初等代数学
×＝−b±b2−41つのc21つの{\displaystyle {\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}}
二次方程式の解である二次方程式 の公式は、です。ここで、記号a、b、c は任意の数を表し、x は方程式の解を表す変数です。1つの×2+b×+c＝0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}1つの≠0{\displaystyle a\neq 0}
代数方程式の 2 次元プロット (赤い曲線) 。y＝×2−×−2{\displaystyle y=x^{2}-x-2}

初等代数学は、高校代数学または大学代数学とも呼ばれ、[ 1 ]代数学の基本概念を網羅しています。しばしば算術と対比されます。算術は特定の数を扱い、[ 2 ]代数学は数値変数（固定値を持たない量）を導入します。[ 3 ]算術では、加算や減算などの演算は数に対してのみ実行できます。代数学では、数、変数、項に対して演算を実行できます。抽象代数学とは異なり、初等代数学は実数と複素数の領域外の代数構造には関与しません。

代数方程式は、アメリカ合衆国では中等学校および大学入門レベルで一般的に教えられており[ 4 ]、算数の理解を深めることを目的としています。変数を用いて量を表すことで、量間の一般的な関係を形式的かつ簡潔に表現することができ、より広範な問題を解くことが可能になります。科学と数学における多くの定量的な関係は、代数方程式として表現されます。

代数演算

二次方程式の解における代数演算。平方根を表す根号√は、べき乗に等しい。1/2±記号は、方程式が+記号でも-記号でも表記できることを意味します。

数学において、基本代数演算（きほんたいきかんすう）とは、加算、減算、乗算、除算、整数乗、分数乗（ぶんすう）といった初等代数の一般的な演算のいずれかに類似した数学的演算である。[ 5 ]初等代数の演算は数値に対して実行することができ、その場合は算術演算と呼ばれる。また、同様の方法で変数、代数式に対しても実行することができ、[ 6 ] 、より一般的には群や体などの代数構造の要素に対しても実行することができる。[ 7 ]

集合⁠ ⁠に対する代数演算は、より正式には、 S{\displaystyle S}⁠ ⁠の要素の与えられた長さの組⁠ ⁠に写像する関数として定義されます。組の長さは演算のアリティと呼ばれ、組の各メンバーはオペランドと呼ばれます。最も一般的なケースはアリティが2の場合で、演算は二項演算と呼ばれ、オペランドは順序付きペアを形成します。単項演算は、オペランドが1つだけのアリティが1の演算です。たとえば、平方根です。三項演算（アリティが3）の例としては、三重積があります。[ 8 ]S{\displaystyle S}S{\displaystyle S}

代数演算という用語は、ドット積など、基本的な代数演算を組み合わせることで定義できる演算にも使用されることがあります。微積分学や数学解析学においては、代数演算は純粋に代数的な手法で定義できる演算にも使用されます。例えば、整数または有理数指数によるべき乗は代数演算ですが、実数または複素数指数による一般的なべき乗は代数演算ではありません。また、微分は代数演算ではない演算です。

代数記法

代数記法は、数式を書くための規則と慣例、そして式の各要素について述べる際に用いられる用語を規定します。例えば、この式には以下の要素が含まれます。 3×2−2×y+c{\displaystyle 3x^{2}-2xy+c}

代数式の表記法:   1 – べき乗（指数）  2 – 係数  3 – 項  4 – 演算子  5 – 定数項– 定数– 変数  c{\displaystyle c}  ×{\displaystyle x}y{\displaystyle y}

係数とは、変数を乗じる数値、または数値定数を表す文字です（演算子は省略されます）。項とは加数または被加数であり、係数、変数、定数、指数の集合で、プラスとマイナスの演算子によって他の項と区切られることがあります。[ 9 ]文字は変数と定数を表します。慣例により、アルファベットの先頭の文字（例：）は通常定数を表し、アルファベットの末尾の文字（例：およびz ）は変数を表します。[ 10 ]これらは通常イタリック体で印刷されます。[ 11 ]1つの、b、c{\displaystyle a,b,c}×、y{\displaystyle x,y}

