一般的な固定点問題
1967年に解決された数学の問題

数学において、一般的な不動点問題とは、「単位区間を自身に写像し、関数合成に関して可換な任意の2つの連続関数に対して、両方の関数の不動点となる点が存在するはずである」という予想である。言い換えれば、関数と が連続であり、かつ単位区間内のすべての に対して であるならば、単位区間内にとなる点が存在するはずである。 f {\displaystyle f} グラム {\displaystyle g} f （ グラム （ × ） ） ＝ グラム （ f （ × ） ） {\displaystyle f(g(x))=g(f(x))} × {\displaystyle x} × {\displaystyle x} f （ × ） ＝ × ＝ グラム （ × ） {\displaystyle f(x)=x=g(x)}

この問題は1954年に初めて提起され、10年以上も未解決のままでした。その間、複数の数学者が肯定的な答えに向けて着実に進歩を遂げました。1967年、ウィリアム・M・ボイスとジョン・P・フネケは独立して[1] : 3、 共通の不動点を持たない閉区間上の可換関数の例を挙げることで、この予想が誤りであることを証明しました。

歴史

1951年に発表されたH.D.ブロックとH.P.ティールマンの論文は、可換関数の不動点というテーマへの関心を呼び起こした。[2] J.F.リットとA.G.ウォーカーによる先行研究を基に、ブロックとティールマンは、互いに可換な多項式の集合を特定し、その性質を研究した。彼らは、これらの集合のそれぞれについて、任意の2つの多項式が共通の不動点を持つことを証明した。[3]

ブロックとティールマンの論文は、他の数学者たちに、共通の不動点を持つことが可換関数の普遍的な性質であるかどうかという疑問を抱かせた。1954年、エルドン・ダイアーは、実数直線上の閉区間を自身に写し可換な2つの連続関数とするとき、それらは共通の不動点を持つべきかどうかを問うた。同じ疑問は、1955年にアレン・シールズによって、 1956年にはレスター・デュビンズによってそれぞれ独立に提起された。[4]ジョン・R・イズベルも1957年に、より一般的な形でこの疑問を提起した。[5] f {\displaystyle f} グラム {\displaystyle g}

1960年代に、数学者は、とについて特定の仮定を置いた場合に、可換関数予想が成り立つことを証明することができました。[2] [1] f {\displaystyle f} グラム {\displaystyle g}

1963年、ラルフ・デマールは、と が両方ともリプシッツ連続であり、両方のリプシッツ定数が である場合、と は共通の不動点を持つことを示しました。[6]ジェラルド・ユングクはデマールの条件を改良し、 がリプシッツ連続である必要はなく、 と同様だがそれほど制限のない基準を満たすことを示しまし た。[7] f {\displaystyle f} グラム {\displaystyle g} ≥ 1 {\displaystyle \geq 1} f {\displaystyle f} グラム {\displaystyle g}

異なるアプローチとして、ハスケル・コーエンは1964年に、連続かつ「完全」な場合、とが共通の不動点を持つことを示した。ここで、単位区間を自身に写す連続関数は、その定義域が有限個の区間に分割可能であり、各区間に対して、その区間に限定された関数が単位区間への同相写像となる場合、完全関数と呼ばれる。 [8]その後、ジョン・H・フォークマンとジェームズ・T・ジョイチはそれぞれ独立してコーエンの研究を拡張し、2つの関数のうち1つだけが完全関数であれば十分であることを示した。[9] [10] f {\displaystyle f} グラム {\displaystyle g}

ジョン・マックスフィールドとWJ・モーラントは1965年に、単位区間上の可換関数は、一方の関数に周期2点がない場合（つまり、を意味する場合）、共通の不動点を持つことを証明した。[11]翌年、シャーウッド・チューとRD・モイヤーは、一方の関数に不動点があり、もう一方には周期2点がない部分区間がある場合に、この予想が成り立つことを発見した。[12] f （ f （ × ） ） ＝ × {\displaystyle f(f(x))=x} f （ × ） ＝ × {\displaystyle f(x)=x}

ボイスの反例

ウィリアム・M・ボイスは1967年にチューレーン大学で博士号を取得した。[13]論文の中でボイスは合成に関して可換だが共通の不動点を持たない一対の関数を特定し、不動点予想が誤りであることを証明した。[14]

1963年、グレン・バクスターとジョイチは合成関数 の不動点に関する論文を発表しました。関数と はの不動点を置換することが知られていました。バクスターとジョイチは、各不動点において、 のグラフは対角線を上向きに交差する（「上向き交差」）、下向きに交差する（「下向き交差」）、あるいは交差せずに対角線に接してから反対方向に離れる、のいずれかの方法で交差する、と指摘しました。[15]バクスターは別の論文で、置換は各不動点の型（上向き交差、下向き交差、接線）を保存する必要があり、特定の順序のみが許されることを証明しました。[5] h （ × ） ＝ f （ グラム （ × ） ） ＝ グラム （ f （ × ） ） {\displaystyle h(x)=f(g(x))=g(f(x))} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} h {\displaystyle h} h {\displaystyle h}

