コーン・フォッセンの不等式

微分幾何学において、シュテファン・コーン＝フォッセンにちなんで名付けられたコーン＝フォッセンの不等式は、非コンパクト曲面のガウス曲率の積分とオイラー標数を関連付ける。これはコンパクト曲面におけるガウス＝ボネの定理に類似している。

リーマン多様体内の発散路とは、多様体のいかなるコンパクト部分集合にも含まれない滑らかな曲線のことである。完備多様体とは、すべての発散路がその多様体上のリーマン計量に関して無限長となるような多様体である。コーン＝フォッセンの不等式は、有限の全曲率と有限のオイラー標数を持つすべての完備リーマン2次元多様体Sにおいて、^{[ 1 ]が成り立つことを述べている。}

${\displaystyle \iint _{S}K\,dA\leq 2\pi \chi (S),}$

ここで、Kはガウス曲率、dAは面積要素、χはオイラー特性です。

例

• Sがコンパクト面（境界なし）の場合、不等式はコンパクト多様体に対する通常のガウス・ボネの定理により等式になります。
• Sに境界がある場合、ガウス・ボネ定理は次のように表される。

${\displaystyle \iint _{S}K\,dA=2\pi \chi (S)-\int _{\partial S}k_{g}\,ds}$

ここで、境界の測地曲率、その積分は境界曲線に対して必ず正となる全曲率であり、不等式は厳密である。（ Sの境界が区分的に滑らかな場合も同様の結果が成り立つ。）${\displaystyle k_{g}}$

• Sが平面R ²の場合、 Sの曲率はゼロで、χ ( S ) = 1 となるため、不等式は厳密で、 0 < 2 πとなります。

注釈と参考文献

1. Robert Osserman、「A Survey of Minimal Surfaces」、Courier Dover Publications、2002年、86ページ。

• コーン・ヴォッセン、ステファン(1935)。「Kürzeste Wege und Totalkrümmung auf Flächen」。Compositio Mathematica。2 : 69–13。JFM 61.0789.01 。 ​​ MR  1556908。Zbl  0011.22501。
• ヒューバー、アルフレッド (1957)。「分数調波関数と大規模な微分幾何学について」。数学ヘルヴェティチの解説。32 (1): 13–72 .土井: 10.1007/BF02564570。hdl : 2027/mdp.39015095254580。MR  0094452。Zbl  0080.15001。
• Li, Peter (2000). 「リーマン多様体上の曲率と関数論」. Yau, S.-T. (編). 『微分幾何学概論』第7巻. マサチューセッツ州サマービル: インターナショナル・プレス. pp.  375– 432. doi : 10.4310/SDG.2002.v7.n1.a13 . ISBN 1-57146-069-1。MR  1919432。Zbl  1066.53084。
• 塩浜勝弘・塩谷隆・田中実 (2003).完全開面上の全曲率の幾何学. Cambridge Tracts in Mathematics. 第159巻. Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9780511543159 . ISBN 0-521-45054-3。MR  2028047。Zbl  1086.53056。

外部リンク

• ガウス・ボネの定理、数学百科事典、コーン・フォッセンの不等式の簡単な説明を含む