代数演算は算術演算[ 12 ]と同様に動作し、加算、減算、乗算、除算、累乗[ 13 ]などの演算は代数変数および項に適用されます。乗算記号は通常省略され、2つの変数または項の間にスペースがない場合、または係数が使用されている場合は暗黙的に使用されます。例えば、はと表記され、はと表記されることがあります。[ 14 ]3××2{\displaystyle 3\times x^{2}}3×2{\displaystyle 3x^{2}}2×××y{\displaystyle 2\times x\times y}2×y{\displaystyle 2xy}

通常、最も高いべき乗（指数）を持つ項は左側に書かれます。たとえば、はxの左側に書かれます。係数が 1 の場合、通常は省略されます（例、 はと書かれます）。[ 15 ]同様に、指数（べき乗）が 1 の場合も（例、は と書かれます）。[ 16 ]指数が 0 の場合、結果は常に 1 になります（例、は常に1と書き直されます）。[ 17 ]ただし、 は未定義であるため、式に使用すべきではなく、指数に変数が使用される可能性のある式を簡略化する際には注意が必要です。 ×2{\displaystyle x^{2}}1×2{\displaystyle 1x^{2}}×2{\displaystyle x^{2}}3×1{\displaystyle 3x^{1}}3×{\displaystyle 3x}x0{\displaystyle x^{0}}00{\displaystyle 0^{0}}

代替表記

代数式では、文字と記号しか使用できない場合など、必要な書式が利用できない、または暗黙的に指定できない場合に、他の表記法が使用されます。例えば、指数は通常、プレーンテキストやTeXマークアップ言語では上付き文字（ ）を用いて書式設定されますが、キャレット記号^は指数を表すため、「x^2」と表記されます。[ 18 ] [ 19 ]これはLuaなどの一部のプログラミング言語にも当てはまります。Ada [20 ]、Fortran [ 21 ]、Perl [ 22 ]、Python [ 23 ]、Ruby [ 24 ]などのプログラミング言語では、二重のアスタリスクが使用されるため、「 x**2」と表記されます。多くのプログラミング言語や計算機では、乗算記号を表すために単一のアスタリスクが使用され、[ 25 ]明示的に使用する必要があります。例えば、「3*x」と表記されます 。x2{\displaystyle x^{2}}x2{\displaystyle x^{2}}x2{\displaystyle x^{2}}3x{\displaystyle 3x}

概念

変数

円の直径と円周の関係を示す変数の例。任意の円について、円周cを直径dで割った値は定数pi（約3.14）に等しくなります。π{\displaystyle \pi }

初等代数学は算術[ 26 ]を基盤とし、変数と呼ばれる文字を導入して一般的な（特定されていない）数を表すことで算術を拡張します。これはいくつかの理由で有用です。

  1. 変数は、値がまだ分かっていない数値を表す場合があります。例えば、今日の気温Cが前日の気温Pより20度高い場合、この問題は代数的に次のように記述できます。[ 27 ]C=P+20{\displaystyle C=P+20}
  2. 変数を用いることで、関係する量の値を特定することなく、一般的な問題を記述することが可能になります[ 4 ] 。例えば、5分は秒数であると具体的に述べることができます。より一般的な（代数的な）記述としては、秒数 （mは分数）であると述べることができます。60×5=300{\displaystyle 60\times 5=300}s=60×m{\displaystyle s=60\times m}
  3. 変数は変化する可能性のある量の間の数学的な関係を記述することを可能にする。[ 28 ]例えば、円の円周cと直径dの関係は次のように記述される。π=c/d{\displaystyle \pi =c/d}
  4. 変数は、いくつかの数学的性質を記述することを可能にします。例えば、加算の基本的な性質の一つである交換法則は、加算される数の順序は重要ではないというものです。交換法則は代数的に次のように表されます。[ 29 ](a+b)=(b+a){\displaystyle (a+b)=(b+a)}

