コール・ホップ変換

コール・ホップ変換は、二次非線形性を持つ特殊な放物型 偏微分方程式（PDE）を線形熱方程式に変換する変数変換である。特に、初期データと熱核を用いて、PDEの比較的一般的な解を明示的に表す公式を与える。

次の偏微分方程式を考えてみましょう。ここで、は定数、はラプラス演算子、は勾配、 はにおけるユークリッドノルムです。 （ は未知の滑らかな関数）と仮定すると、次式が求められます。これは次式を意味します。 を に制約してを満たすとします。次に、次の変換を用いて、 元の非線形偏微分方程式を標準熱方程式に変換します。$${\displaystyle u_{t}-a\Delta u+b\|\nabla u\|^{2}=0,\quad u(0,x)=g(x)}$$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle w=\phi (u)}$ ${\displaystyle \phi (\cdot )}$ $${\displaystyle w_{t}=\phi '(u)u_{t},\quad \Delta w=\phi '(u)\Delta u+\phi ''(u)\|\nabla u\|^{2}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}w_{t}=\phi '(u)u_{t}&=\phi '(u)\left(a\Delta u-b\|\nabla u\|^{2}\right)\\&=a\Delta w-(a\phi ''+b\phi ')\|\nabla u\|^{2}\\&=a\Delta w\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a\phi ''+b\phi '=0}$

${\displaystyle w(u)=e^{-bu/a}}$

これはコール・ホップ変換で ある。^[1]この変換により、次の初期値問題を解くことができる。この系の唯一の有界解は次のようになる。コール・ホップ変換により となるため、元の非線形偏微分方程式の解は次のようになる。$${\displaystyle w_{t}-a\Delta w=0,\quad w(0,x)=e^{-bg(x)/a}}$$ $${\displaystyle w(t,x)={1 \over {(4\pi at)^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\|x-y\|^{2}/4at-bg(y)/a}dy}$$ ${\displaystyle u=-(a/b)\log w}$ $${\displaystyle u(t,x)=-{a \over {b}}\log \left[{1 \over {(4\pi at)^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\|x-y\|^{2}/4at-bg(y)/a}dy\right]}$$

コール・ホップ変換の複素形式はシュレーディンガー方程式をマーデルング方程式に変換するために使用できる。^[2]

アプリケーション

• 空気力学^[3]
• 確率的最適制御
• 粘性バーガース方程式を解く^[4]
• マデルング方程式

参考文献

1. エヴァンス、ローレンス C. (2010).偏微分方程式. 大学院数学研究科. 第19巻（第2版）. アメリカ数学会. pp.  206– 207.
2. マデルング、E. (1927)。 「流体力学形式の量子理論」。Die Naturwissenschaften (ドイツ語)。40 ( 3–4 ): 322–326 .土井:10.1007/BF01504657。ISSN  1434-6001。
3. コール, ジュリアン D. (1951). 「空気力学に現れる準線形放物型方程式について」 .応用数学季刊誌. 9 (3): 225– 236. doi : 10.1090/qam/42889 . ISSN  0033-569X.
4. ホップ、エバーハルト(1950). 「偏微分方程式 ut + uux = μxx」 .純粋応用数学通信. 3 (3): 201– 230. doi :10.1002/cpa.3160030302.