モジュライスキーム

グロタンディーク圏のモジュライ空間

代数幾何学において、モジュライスキームとは、フランスの数学者アレクサンダー・グロタンディークによって開発されたスキームの圏に存在するモジュライ空間である。代数幾何学における重要なモジュライ問題の中には、スキーム理論のみで十分に解決できるものもあるが、他のモジュライ問題は「幾何学的対象」の概念の拡張を必要とする（代数空間、マイケル・アルティンの代数的スタック）。

歴史

グロタンディークとデイヴィッド・マンフォードの研究（幾何学的不変量理論を参照）は、1960年代初頭にこの分野を切り開きました。モジュライ問題に対するより代数的で抽象的なアプローチは、問題を表現可能な関数の問題として設定し、次にスキームに対して表現可能な関数を選び出す基準を適用することです。このプログラム的なアプローチが機能すると、優れたモジュライスキームが得られます。より幾何学的なアイデアの影響下では、正しい幾何学的点を与えるスキームを見つければ十分です。これは、モジュライ問題が集合（たとえば楕円曲線の同型類）に自然に伴う代数構造を表現することであるという古典的なアイデアに近いです。

結果として得られるのは粗いモジュライスキームです。このスキームが洗練されていない理由は、大まかに言えば、オブジェクトの族に対して、細かいモジュライスキームに固有の性質が保証されていないことです。マンフォードが著書『幾何学的不変量理論』で指摘したように、細かいバージョンを望む人もいるかもしれませんが、そのような解答が得られる可能性のある問題を得るには、技術的な問題（レベル構造やその他の「マーキング」）を解決しなければなりません。

松阪輝久は、現在松阪の大定理として知られる結果を証明し、粗いモジュライスキームの存在に対するモジュライ問題に関する必要条件を確立した。 ^[1]

例

マンフォードは、 g > 1ならば、種数gの滑らかな曲線の粗いモジュライ・スキームが存在し、これは準射影的であることを証明した。^[2]ヤノシュ・コラーによる最近の調査によると、それは「数学や理論物理学の多くの分野における主要な問題に関連する、豊かで興味深い固有の幾何学を持っている」。^{[3]ブラウンガードは}、ベールイの定理が代数的数体上の高次元多様体に一般化できるかどうかという問題を提起し、それらは一般に曲線のモジュライ空間の有限エタール被覆に対して双有理的であるという定式化を提示した。 ^[4]

安定ベクトル束の概念を用いると、任意の滑らかな複素多様体上のベクトル束の粗いモジュライスキームが存在し、準射影的であることが示されており、この記述では半安定性の概念が用いられている。^[5]数理物理学における特殊インスタントン束の粗いモジュライ空間を、場合によっては古典的な円錐幾何学における対象と同一視することが可能である。 ^[6]

参考文献

「モジュライ理論」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

注記

^ Kovács, SJ (2009). 「高次元多様体のモジュライに関する若者向けガイド」代数幾何学、シアトル2005：2005年夏季研究会、2005年7月25日～8月12日、ワシントン大学。アメリカ数学会。711 ～ 743頁。ISBN 978-0-8218-4703-9。PDFの13ページ
^ Hauser, Herwig; Lipman, Joseph; Oort, Frans; Quirós, Adolfo (2012-12-06). 「10.4 粗いモジュライスキーム」.特異点の解決：オスカー・ザリスキに捧げる研究教科書。1997年9月7日から14日にかけてオーストリア、オーバーグルグルで開催されたワーキングウィークで行われた講義に基づく。Birkhäuser. p. 83. ISBN 9783034883993. 2017年8月22日閲覧。
^ Kollár, János (2017年7月20日). 「1.1. モジュライ問題の小史：定理1.14」一般型多様体の族(PDF) . p. 11.
^ Goldring, W. (2012). 「Belyiの定理が示唆する統一テーマ」.数論、解析学、幾何学. Springer. pp. 181–214 参照p. 203. doi :10.1007/978-1-4614-1260-1_10. ISBN 978-1-4614-1260-1。
^ ハリス、ジョー (1987). 「曲線とそのモジュライ」代数幾何学: ボウディン 1985.アメリカ数学会 pp. 99–143 103ページ参照. ISBN 978-0-8218-1480-2。
^ ベーマー、W.トラウトマン、G. (2006)。「特別なインスタントンバンドルとポンスレカーブ」。グリューエルでは、ゲルト・マーティン。トラウトマン、ギュンター（編）。特異点、代数の表現、およびベクトルバンドル: ランブレヒト/ファルツで開催されたシンポジウムの議事録。ドイツ、1985 年 12 月 13 ～ 17 日。数学の講義ノート。 Vol. 1273. スプリンガー。 pp. 325–336。土井:10.1007/BFb0078852。ISBN 978-3-540-47851-5。

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[1] Kovács, SJ (2009). 「高次元多様体のモジュライに関する若者向けガイド」代数幾何学、シアトル2005：2005年夏季研究会、2005年7月25日～8月12日、ワシントン大学。アメリカ数学会。711 ～ 743頁。ISBN 978-0-8218-4703-9。PDFの13ページ

[2] Hauser, Herwig; Lipman, Joseph; Oort, Frans; Quirós, Adolfo (2012-12-06). 「10.4 粗いモジュライスキーム」.特異点の解決：オスカー・ザリスキに捧げる研究教科書。1997年9月7日から14日にかけてオーストリア、オーバーグルグルで開催されたワーキングウィークで行われた講義に基づく。Birkhäuser. p. 83. ISBN 9783034883993. 2017年8月22日閲覧。

[3] Kollár, János (2017年7月20日). 「1.1. モジュライ問題の小史：定理1.14」一般型多様体の族(PDF) . p. 11.

[4] Goldring, W. (2012). 「Belyiの定理が示唆する統一テーマ」.数論、解析学、幾何学. Springer. pp. 181–214 参照p. 203. doi :10.1007/978-1-4614-1260-1_10. ISBN 978-1-4614-1260-1。

[5] ハリス、ジョー (1987). 「曲線とそのモジュライ」代数幾何学: ボウディン 1985.アメリカ数学会 pp. 99–143 103ページ参照. ISBN 978-0-8218-1480-2。

[6] ベーマー、W.トラウトマン、G. (2006)。「特別なインスタントンバンドルとポンスレカーブ」。グリューエルでは、ゲルト・マーティン。トラウトマン、ギュンター（編）。特異点、代数の表現、およびベクトルバンドル: ランブレヒト/ファルツで開催されたシンポジウムの議事録。ドイツ、1985 年 12 月 13 ～ 17 日。数学の講義ノート。 Vol. 1273. スプリンガー。 pp. 325–336。土井:10.1007/BFb0078852。ISBN 978-3-540-47851-5。