表現を簡素化する

代数式は、算術演算（加算、減算、乗算、除算、累乗）の基本的な性質に基づいて評価および簡略化することができます。例えば、

  • 追加された項は係数を用いて簡略化されます。例えば、は（3は数値係数）のように簡略化できます。x+x+x{\displaystyle x+x+x}3x{\displaystyle 3x}
  • 乗算項は指数を用いて簡略化されます。例えば、次のように表されます。x×x×x{\displaystyle x\times x\times x}x3{\displaystyle x^{3}}
  • 同類項は互いに加算されます。[ 30 ]例えば、は と書きます。これは、 を含む項が互いに加算され、 を含む項が互いに加算されるためです。2x2+3ab−x2+ab{\displaystyle 2x^{2}+3ab-x^{2}+ab}x2+4ab{\displaystyle x^{2}+4ab}x2{\displaystyle x^{2}}ab{\displaystyle ab}
  • 括弧は分配法則を用いて「掛け算」することができます。例えば、は と書くことができ、これは と書くことができます。x(2x+3){\displaystyle x(2x+3)}(x×2x)+(x×3){\displaystyle (x\times 2x)+(x\times 3)}2x2+3x{\displaystyle 2x^{2}+3x}
  • 式は因数分解することができます。例えば、 は、両項を共通因数で割ることで、次のように表すことができます。6x5+3x2{\displaystyle 6x^{5}+3x^{2}}3x2{\displaystyle 3x^{2}}3x2(2x3+1){\displaystyle 3x^{2}(2x^{3}+1)}

方程式

直角三角形のピタゴラスの定理を説明するアニメーション。三角形の斜辺と他の 2 辺の間の代数的な関係を示します。

等式とは、等号（イコール）を使って2つの式が等しいことを示すものです。[ 31 ]最もよく知られている等式の一つは、直角三角形の辺の長さに関するピタゴラスの法則を記述したものです。[ 32 ]

c2=a2+b2{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}

この式は、直角の反対側の辺である斜辺の長さの二乗を表す が、長さがaとbで表される他の 2 辺の二乗の和 (加算) に等しいことを示しています。 c2{\displaystyle c^{2}}

方程式とは、2つの式が同じ値を持ち、等しいという主張です。方程式の中には、関係する変数のすべての値に対して成り立つもの（ など）があり、そのような方程式は恒等方程式と呼ばれます。条件付き方程式は、関係する変数の一部の値に対してのみ成り立ちます。例えば、は とに対してのみ成り立ちます。方程式を成立させる変数の値は方程式の解であり、方程式を解くことで求めることができます。 a+b=b+a{\displaystyle a+b=b+a}x2−1=8{\displaystyle x^{2}-1=8}x=3{\displaystyle x=3}x=−3{\displaystyle x=-3}

方程式のもう1つの種類は不等式です。不等式は、方程式の片側がもう片側より大きい、または小さいことを示すために使用されます。不等式で使用される記号は、で、 は「より大きい」、は「より小さい」を表します。通常の等式と同様に、数値の加算、減算、乗算、除算が可能です。唯一の例外は、負の数で乗算または除算する場合は、不等号を反転する必要があることです。 a>b{\displaystyle a>b}>{\displaystyle >}a<b{\displaystyle a<b}<{\displaystyle <}

平等の性質

定義により、等式は同値関係であり、反射的（すなわち）、対称的（すなわち ならば）、推移的（すなわち ならば）であることを意味します。[ 33 ]また、2つの記号が等しいものを表す場合、最初のものに関する任意の正しい記述において、一方の記号をもう一方の記号に置き換えても記述は真のままであるという重要な性質も満たします。これは以下の性質を意味します。 b=b{\displaystyle b=b}a=b{\displaystyle a=b}b=a{\displaystyle b=a}a=b{\displaystyle a=b}b=c{\displaystyle b=c}a=c{\displaystyle a=c}

  • もし、そして、そして;a=b{\displaystyle a=b}c=d{\displaystyle c=d}a+c=b+d{\displaystyle a+c=b+d}ac=bd{\displaystyle ac=bd}
  • ならば、そして;a=b{\displaystyle a=b}a+c=b+c{\displaystyle a+c=b+c}ac=bc{\displaystyle ac=bc}
  • より一般的には、任意の関数fに対して、 であれば となります。a=b{\displaystyle a=b}f(a)=f(b){\displaystyle f(a)=f(b)}