ボイスはバクスターの規則に従う順列を生成するコンピュータプログラムを作成し、これを「バクスター順列」と名付けた。[2] [16] [17]彼のプログラムは、不動点を持つことが自明に証明できる順列や、他のケースと解析的に等価な順列を慎重に選別した。このプロセスによって97%以上の順列が排除された後、ボイスは残った候補から可換関数のペアを構築し、対角線上に13個の交点を持つバクスター順列に基づくそのようなペアの1つには共通の不動点がないことを証明した。[18]

ボイスの論文は、コンピュータ支援による証明の最も初期の例の一つである。[1] 1960年代には数学者が研究にコンピュータを利用することは珍しかったが、[1] [19]当時陸軍に勤務していたボイスは、MITリンカーン研究所のコンピュータを利用することができた。ボイスは、バクスター順列を生成するプロセスを説明した別の論文を発表し、その中にはプログラムのFORTRAN ソースコードも含まれていた。 [18]

フネケの反例

ジョン・P・フネケも、1967年にウェズリアン大学で博士号を取得した際に、共通不動点問題を研究した。フネケは博士論文の中で、2つの異なる戦略を用いて、可換だが共通不動点を持たない関数のペアの例を2つ挙げている。[20]フネケの最初の例はボイスの例と本質的に同一であるが、フネケは異なるプロセスを経てこの例に至った。[21]

フネケの解法は、山登り問題[22]に基づいています。これは、2人の登山者が同じ高さの別々の山を登る場合、各時点で常に同じ標高になるように登ることができるというものです。フネケはこの原理を用いて、共通不動点問題[20]の反例に収束する関数の列を構築しました。

その後の研究

ボイスとフネケによる反例の発見は、10年に及ぶ可換関数予想の証明の追求が終了したことを意味しましたが、研究者は、すでに発見されている条件に加えて、どのような条件の下でこの予想がまだ成り立つ可能性があるかを調査することに努力を集中できるようになりました。[2]

ボイスは1971年にマックスフィールド/モーラントとチュー/モイヤーの研究を拡張し、両方の可換関数が周期2の点を持つことを可能にするより弱い条件を示したが、それでも共通の不動点を持つ必要があることを示唆した。[23]彼の研究は後にセオドア・ミッチェル、フリオ・カノ、ヤチェク・R・ヤヒムスキーによって拡張された。[24] [25] [26]

最初の論文の発表から25年以上経って、ユングクは周期点の概念と関数の一致集合、つまり となる値に基づいて、と が共通の不動点を持つための追加条件を定義しました。[27] f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)}

バクスター順列はそれ自体が研究対象となっており、共通不動点問題以外の問題にも応用されている。[28]

