シンプレクティック群

数学において、シンプレクティック群という名称は、正の整数 n と体 F (通常は C または R ) に対してSp ( 2 n , F )およびSp $(n) と表記$ さ $れる、 2$ つの異なるが密接に関連した数学的群のコレクションを指すことがあります。後者はコンパクトシンプレクティック群と呼ばれ、とも表記されます。多くの著者は、通常 $2$ 倍異なる、わずかに異なる表記を好みます。ここで使用する表記は、群を表す最も一般的な行列のサイズと一致しています。カルタンの単純リー代数の分類では、複素群 $Sp(2$ $n$ $,$ $C$ $)のリー代数は$ $C$ $n$ と表記され、 $Sp($ $n$ $)は$ $Sp(2$ $n$ $,$ $C$ $)$ のコンパクト実数形式です。(コンパクト)シンプレクティック群について言及する場合、次元 $n$ でインデックス付けされた (コンパクト) シンプレクティック群のコレクションについて話していることを意味します。 $\mathrm {USp} (n)$

「シンプレクティック群」という名前は、ヘルマン・ワイルが、以前の紛らわしい名前である「(線)複素群」と「アーベル線型群」の代わりに作ったもので、「複素」のギリシャ語の類似語です。

メタプレクティック群はR上のシンプレクティック群の二重被覆であり、他の局所体、有限体、アデール環上にも類似物があります。

$Sp(2n, F)$

シンプレクティック群は、体 $F$ $上の2$ $n$ 次元ベクトル空間の非退化歪対称双線型形式を保存する線型変換の集合として定義される古典的な群である。このようなベクトル空間はシンプレクティックベクトル空間と呼ばれ、抽象シンプレクティックベクトル空間 $V$ $のシンプレクティック群はSp($ $V$ $)$ と表記される。 $V$ の基底を固定すると、シンプレクティック群は行列乗算の演算の下で、 $F$ を要素とする $2$ $n$ $\times 2$ $n$ シンプレクティック行列の群になる。この群は $Sp(2$ $n$ $,$ $F$ $)$ または $Sp($ $n$ $,$ $F$ $)$ と表記される。双線型形式が非特異歪対称行列Ωで表される場合、

\operatorname {Sp} (2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \},

ここでM ^TはMの転置である。Ωは次のように定義されることが多い。

\Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},

ここで、 I _nは単位行列です。この場合、 $Sp(2 n, F) は$ 、以下の3つの式を満たすブロック行列（ただし）として表すことができます。 $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$ $A,B,C,D\in M_{n\times n}(F)$

{\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}

すべてのシンプレクティック行列は行列式が $1 で$ あるため、シンプレクティック群は特殊線型群 $SL(2$ $n$ $,$ $F$ $)$ の部分群となる。 $n$ $= 1 の$ とき、行列のシンプレクティック条件は行列式が 1 の場合にのみ満たされ、したがって $Sp(2,$ $F$ $) = SL(2,$ $F$ $)$ となる。 $n$ $> 1 の$ ときは追加の条件があり、つまり $Sp(2$ $n$ $,$ $F$ $)は$ $SL(2$ $n$ $,$ $F$ $)$ の真部分群となる。

典型的には、体 $F$ は実数 $R$ または複素数 $C$ の体である。これらの場合、 $Sp(2 n, F)はそれぞれ実次元$ $n$ $(2$ $n$ $+ 1)$ または複素次元の実リー群または複素リー群である。これらの群は連結であるが、非コンパクトである。

$Sp(2$ $n$ $,$ $F$ $)$ の中心は $、$ 体の特性が $2$ でない限り、行列 $I$ $2$ $n$ と $-I$ $2$ $n$ から構成されます。^[¹^] $Sp(2$ $n$ $,$ $F$ $)$ の中心は離散的であり、その中心を法とする商は単純群であるため、 $Sp(2$ $n$ $,$ $F$ $)は$ 単純リー群と見なされます。

対応するリー代数の実数階数、したがってリー群 $Sp(2 n, F)$ の実数階数は $n$ です。

$Sp(2$ $n$ $,$ $F$ $)$ のリー代数は集合

{\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},

交換子をリー括弧として備えたものである。 ^{[ 2 ]} 標準的な歪対称双線型形式の場合、このリー代数は、条件 $\Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})$ $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$

{\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}

$Sp(2 n, C)$

複素数体上のシンプレクティック群は、非コンパクトで単連結な単純リー群である。この群の定義には共役群は含まれない（素朴に予想されるのとは反対に）が、体の変化を除けば定義と全く同じである。^{[ 3 ]}

$Sp(2 n, R)$

$Sp(n, C)$ は実群 $Sp(2$ $n$ $,$ $R$ $)の$ 複素化である。Sp (2 n , $R$ $)$ は実数で非コンパクト、連結、単純リー群である。^[⁴^] $Sp(2$ $n$ $,$ R ) は加法に関して整数群と同型な基本群を持つ。単純リー群の実数形として、そのリー代数は分割可能リー代数である。

$Sp(2 n, R)$ のその他の性質:

リー代数 $sp$ $(2$ $n$ $,$ $R$ $)$ から群 $Sp(2$ $n$ $,$ $R$ $)$ への指数写像は射影的ではない。しかし、群の任意の元は2つの指数写像の積として表すことができる。^[⁵^]言い換えれば、

\forall S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\,\,\exists X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbf {R} )\,\,S=e^{X}e^{Y}.