不等式の性質

「より小さい」 と「より大きい」の関係は推移性を持つ：[ 34 ]<{\displaystyle <}>{\displaystyle >}

  • もし   、   そして     、   a<b{\displaystyle a<b}b<c{\displaystyle b<c}a<c{\displaystyle a<c}
  • もし     そして     それから   ；[ 35 ]a<b{\displaystyle a<b}c<d{\displaystyle c<d}a+c<b+d{\displaystyle a+c<b+d}
  • もし   、   そして     、   a<b{\displaystyle a<b}c>0{\displaystyle c>0}ac<bc{\displaystyle ac<bc}
  • ならば     、   。   ​   a<b{\displaystyle a<b}c<0{\displaystyle c<0}bc<ac{\displaystyle bc<ac}

不等式を逆にすると、とを入れ替えることができる。[ 36 ]例えば： <{\displaystyle <}>{\displaystyle >}

  • a<b{\displaystyle a<b}は以下と同等であるb>a{\displaystyle b>a}

代替

置換とは、式の項を置き換えて新しい式を作成することです。式a *5でa を 3に置き換えると、 15を意味する新しい式3*5が作成されます。ステートメントの項を置換すると、新しいステートメントが作成されます。元のステートメントが項の値に関わらず真である場合、置換によって作成されたステートメントも真です。したがって、定義は記号で作成し、置換によって解釈することができます。 が をaと自身の積として定義することを意図している場合、 aを 3に置き換えると、このステートメントの読者は3 × 3 = 9を意味することがわかります。多くの場合、ステートメントが項の値に関わらず真かどうかは不明です。また、置換を使用すると、可能な値に対する制約を導出したり、ステートメントがどのような条件の下で成り立つかを示したりすることができます。たとえば、x + 1 = 0という命題において、x を1に置き換えると、1 + 1 = 2 = 0となり、これは偽です。つまり、x + 1 = 0ならばx は1にはならないということです。 a2:=a×a{\displaystyle a^{2}:=a\times a}a2,{\displaystyle a^{2},}32{\displaystyle 3^{2}}

xとyが整数、有理数、または実数の場合、xy = 0はx = 0またはy = 0を意味します。abc = 0を考えてみましょう。次に、x をaに、yをbcに代入すると、 a = 0またはbc = 0 であることがわかります。次に、 x = b、y = cと再度代入すると、 bc = 0の場合、b = 0またはc = 0であることがわかります。したがって、abc = 0の場合、a = 0または ( b = 0またはc = 0 ) となり、abc = 0はa = 0またはb = 0またはc = 0を意味します。

元の事実が「ab = 0 はa = 0またはb = 0を意味する」と述べられていた場合、「abc = 0を考える」と言うときに、代入時に用語の衝突が生じてしまいます。しかし、上記の論理は、a = aおよびb = bcとする代わりに、 a を a に、 bc を b に置き換えれば (そして bc = 0 の場合は、 a を b に、 b を c に置き換えれば)、 abc = 0 の場合にa = 0またはb = 0またはc = 0になることを示すのに依然として有効です。これは、ステートメント内の項を代入することと、ステートメントの項を代入後の項と等しくすることとは常に同じではないことを示しています。この状況では、元の方程式のa項に式aを代入すると、代入されたaはステートメント「ab = 0はa = 0またはb = 0を意味する」のaを指しないことは明らかです。

代数方程式を解く

典型的な代数の問題。

次のセクションでは、遭遇する可能性のあるいくつかの種類の代数方程式の例を示します。

1変数の線形方程式

線形方程式は、プロットすると直線を描くことからその名が付けられています。最も簡単に解ける方程式は、変数が1つだけの線形方程式です。これらの方程式は、定数と指数のない単一の変数のみで構成されます。例として、次の方程式を考えてみましょう。

