リー余代数

数学において、リー余代数はリー代数の双対構造です。

有限次元では、これらは双対オブジェクトです。リー代数の双対ベクトル空間は自然にリー余代数の構造を持ち、その逆もまた同様です。

意味

を体上のベクトル空間とし、からと 自身の外積への線型写像を備えるものとする。 の外積代数上の次数1の次数微分（つまり、が同次元である任意の に対して、が成り立つこと）に一意に拡張することができる。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {k} }$ ${\displaystyle d\colon E\to E\wedge E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a,b\in E}$ ${\displaystyle d(a\wedge b)=(da)\wedge b+(-1)^{\deg a}a\wedge (db)}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle d\colon \bigwedge ^{\bullet }E\rightarrow \bigwedge ^{\bullet +1}E.}$

このとき、 、すなわち、微分を伴う外積代数の次数付き成分がコチェーン複体を形成する場合、ペアはリー余代数であると言われます。 ${\displaystyle (E,d)}$ ${\displaystyle d^{2}=0}$ ${\textstyle (\bigwedge ^{*}E,d)}$

${\displaystyle E\ \xrightarrow {d} \ E\wedge E\ \xrightarrow {d} \ \bigwedge ^{3}E\xrightarrow {d} \ \cdots }$

デ・ラーム複合体との関係

多様体上のベクトル場の外積代数（およびテンソル代数）が（基底体 上の）リー代数を形成するのと同様に、多様体上の微分形式のド・ラーム複体は（基底体 上の）リー余代数を形成する。さらに、ベクトル場と微分形式は互いに関連している。 ${\displaystyle \mathbb {k} }$ ${\displaystyle \mathbb {k} }$

しかし、状況はより微妙です。リー括弧は滑らかな関数の代数上では線形ではありません（誤差はリー導関数） 。また、外微分も同様です（これは微分であり、関数上では線形ではありません）。これらはテンソルではありません。これらは関数上では線形ではありませんが、一貫した振る舞いをします。これは、リー代数とリー余代数の概念だけでは捉えられません。 ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle d(fg)=(df)g+f(dg)\neq f(dg)}$

さらに、de Rham 複体では、 の微分は に対して定義されているだけでなく、 に対しても定義されています。 ${\displaystyle \Omega^{1}\to \Omega^{2}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)\to \Omega ^{1}(M)}$

双対上のリー代数

ベクトル空間上のリー代数構造は、歪対称な写像であり、ヤコビ恒等式を満たす。同様に、ヤコビ恒等式を満たす写像でもある。 ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\wedge {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

双対的に、ベクトル空間E上のリー余代数構造は、反対称（ を満たす、ここでは標準反転）であり、いわゆるコサイクル条件（コライプニッツ則とも呼ばれる） を満たす線型写像である。${\displaystyle d\colon E\to E\otimes E}$ ${\displaystyle \tau \circ d=-d}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle E\otimes E\to E\otimes E}$

${\displaystyle \left(d\otimes \mathrm {id} \right)\circ d=\left(\mathrm {id} \otimes d\right)\circ d+\left(\mathrm {id} \otimes \tau \right)\circ \left(d\otimes \mathrm {id} \right)\circ d}$ 。

反対称条件により、マップはマップとも表記されます。 ${\displaystyle d\colon E\to E\otimes E}$ ${\displaystyle d\colon E\to E\wedge E}$

リー代数のリー括弧の双対は写像（ココミュテータ）を与える。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]^{*}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\to ({\mathfrak {g}}\wedge {\mathfrak {g}})^{*}\cong {\mathfrak {g}}^{*}\wedge {\mathfrak {g}}^{*}}$

ここで、同型性は有限次元において成り立ち、リー共乗法の双対に対しては双対的に成り立つ。この文脈において、ヤコビ恒等式はコサイクル条件に対応する。 ${\displaystyle \cong}$

より具体的には、 を2でも3でもない特性を持つ体上のリー余代数とする。 双対空間は、${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$

${\displaystyle \alpha ([x,y])=d\alpha (x\wedge y)}$ 、すべておよびについて。 ${\displaystyle \alpha \in E}$ ${\displaystyle x,y\in E^{*}}$

これがリー括弧を付与することを示す。ヤコビ恒等式を確認すれば十分である。任意の およびについて、 ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle x,y,z\in E^{*}}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z)&={\frac {1}{3}}d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z+y\wedge z\wedge x+z\wedge x\wedge y)\\&={\frac {1}{3}}\left(d\alpha ([x,y]\wedge z)+d\alpha ([y,z]\wedge x)+d\alpha ([z,x]\wedge y)\right),\end{aligned}}}$

ここで後者のステップは、ウェッジ積の双対と双対のウェッジ積との標準的な同一視から導かれる。最終的に、これは以下の式を与える。

${\displaystyle d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z)={\frac {1}{3}}\left(\alpha ([[x,y],z])+\alpha ([[y,z],x])+\alpha ([[z,x],y])\right).}$

なので、 ${\displaystyle d^{2}=0}$

${\displaystyle \alpha ([[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y])=0}$ 、、、、および任意の に対して となります。${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

したがって、二重双対同型性（より正確には、ベクトル空間は有限次元である必要がないため、二重双対単型性）によって、ヤコビ恒等式が満たされます。

特に、この証明は、コサイクル条件が、ある意味ではヤコビ恒等式の双対であることを示していることに注意してください。 ${\displaystyle d^{2}=0}$

参考文献

• ミカエリス、ウォルター (1980)、「リー余代数」、数学の進歩、38 (1): 1– 54、doi : 10.1016/0001-8708(80)90056-0、ISSN  0001-8708、MR  0594993