参考文献

  1. ^ abcd Brown, Robert F. (2021年1月15日). 「良い疑問は消えない：数学研究の一例」.アメリカ数学月刊誌. 128 (1): 62– 68. doi :10.1080/00029890.2021.1847592.
  2. ^ abcd McDowell, Eric L. (2009年8月5日). 「可換関数の一致値」(PDF) .トポロジー論文集. 34 : 365–384 .
  3. ^ Block, HD; Thielman, HP (1951). 「可換多項式」.季刊数学誌. 2 (1): 241– 243. doi :10.1093/qmath/2.1.241.
  4. ^ Shields, Allen L. (1964). 「可換解析関数の不動点について」(PDF) .アメリカ数学会報. 15 (5): 703– 706. doi :10.1090/S0002-9939-1964-0165508-3.
  5. ^ ab バクスター、グレン (1964年12月). 「可換関数の合成体の不動点について」(PDF) .アメリカ数学会報. 15 (6): 851– 855. doi :10.1090/S0002-9939-1964-0184217-8.
  6. ^ デマール、ラルフ (1963). 「可換写像のための共通不動点定理」.アメリカ数学月刊誌. 70 (5): 535– 537. doi :10.2307/2312067. JSTOR  2312067.
  7. ^ ユングク、ジェラルド (1966). 「可換写像と共通不動点」.アメリカ数学月刊誌. 73 (7): 735– 738. doi :10.2307/2313982. JSTOR  2313982.
  8. ^ コーエン、ハスケル (1964). 「可換関数の不動点について」(PDF) .アメリカ数学会報. 15 (2): 293– 296. doi :10.1090/S0002-9939-1964-0184219-1.
  9. ^ Folkman, Jon H. (1966). 「完全関数と可換な関数について」(PDF) . Proceedings of the American Mathematical Society . 17 (2): 383– 386. doi :10.1090/S0002-9939-1966-0190916-6. ISSN  0002-9939.
  10. ^ Joichi, James T. (1966). 「完全関数と共通不動点と可換な関数について」Nieuw. Arch. Wiss . 14 : 247–251 .
  11. ^ Maxfield, J.; Mourant, W. (1965). 「単位区間上の可換連続関数の共通不動点」(PDF) . Indag. Math . 27 : 668–670 . doi :10.1016/S1385-7258(65)50068-8.
  12. ^ Chu, S.; Moyer, R. (1966). 「連続関数、可換関数、不動点について」(PDF) . Fund. Math . 59 : 91–95 . doi :10.4064/fm-59-1-91-95.
  13. ^ 「数学論文」チューレーン大学. 2024年10月15日閲覧。
  14. ^ ボイス、ウィリアム・M. (1969年3月). 「共通不動点を持たない可換関数」(PDF) .アメリカ数学会誌. 137 : 77–92 . doi :10.1090/S0002-9947-1969-0236331-5.
  15. ^ バクスター, グレン; ジョイチ, JT (1963). 「可換関数によって誘導される順列と埋め込み問題」. Mathematica Scandinavica . 13 (2): 140– 150. doi :10.7146/math.scand.a-10696. ISSN  0025-5521. JSTOR  24490218.
  16. ^ McCroskey, Erin J. (2013).共通不動点問題の拡張 [修士論文] . テネシー工科大学.
  17. ^ Mallows, C. L (1979-11-01). 「バクスター順列が再び台頭」 . Journal of Combinatorial Theory, Series A. 27 ( 3): 394– 396. doi :10.1016/0097-3165(79)90034-7. ISSN  0097-3165.
  18. ^ ab ボイス, ウィリアム・M. (1967). 「可換関数に関連する順列クラスの生成」(PDF) .数学アルゴリズム. 2 : 19–26 .
  19. ^ LaSalle, JP編 (1974). 『数学研究と教育におけるコンピューティングの影響』アメリカ数学会. pp.  vii– viii.コンピュータは、今のところ比較的少数の数学者によって巧みに利用されているが、重要な実証ツールであることが証明されている…
  20. ^ ab Huneke, John Philip (1967). 閉区間上の可換連続関数の共通不動点について（博士論文）.ウェズリアン大学. ProQuest  302265144.
  21. ^ Huneke, John Philip (1969). 「区間上の可換連続関数の共通不動点について」(PDF) .アメリカ数学会誌. 139 : 371–381 . doi :10.1090/S0002-9947-1969-0237724-2. ISSN  0002-9947.
  22. ^ Huneke, John Philip (1969). 「Mountain climbing」（PDF） .アメリカ数学会誌. 139 : 383– 391. doi :10.1090/S0002-9947-1969-0239013-9. ISSN  0002-9947.
  23. ^ ボイス, ウィリアム・M. (1971). 「区間と不動点上のΓコンパクト写像」(PDF) .アメリカ数学会誌. 160 : 87–102 . doi :10.1090/S0002-9947-1971-0280655-1. ISSN  0002-9947.
  24. ^ ミッチェル、セオドア (1972). 「写像の等連続半群の共通不動点」(PDF) .アメリカ数学会報. 33 (1): 146– 150. doi :10.1090/S0002-9939-1972-0289735-4. ISSN  0002-9939.
  25. ^ Cano, J. (1982). 「区間上の可換写像のクラスに対する共通不動点」(PDF) . Proceedings of the American Mathematical Society . 86 (2): 336– 338. doi :10.1090/S0002-9939-1982-0667301-2. ISSN  0002-9939.
  26. ^ Jachymski, Jacek (1996). 「単位区間上の写像における共通不動点を含む同値条件」(PDF) . Proceedings of the American Mathematical Society . 124 (10): 3229– 3233. doi :10.1090/S0002-9939-96-03397-7. ISSN  0002-9939.
  27. ^ Jungck, Gerald (1992). 「単位区間上の適合写像の共通不動点」(PDF) . Proceedings of the American Mathematical Society . 115 (2): 495– 499. doi :10.1090/S0002-9939-1992-1105040-0. ISSN  0002-9939.
  28. ^ Chung, FRK ; Graham, RL ; Hoggatt, VE Jr. ; Kleiman, M. (1978). 「バクスター順列の数」（PDF） . Journal of Combinatorial Theory . Series A. 24 (3): 382– 394. doi : 10.1016/0097-3165(78)90068-7 . MR  0491652.バクスター順列は、明らかに「可換関数」予想を証明しようとする試みの中で初めて登場した。…しかしながら、…バクスター順列は、解析においてこれまで考えられていたよりも一般的な重要性を持つ。
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Common_fixed_point_problem&oldid=1331119548"