コクルトーシス

確率論と統計学において、コクルトーシスとは、 2つの確率変数がどれだけ同時に変化するかを表す尺度です。コクルトーシスは、4番目の標準化交差中心モーメントです。^{[ 1 ]} 2つの確率変数が高いコクルトーシスを示す場合、それらは同時に極端な正と負の偏差を示す傾向があります。

意味

2つの確率変数XとYに対して、3つの非自明なコクルトーシス統計量が存在する ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle K(X,X,X,Y)={\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])^{3}(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]}} \over \sigma _{X}^{3}\sigma _{Y}},}$

${\displaystyle K(X,X,Y,Y)={\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])^{2}(Y-\operatorname {E} [Y])^{2}{\big ]}} \over \sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}^{2}},}$

そして

${\displaystyle K(X,Y,Y,Y)={\オペレーター名 {E} {{\big [}(X-\オペレーター名 {E} [X])(Y-\オペレーター名 {E} [Y])^{3}{\big ]}} \over \sigma _{X}\sigma _{Y}^{3}},}$

ここで、E[ X ]はXの期待値（ Xの平均とも呼ばれます）であり、Xの 標準偏差です。 ${\displaystyle \sigma _{X}}$

プロパティ

• 尖度は、2 つのランダム変数が同一である場合の共尖度の特殊なケースです。

${\displaystyle K(X,X,X,X)={\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])^{4}{\big ]}} \over \sigma _{X}^{4}}={\operatorname {尖度} {\big [}X{\big ]}},}$

• 2つの確率変数XとYについて、その和X  +  Yの尖度は

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{X+Y}={1 \over \sigma _{X+Y}^{4}}{\big [}&\sigma _{X}^{4}K_{X}+4\sigma _{X}^{3}\sigma _{Y}K(X,X,X,Y)+6\sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}^{2}K(X,X,Y,Y)\\&{}+4\sigma _{X}\sigma _{Y}^{3}K(X,Y,Y,Y)+\sigma _{Y}^{4}K_{Y}{\big ]},\end{aligned}}}$

ここで、 はXの尖度、はXの 標準偏差です。${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle \sigma _{X}}$

• したがって、2つのランダム変数の尖度が単独では3（および）であっても、2つのランダム変数の合計の尖度は3 （）と異なる可能性があります。${\displaystyle K_{X+Y}\neq 3}$ ${\displaystyle K_{X}=3}$ ${\displaystyle K_{Y}=3}$
• 変数XとYの間のコクルトシスは、変数が表現される尺度に依存しません。XとYの関係を分析する場合、 XとYの間のコクルトシスは、a  +  bXとc  +  dYの間のコクルトシスと同じになります（ここで、 a、b、c、dは定数です）。

例

二変量正規分布

XとYがそれぞれ相関係数ρを持つ正規分布に従うと仮定する。尖度項は

${\displaystyle K(X,X,Y,Y)=1+2\rho ^{2}}$

${\displaystyle K(X,X,X,Y)=K(X,Y,Y,Y)=3\rho }$

共尖度はρのみに依存し、ρは低次共分散行列によって既に完全に決定されているため、二変量正規分布の共尖度は分布に関する新たな情報を含んでいません。しかしながら、他の分布と比較する際には便利な基準となります。

非線形相関正規分布

Xを標準正規分布とし、YをX <0のときはX = Yとし、 X >0のときはYを標準半正規分布から独立に引くことによって得られる分布とする。言い換えれば、XとYはどちらも標準正規分布であり、負の値については完全に相関し、正の値については符号を除いて無相関であるという性質を持つ。結合確率密度関数は

${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)={\frac {e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left(H(-x)\delta (x-y)+2H(x)H(y){\frac {e^{-y^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\right)}$

ここで、H ( x ) はヘヴィサイドの階段関数、δ( x ) はディラックのデルタ関数である。この密度について積分することで、第4モーメントは簡単に計算できる。

${\displaystyle K(X,X,Y,Y)=2}$

${\displaystyle K(X,X,X,Y)=K(X,Y,Y,Y)={\frac {3}{2}}+{\frac {2}{\pi }}\approx 2.137}$

この結果を、通常の線形相関を持つ通常の二変量正規分布で得られる結果と比較すると有用である。密度に関する積分から、XとYの線形相関係数は次 のように表せる。

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\approx 0.818}$

このρの値を持つ二変量正規分布は、およびとなる。したがって、この非線形相関を持つこの分布のすべての尖度項は、ρ=0.818の二変量正規分布から予想される値よりも小さくなる。 ${\displaystyle K(X,X,Y,Y)\approx 2.455}$ ${\displaystyle K(X,X,X,Y)\approx 2.339}$

XとYはそれぞれ標準正規分布に従うが、 X + Yの和は扁平分布に従うことに注意する。和の標準偏差は

${\displaystyle \sigma _{X+Y}={\sqrt {3+{\frac {2}{\pi }}}}}$

これと個々の尖度値を上記の尖度合計の式に代入すると、

${\displaystyle K_{X+Y}={\frac {2\pi (8+15\pi )}{(2+3\pi )^{2}}}\approx 2.654}$

これは、合計の確率密度関数から直接計算することもできます。

${\displaystyle f_{X+Y}(u)={\frac {e^{-u^{2}/8}}{2{\sqrt {2\pi }}}}H(-u)+{\frac {e^{-u^{2}/4}}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {erf} \left({\frac {u}{2}}\right)H(u)}$

参照

• モーメント（数学）
• コスケネス

参考文献

1. ミラー、マイケル・B. (2014).金融リスク管理のための数学と統計（第2版）. ホーボーケン、ニュージャージー州: John Wiley & Sons, Inc. pp.  53– 56. ISBN 978-1-118-75029-2。
2. Meucci, Attilio (2005).リスクと資産配分. ベルリン: Springer-Verlag. pp.  58– 59. ISBN 978-3642009648。

さらに読む

• ラナルド、アンジェロ、ローラン・ファーヴル (2005).「ヘッジファンドの価格設定方法：2モーメントCAPMから4モーメントCAPMへ」UBSリサーチペーパー. SSRN  474561 .
• Christie-David, R.; M. Chaudry (2001). 「先物市場におけるコスクキューネスとコクルトーシス」. Journal of Empirical Finance . 8 (1): 55– 81. doi : 10.1016/s0927-5398(01)00020-2 .