言葉による問題: 子供の年齢の 2 倍に 4 を加えると、答えは 12 になります。子供は何歳ですか。
同等の式：xは子供 の年齢を表す2x+4=12{\displaystyle 2x+4=12}

この種の方程式を解くには、方程式の両辺に同じ数を足したり、引いたり、掛けたり、割ったりして、方程式の片側の変数を分離します。変数が分離されると、方程式のもう一方の辺はその変数の値になります。[ 37 ]この問題とその解は以下のとおりです。

xを解く
1. 解くべき方程式: 2x+4=12{\displaystyle 2x+4=12}
2. 両辺から4を引きます。 2x+4−4=12−4{\displaystyle 2x+4-4=12-4}
3. これを簡略化すると次のようになります。 2x=8{\displaystyle 2x=8}
4. 両辺を2で割ります。 2x2=82{\displaystyle {\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}}
5. これにより、解決策は次のように簡素化されます。 x=4{\displaystyle x=4}

言葉で言うと、子供は4歳です。

1 つの変数を持つ線形方程式の一般的な形式は、次のように表すことができます。ax+b=c{\displaystyle ax+b=c}

同じ手順（つまり両辺からbを引き、 aで割る）に従うと、一般解は次のようになる。x=c−ba{\displaystyle x={\frac {c-b}{a}}}

2変数の線形方程式

2 つの線形方程式を、それらが交差する点において一意の解を持つように解きます。

2変数の線形方程式には多くの（つまり無限の数の）解が存在します。[ 38 ]例えば：

言葉の問題：父親は息子より22歳年上です。彼らは何歳ですか？
同等の方程式:ここで、 yは父親の年齢、xは息子の年齢です。y=x+22{\displaystyle y=x+22}

これは単独では解けません。息子の年齢が分かれば、2つの未知数（変数）はなくなります。すると問題は1つの変数を持つ線形方程式となり、上記のように解くことができます。

2つの変数（未知数）を含む線形方程式を解くには、2つの関連する方程式が必要です。例えば、次の式も明らかになったとします。

言葉の問題
10年後には父親の年齢は息子の2倍になるだろう。
同等の方程式
y+10=2×(x+10)y=2×(x+10)−10Subtract 10 from both sidesy=2x+20−10Multiple out bracketsy=2x+10Simplify{\displaystyle {\begin{aligned}y+10&=2\times (x+10)\\y&=2\times (x+10)-10&&{\text{Subtract 10 from both sides}}\\y&=2x+20-10&&{\text{Multiple out brackets}}\\y&=2x+10&&{\text{Simplify}}\end{aligned}}}

ここで、2つの関連した線形方程式があり、それぞれに2つの未知数があります。これらから、一方から他方を引くことで、1つの変数だけを持つ線形方程式を作成することができます（消去法と呼ばれます）。[ 39 ]

{y=x+22First equationy=2x+10Second equation{\displaystyle {\begin{cases}y=x+22&{\text{First equation}}\\y=2x+10&{\text{Second equation}}\end{cases}}}
Subtract the first equation from(y−y)=(2x−x)+10−22the second in order to remove y0=x−12Simplify12=xAdd 12 to both sidesx=12Rearrange{\displaystyle {\begin{aligned}&&&{\text{Subtract the first equation from}}\\(y-y)&=(2x-x)+10-22&&{\text{the second in order to remove }}y\\0&=x-12&&{\text{Simplify}}\\12&=x&&{\text{Add 12 to both sides}}\\x&=12&&{\text{Rearrange}}\end{aligned}}}

つまり、息子は 12 歳で、父親は 22 歳年上なので、34 歳になるはずです。10 年後には、息子は 22 歳になり、父親は息子の 2 倍の 44 歳になります。この問題は、方程式の関連プロットに示されています。

この種の方程式を解く他の方法については、以下の「線形方程式のシステム」を参照してください。

二次方程式

の二次方程式のプロットは、その根が と にあることを示し、この二次方程式は次のように書き直せることを示しています。y=x2+3x−10{\displaystyle y=x^{2}+3x-10}x=−5{\displaystyle x=-5}x=2{\displaystyle x=2}y=(x+5)(x−2){\displaystyle y=(x+5)(x-2)}

