コヒーレントトポロジー

位相幾何学において、整合位相とは、部分空間の族によって一意に決定される位相である。大まかに言えば、位相空間が部分空間の族と整合するとは、それらの部分空間の位相的和集合である場合である。これは部分空間の族によって生成される弱位相とも呼ばれるが、これは写像の集合によって生成される弱位相の概念とは全く異なる。 ^[1]

意味

を位相空間とし、をそれぞれの部分集合の族とその誘導部分空間位相とします。(通常、は の被覆になります。)の位相が、包含写像によって共誘導される最終位相から得られる位相として回復される場合、 はと整合している(またはによって決定される) ^[2]と言われています 。定義により、これは( の基礎集合) 上の最良位相であり、包含写像が連続である位相です。 が と整合する場合、次の 2 つの同値な条件のいずれかが成り立ちます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\left\{C_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle i_{\alpha }:C_{\alpha }\to X\qquad \alpha \in A.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$

• 部分集合が で開いている場合、かつ が各で開いている場合のみ、${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap C_{\alpha }}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in A.}$
• 部分集合が閉じている場合、かつ、各部分集合が閉じている場合に限り、${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap C_{\alpha }}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in A.}$

例

• 位相空間はの任意の開被覆と整合する。 より一般的には、は内部が を覆う任意の部分集合族と整合する。 例えば、弱局所コンパクト空間は、そのコンパクト部分空間の族と整合する。また、局所連結空間は、その連結部分集合の族と整合する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• 位相空間は、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• 離散空間は、あらゆる部分空間族（空の族を含む）と一貫性があります。
• 位相空間が の分割と整合する場合、かつ が分割の要素の分離和に同相である場合に限ります。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• 有限生成空間は、そのすべての有限部分空間の族によって決定される空間です。
• 可算生成空間は、そのすべての可算部分空間の族によって決定される空間です。
• コンパクト生成空間（その記事の定義 1 の意味で）は、そのすべてのコンパクト部分空間の族によって決定される空間です。
• CW複合体 はその-骨格ファミリーと整合している${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{n}.}$

位相的結合

を（必ずしも互いに素ではない）位相空間の族とし、誘導位相が各交点で一致するものとする。さらに、各に対してが閉じている と仮定する。 すると、 位相的和集合は 、包含写像によって共誘導される最終位相を付与された集合論的和集合となる。すると、包含写像は位相的埋め込みとなり、部分空間と整合する。${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }\cap X_{\beta }.}$ ${\displaystyle X_{\alpha }\cap X_{\beta }}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in A.}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X^{set}=\bigcup _{\alpha \in A}X_{\alpha }}$$ ${\displaystyle i_{\alpha }:X_{\alpha }\to X^{set}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}.}$

逆に、が位相空間であり、を覆う部分空間の族と整合している場合、 は族の位相的和に同相である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{C_{\alpha }\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{C_{\alpha }\right\}.}$

上記のように、任意の位相空間族の位相的和集合を形成することは可能ですが、位相が交差において一致しない場合、包含は必ずしも埋め込みにはなりません。

位相的和集合は、素和集合を用いて記述することもできる。具体的には、が族 の位相的和集合である場合、 は族 の素和集合の商と同相であり、 すべての に対して同値関係を満たす。つまり、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}}$ $${\displaystyle (x,\alpha )\sim (y,\beta )\Leftrightarrow x=y}$$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in A.}$ $${\displaystyle X\cong \coprod _{\alpha \in A}X_{\alpha }/\sim .}$$

空間がすべて互いに素である場合、位相的な和は単に互いに素な和になります。 ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}}$

ここで、集合 A が、包含と両立する形で有向 であると仮定する。すなわち、 のときはいつでも 。すると、 からへの写像が一意に存在し、これは実際には同相写像となる。以下は、 カテゴリTopにおける の直接（帰納的）極限（余極限）である。 ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ ${\displaystyle X_{\alpha }\subset X_{\beta }}$ ${\displaystyle \varinjlim X_{\alpha }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \varinjlim X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}}$

プロパティ

が部分空間の族と整合しているとしよう。位相空間への関数が連続的であることは、制約が 各に対して連続的であることと同値である。この普遍的性質は、この性質がすべての空間とすべての関数に対して成り立つときのみ、空間がと整合的であるという意味で整合位相を特徴づける。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{C_{\alpha }\right\}.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle f{\big \vert }_{C_{\alpha }}:C_{\alpha }\to Y\,}$$ ${\displaystyle \alpha \in A.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$

カバーで決めましょう ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\{C_{\alpha }\}.}$

• が被覆の精緻化である場合、 はによって決定される。 特に、が の部分被覆である場合、 は によって決定される。${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D.}$
• がの細分化であり、それぞれがに含まれるすべてのものの族によって決定される場合、はによって決定される。${\displaystyle D=\{D_{\beta }\}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle D_{\beta }}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D.}$
• をの開部分空間または閉部分空間、あるいはより一般的にはの局所閉部分集合とすると、は 次のように決定される。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{Y\cap C_{\alpha }\right\}.}$
• を商写像とする。すると、は次のように決定される。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{f(C_{\alpha })\right\}.}$

を射影写像とし、をによって決定するとする。各に対してをへ の制限とすると、${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{D_{\alpha }:\alpha \in A\right\}.}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\textstyle f_{\alpha }:f^{-1}(D_{\alpha })\to D_{\alpha }\,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(D_{\alpha }).}$

• が連続で、それぞれが商写像である場合、は商写像です。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle f}$ それぞれが閉じている（それぞれ開いている）場合のみ、 は閉じた写像（それぞれ開いている）である。${\displaystyle f_{\alpha }}$

位相空間と部分空間の族が与えられたとき、 と整合する位相が 上に唯一存在する。 位相は元の位相より細かく、が と整合しない場合は厳密にはより細かくなる。 しかし位相とは族内の のそれぞれに同じ部分空間位相を誘導する。 そして位相は常に と整合する。${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle C=\{C_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \tau _{C}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \tau _{C}}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{C}}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \tau _{C}}$ ${\displaystyle C.}$

この最後の構成の例として、位相空間のすべてのコンパクト部分空間の集合が である場合、結果として得られる位相はのk-化を定義します。 空間とは同じコンパクト集合を持ち、それらの上に同じ誘導部分空間位相を持ちます。そして、k-化はコンパクトに生成されます。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \tau _{C}}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle kX}$

参照

• 最終位相 – いくつかの関数を連続させる最微細位相

注記

1. ウィラード、69ページ
2. は、によって生成される弱い位相を持つとも言われています。これは、形容詞「弱い」と「強い」が、異なる著者によって正反対の意味で使用されているため、混乱を招く可能性のある名称です。現代の用法では、「弱い位相」は「初期位相」と同義であり、「強い位相」は「最終位相」と同義です。ここで議論されているのは、最終位相です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$

参考文献

• 田中良雄 (2004). 「商空間と分解」. KP Hart, J. Nagata, JE Vaughan (編).一般位相幾何学百科事典. アムステルダム: Elsevier Science. pp.  43– 46. ISBN 0-444-50355-2。
• ウィラード、スティーブン（1970年）『一般位相幾何学』マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスレー社、ISBN 0-486-43479-6（ドーバー版）。