期待値。物理的には、フェルミオン間のシングレット分解はハートリー・フォック近似を与えるが、ボソンの場合はボソン演算子をコヒーレント振幅に置き換えた古典近似を与える。${\displaystyle {\hat {B}}\rightarrow \langle {\hat {B}}\rangle }$ シングレット分解はクラスター展開表現の最初のレベルを構成します。

相関関係にある部分${\displaystyle \langle 2\rangle }$ 実際の${\displaystyle \langle 2\rangle }$ そして一重項分解${\displaystyle \langle 2\rangle _{\mathrm {S} }}$ より数学的に言えば、

${\displaystyle \langle 2\rangle =\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }+\Delta \langle 2\rangle }$ 

どこで${\displaystyle \Delta }$ 寄与は相関部分を表す。すなわち、${\displaystyle \Delta \langle 2\rangle =\langle 2\rangle -\langle 2\rangle _{\mathrm {S} }}$ 次のレベルの識別は再帰的に^{[ 2 ]}適用され 、

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 3\rangle &=\langle 3\rangle _{\mathrm {S} }+\langle 1\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\Delta \langle 3\rangle \,,\\\langle N\rangle &=\langle N\rangle _{\mathrm {S} }\\&\quad +\langle N-2\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 2\rangle \\&\quad +\langle N-4\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 2\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\dots \\&\quad +\langle N-3\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 3\rangle \\&\quad +\langle N-5\rangle _{\mathrm {S} }\ \Delta \langle 3\rangle \ \Delta \langle 2\rangle +\dots \\&\quad +\Delta \langle N\rangle \,,\end{aligned}}}$ 

ここで、各積項は記号的に1つの因数分解を表し、暗黙的に、特定された項のクラス内のすべての因数分解の和を含む。純粋に相関のある部分は${\displaystyle \Delta \langle N\rangle }$ これらから、2粒子相関は${\displaystyle \Delta \langle 2\rangle }$ 二重項を決定する一方、三粒子相関は${\displaystyle \Delta \langle 3\rangle }$ トリプレットと呼ばれます。

この識別を再帰的に適用することで、階層問題に現れる相関関係を直接特定することができる。そして、相関関係の量子力学を決定すると、

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Delta \langle {\hat {N}}\rangle =\mathrm {T} \left[\Delta \langle {\hat {N}}\rangle \right]+\mathrm {NL} \left[\langle {\hat {1}}\rangle ,\Delta \langle {\hat {2}}\rangle ,\cdots ,\Delta \langle {\hat {N}}\rangle \right]+\mathrm {Hi} \left[\Delta \langle {\hat {N}}+1\rangle \right]\,,}$ 

ここで、因数分解は非線形結合を生成する。${\displaystyle \mathrm {NL} \left[\cdots \right]}$ クラスター間の関係。明らかに、クラスターを導入しても直接アプローチの階層性の問題は解消されない。なぜなら、階層的寄与はダイナミクスに残るからである。この性質と非線形項の出現は、クラスター拡張アプローチの適用性に複雑さを示唆しているように思われる。

しかし、直接的な期待値アプローチとの大きな違いとして、多体相互作用と量子光学相互作用はどちらも相関を逐次的に生成する。^{[ 2 ] [ 9 ]}いくつかの関連する問題では、実際には最下位のクラスターのみが最初は非ゼロであり、高位のクラスターはゆっくりと増加するという状況が存在する。このような状況では、階層的結合を省略することができる。${\displaystyle \mathrm {Hi} \left[\Delta \langle {\hat {C}}+1\rangle \right]}$ 、超えるレベルで${\displaystyle C}$ 粒子クラスター。その結果、方程式は閉じられ、${\displaystyle C}$ システムの関連する特性を説明するために、粒子相関を考慮する必要がある。${\displaystyle C}$ は全体の粒子数よりもはるかに小さいため、クラスター展開アプローチは多体および量子光学の研究のための実用的かつ体系的な解法をもたらす。^{[ 2 ]}

拡張機能

量子力学を記述するだけでなく、クラスター展開アプローチを量子分布の表現に適用することも当然可能である。一つの可能​​性は、量子化された光モードの量子ゆらぎを表現することである。${\displaystyle {\hat {B}}}$ クラスターの観点から表現すると、クラスター展開表現が得られる。あるいは、期待値表現で表現することもできる。${\displaystyle \langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle }$ この場合、${\displaystyle \langle [{\hat {B}}^{\dagger }]^{J}{\hat {B}}^{K}\rangle }$ 密度行列への は一意であるが、数値的に発散する級数となる可能性がある。この問題は、クラスター展開変換（CET）^{[ 10 ]}を導入することで解決できる。CETは、シングレット・ダブレット寄与で定義されるガウス分布に、高次クラスターで定義される多項式を乗じたものである。この定式化は、表現から表現への変換において極めて高い収束性を示すことが分かっている。

この完全に数学的な問題は、物理的に直接応用できる。クラスター展開変換を適用することで、古典的な測定を量子光学的測定にロバストに投影することができる。^{[ 11 ]}この特性は、ガウス分布に多項式因子を乗じた形で任意の分布を記述できるCETの能力に大きく依存している。この手法は既に、高品質レーザーを用いて実行できる一連の古典的な分光測定から量子光学分光にアクセスし、それを導出するために用いられている。

参照

• BBGKY階層
• 量子光学分光法
• 半導体ブロッホ方程式
• 半導体発光方程式

参考文献

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• イツィクソン、クロード、ドゥルーフ、ジャン＝ミシェル（1989）、統計場の理論。第2巻、ケンブリッジ数理物理学モノグラフ、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-37012-7、MR  1175177
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• ハンセン、J.-P.; マクドナルド、IR (2005)、『単純液体の理論』（第3版）、エルゼビア、ISBN 978-0-12-370535-8
• Friedli, S.; Velenik, Y. (2017).格子システムの統計力学：具体的な数学的入門. Cambridge University Press. ISBN 9781107184824。

さらに読む

• Kira, M.; Koch, SW (2011). 『半導体量子光学』 ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0521875097。
• Shavitt, I.; Bartlett, RJ (2009). 『化学と物理学における多体法：MBPTと結合クラスター理論』 ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0521818322。