二次方程式とは、指数が2の項（例えば ）を含む方程式である[ 40 ] 。この名前は、ラテン語で「平方」を意味するquadrusに由来する。 [ 41 ]一般に、二次方程式はの形式で表すことができる[ 42 ]。ここでa は0ではない（もし0であれば、方程式は二次ではなく一次になる）。このため、二次方程式には項 が含まれなければならない。この項は二次項と呼ばれる。したがって となり、これをaで割って方程式を標準形に変形する ことができる。x2{\displaystyle x^{2}}ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}ax2{\displaystyle ax^{2}}a≠0{\displaystyle a\neq 0}

x2+px+q=0{\displaystyle x^{2}+px+q=0}

ここで、およびである。これを平方完成法と呼ばれる方法で解くと、二次方程式の公式が得られる。p=ba{\displaystyle p={\frac {b}{a}}}q=ca{\displaystyle q={\frac {c}{a}}}

x=−b±b2−4ac2a,{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}

ここで「±」の記号は、

x=−b+b2−4ac2aandx=−b−b2−4ac2a{\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

は二次方程式の解です。

二次方程式は因数分解を用いて解くこともできます（因数分解の逆過程は展開ですが、2つの線形項の場合は展開と呼ばれることもあります）。因数分解の例として、

x2+3x−10=0,{\displaystyle x^{2}+3x-10=0,}

これは同じことだ

(x+5)(x−2)=0.{\displaystyle (x+5)(x-2)=0.}

零積性から、因子のどちらか一方が零でなければならないため、解は または のいずれかであることが分かります。すべての二次方程式は複素数系では2つの解を持ちますが、実数系では必ずしも解を持つ必要はありません。例えば、 x=2{\displaystyle x=2}x=−5{\displaystyle x=-5}

x2+1=0{\displaystyle x^{2}+1=0}

実数の二乗が-1にならないため、実数解は存在しません。二次方程式には、次のように2の 重複根を持つものもあります。

(x+1)2=0.{\displaystyle (x+1)^{2}=0.}

この方程式では、−1は2の重複根である。これは、この方程式を因数分解して書き直すと、−1が2回現れることを意味する。

[x−(−1)][x−(−1)]=0.{\displaystyle [x-(-1)][x-(-1)]=0.}

複素数

すべての二次方程式は、複素数において正確に2つの解を持ちます（ただし、互いに等しい場合もあります）。複素数には、実数、虚数、そして実数と虚数の和が含まれます。複素数は、二次方程式と二次方程式の公式を教える際に初めて登場します。例えば、次の二次方程式は

x2+x+1=0{\displaystyle x^{2}+x+1=0}

解決策がある

x=−1+−32andx=−1−−32.{\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad x={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}.}

は実数ではないので、 xのこれらの解は両方とも複素数です。 −3{\displaystyle {\sqrt {-3}}}

指数方程式と対数方程式

x 軸（x が 1）と交差し、y 軸に沿って負の無限大に向かって伸びる対数曲線を示すグラフ。
2を底とする対数のグラフは、x軸（水平軸）を1で横切り、座標( 2 , 1)、(4, 2)、(8, 3)の点を通ります。例えば、log 2 (8) = 3は、2 3 = 8であるためです。グラフはy軸に任意に近づきますが、交わったり交差したりすることはありません。

指数方程式は、に対して[ 43 ]の形を持ち、その解は ax=b{\displaystyle a^{x}=b}a>0{\displaystyle a>0}

x=loga⁡b=ln⁡bln⁡a{\displaystyle x=\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}}

のとき。初等的な代数的手法を用いて、与えられた方程式を上記のように書き直してから解を求める。例えば、 b>0{\displaystyle b>0}

3⋅2x−1+1=10{\displaystyle 3\cdot 2^{x-1}+1=10}

そして、方程式の両辺から1を引いて、両辺を3で割ると、

2x−1=3{\displaystyle 2^{x-1}=3}

どこから

x−1=log2⁡3{\displaystyle x-1=\log _{2}3}

または

x=log2⁡3+1.{\displaystyle x=\log _{2}3+1.}

対数方程式は、の形の方程式であり、その解は loga(x)=b{\displaystyle log_{a}(x)=b}a>0{\displaystyle a>0}

x=ab.{\displaystyle x=a^{b}.}

例えば、

4log5⁡(x−3)−2=6{\displaystyle 4\log _{5}(x-3)-2=6}

そして、方程式の両辺に2を足し、両辺を4で割ると、

log5⁡(x−3)=2{\displaystyle \log _{5}(x-3)=2}

どこから

x−3=52=25{\displaystyle x-3=5^{2}=25}

そこから得られる

x=28.{\displaystyle x=28.}

根号方程式

x32≡x32{\displaystyle {\overset {}{\underset {}{{\sqrt[{2}]{x^{3}}}\equiv x^{\frac {3}{2}}}}}}
同じ式を2通りの方法で表す根号方程式。3本のバーは、xのあらゆる値に対して方程式が成り立つことを意味します。

根号方程式とは、平方根、立方根、、n乗根、を含む根号記号を含む方程式です。n乗根は指数形式で書き直すことができるため、と等価であることを思い出してください。通常の指数（べき乗）と組み合わせると、 （ xの 3 乗の平方根）は と書き直すことができます。[ 44 ]したがって、根号方程式の一般的な形式は（ と等価）です。ここで、mとnは整数です。これは実数解を持ちます。 x,{\displaystyle {\sqrt {x}},}x3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}xn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}xn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}x1n{\displaystyle x^{\frac {1}{n}}}x32{\displaystyle {\sqrt[{2}]{x^{3}}}}x32{\displaystyle x^{\frac {3}{2}}}xmn=a{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x^{m}}}=a}xmn=a{\displaystyle x^{\frac {m}{n}}=a}

nは奇数 nは偶数であり、a≥0{\displaystyle a\geq 0}nとmは偶数であり、a<0{\displaystyle a<0}nは偶数、mは奇数、そしてa<0{\displaystyle a<0}
x=amn{\displaystyle x={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}

同等に

x=(an)m{\displaystyle x=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}}
x=±amn{\displaystyle x=\pm {\sqrt[{n}]{a^{m}}}}

同等に

x=±(an)m{\displaystyle x=\pm \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}}
x=±amn{\displaystyle x=\pm {\sqrt[{n}]{a^{m}}}}本当の解決策はない

たとえば、次の場合:

(x+5)2/3=4{\displaystyle (x+5)^{2/3}=4}

それから

x+5=±(4)3,x+5=±8,x=−5±8,{\displaystyle {\begin{aligned}x+5&=\pm ({\sqrt {4}})^{3},\\x+5&=\pm 8,\\x&=-5\pm 8,\end{aligned}}}

そしてこうして

x=3orx=−13{\displaystyle x=3\quad {\text{or}}\quad x=-13}

線形方程式のシステム

2 つの変数を持つ線形方程式を解くにはさまざまな方法があります。

消去法

方程式の解の集合は単一の点(2, 3)である。x−y=−1{\displaystyle x-y=-1}3x+y=9{\displaystyle 3x+y=9}

消去法を使用して線形方程式を解く例を示します。

{4x+2y=142x−y=1.{\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}}

2番目の方程式の項を2倍します。

4x+2y=14{\displaystyle 4x+2y=14}
4x−2y=2.{\displaystyle 4x-2y=2.}

2 つの方程式を足し合わせると次のようになります。

8x=16{\displaystyle 8x=16}

これは次のように単純化される

x=2.{\displaystyle x=2.}

という事実がわかっているので、 元の2つの方程式のどちらからでも（xの代わりに2を使うことで）を導くことができる。この問題の完全な解は、 x=2{\displaystyle x=2}y=3{\displaystyle y=3}

{x=2y=3.{\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}}

これは、この特定のシステムを解決する唯一の方法ではありません。yはx の前に解決できた可能性があります。

置換法

同じ線形方程式を解く別の方法は、置換法です。

{4x+2y=142x−y=1.{\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}}

yに相当する値は、2つの式のうちの1つを用いて導出できます。2つ目の式を用いると、

2x−y=1{\displaystyle 2x-y=1}

方程式の各辺から 引き算すると次のようになります。2x{\displaystyle 2x}

2x−2x−y=1−2x−y=1−2x{\displaystyle {\begin{aligned}2x-2x-y&=1-2x\\-y&=1-2x\end{aligned}}}

そして-1を掛けます。

y=2x−1.{\displaystyle y=2x-1.}

元のシステムの最初の方程式で このy値を使用すると、次のようになります。

4x+2(2x−1)=144x+4x−2=148x−2=14{\displaystyle {\begin{aligned}4x+2(2x-1)&=14\\4x+4x-2&=14\\8x-2&=14\end{aligned}}}

方程式の両辺に 2 を加算します。

8x−2+2=14+28x=16{\displaystyle {\begin{aligned}8x-2+2&=14+2\\8x&=16\end{aligned}}}

これは次のように単純化される

x=2{\displaystyle x=2}

この値をいずれかの式で使用すると、前の方法と同じ解が得られます。

{x=2y=3.{\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}}

これは、この特定のシステムを解く唯一の方法ではありません。この場合も、y をx の前に解くことができた可能性があります。

その他の種類の線形方程式系

一貫性のないシステム

方程式と は平行であり、交差することはできず、 は解けません。3x+2y=6{\displaystyle 3x+2y=6}3x+2y=12{\displaystyle 3x+2y=12}
交差せず、したがって共通の解が存在しない二次方程式 (赤) と一次方程式 (青) のグラフ。

上記の例では解が存在します。しかし、解を持たない連立方程式も存在します。このような連立方程式は矛盾していると呼ばれます。分かりやすい例としては、

{x+y=10x+0y=2.{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x+y&=1\\0x+0y&=2\,.\end{aligned}}\end{cases}}}

0≠2なので、この系の2番目の方程式は解を持ちません。したがって、この系は解を持ちません。しかし、矛盾する系は必ずしも一目でわかるわけではありません。例えば、次の系を考えてみましょう。

{4x+2y=12−2x−y=−4.{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-4\,.\end{aligned}}\end{cases}}}

2番目の方程式の両辺を2倍し、それを最初の方程式に加えると、

0x+0y=4,{\displaystyle 0x+0y=4\,,}

明らかに解決策はありません。

未確定システム

唯一の解（つまり、 xとyの値が唯一のペア）を持つシステムとは対照的に、無限に多くの解を持つシステムも存在します。例:

{4x+2y=12−2x−y=−6{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-6\end{aligned}}\end{cases}}}

2番目の方程式で yを分離します。

y=−2x+6{\displaystyle y=-2x+6}

そして、この値をシステムの最初の方程式で使用します。

4x+2(−2x+6)=124x−4x+12=1212=12{\displaystyle {\begin{aligned}4x+2(-2x+6)=12\\4x-4x+12=12\\12=12\end{aligned}}}

等式は真ですが、xの値は示していません。実際、 xにいくつかの値を入力するだけで、任意のxに対してである限り解が存在することは簡単に確認できます。この系には無限の解が存在します。 y=−2x+6{\displaystyle y=-2x+6}

過剰決定系と不足決定系

線形方程式の数よりも多くの変数を持つ系は、劣決定系と呼ばれます。そのような系は、解が存在する場合、唯一の解ではなく、無数の解を持ちます。そのような系の例としては、

{x+2y=10y−z=2.{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x+2y&=10\\y-z&=2.\end{aligned}}\end{cases}}}

これを解こうとすると、解が存在する場合はいくつかの変数を他の変数の関数として表現することになりますが、解が存在する場合は無限の数の解が存在するため、すべての解を数値的に表現することはできません。

変数の数よりも方程式の数が多い系は、過剰決定系と呼ばれます。過剰決定系に解が存在する場合、必然的にいくつかの方程式は他の方程式の 線型結合となります。

参照

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