$Sp(2$ $n$ $,$ $R$ $)$ 内のすべての $S$ について:

S=OZO'\quad {\text{そのような}}\quad O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong U(n)\quad {\text{および}}\quad Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}.

行列

D

は正定値かつ対角行列である。そのような

Z

の集合は

Sp(2 n, R)

の非コンパクト部分群を形成し、

U(n)

はコンパクト部分群を形成する。この分解は「オイラー分解」または「ブロッホ・メサイア分解」として知られる。^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}シンプレクティック行列のさらなる性質については、Wikipedia の該当ページを参照のこと。

リー群として、 $Sp(2 n, R)$ は多様体構造を持つ。Sp $(2$ $n$ $,$ $R$ $)$ の多様体は、ユニタリ群 $U($ $n$ $)と$ $n$ $($ $n$ $+1)$ 次元のベクトル空間との直積に微分同相である。^[⁸^]

無限小ジェネレータ

$シンプレクティックリー代数sp (2n, F)$ の要素はハミルトン行列である。

これらは行列であり、 $Q$

$Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}$

ここで、 $B$ と $C$ は対称行列である。導出については古典群を参照のこと。

シンプレクティック行列の例

$Sp(2, R) 、つまり行列式が$ $1である$ $2 \times 2$ 行列の群に対して、3つのシンプレクティック $(0, 1)$ 行列は次のようになる: ^[⁹^]

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.$

Sp(2n, R)

は生成器を用いてかなり明示的に記述できることがわかります。対称行列をとすると、はによって生成されます。ここで $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ $\operatorname {Sym} (n)$ $n\times n$ $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ $D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \},$

${\begin{aligned}D(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}}\,\right|\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )\right\}\\[6pt]N(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}}\,\right|\,B\in \operatorname {Sym} (n)\right\}\end{aligned}}$

^[¹⁰^]^{pg 173}^[¹¹^]^{pg 2}のサブグループです。 $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$

シンプレクティック幾何学との関係

シンプレクティック幾何学はシンプレクティック多様体の研究分野である。シンプレクティック多様体上の任意の点における接空間はシンプレクティックベクトル空間である。^{[ 12 ]}前述のように、シンプレクティックベクトル空間の構造保存変換は群を形成し、この群は空間の次元とそれが定義される体に依存して $Sp(2 n, F)となる。$

シンプレクティックベクトル空間はそれ自体がシンプレクティック多様体である。したがって、シンプレクティック群の作用による変換は、ある意味では、シンプレクティック多様体上のより一般的な構造保存変換であるシンプレクト同相写像の線型化版と言える。

$Sp(n)$

コンパクトシンプレクティック群^{[ 13 ]} $Sp(n)は$ $Sp(2n, C)$ とユニタリ群の交差である。 $2n\times 2n$

\operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).

$USp(2 n)$ と表記されることもある。あるいは、 $Sp(n) は、$ $H$ $n$ 上の標準エルミート形式を保存する $GL(n, H)$ （可逆な四元数行列）の部分群として記述することもできる。

\langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.

つまり、 $Sp(n)$ はまさに四元数ユニタリー群 $U($ n $,$ $H$ $)$ $で$ ある。^{[ 14 ]}実際、これはハイパーユニタリー群と呼ばれることもある。また、Sp(1)はノルム $1$ の四元数群であり、 $SU(2)$ と同値であり、位相的には $3$ 次元球面 $S 3で$ ある。

$Sp(n)$ は前節の意味でのシンプレクティック群ではないことに注意されたい。つまり、 $H$ $n$ 上の非退化歪対称 $H$ -双線型形式を保存しない。零形式以外にそのような形式は存在しない。むしろ、 $Sp(2$ $n$ $,$ $C$ $)$ の部分群と同型であり、したがって次元の2倍のベクトル空間において複素シンプレクティック形式を保存する。後述するように、 $Sp($ $n$ $)$ のリー代数は、複素シンプレクティックリー代数 $sp$ $(2$ $n$ $,$ $C$ $)$ のコンパクト実形式である。

$Sp(n)$ は実次元 $n (2n +1)の実リー群である。$ コンパクトかつ単連結である。^{[ 15 ]}

$Sp(n)$ のリー代数は、次の式を満たす $n$ $行$ $n$ 列の四元数行列の集合である四元数歪エルミート行列によって与えられる。

A+A^{\dagger }=0

ここで、 $A †$ は $A$ の共役転置（ここでは四元数共役をとる）である。リー括弧は交換子によって与えられる。

重要なサブグループ

主なサブグループは次のとおりです。

\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)

\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {U} (n)

\operatorname {Sp} (2)\supset \operatorname {O} (4)

逆に言えば、それ自体は他のいくつかのグループのサブグループです。

\operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)

\operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)

\operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)

リー代数の同型 $sp$ $(2)=$ $so$ $(5)$ と $sp$ $(1)=$ $so$ $(3)=$ $su$ $(2)$ も存在する。

ユニタリシンプレクティック群は、超四元数と呼ばれる四元数代数のテンソル積として定義されるクリフォード代数で表すことができる。となる。したがって、コンパクトシンプレクティック群が成り立つ。^[¹⁶^] $USp(n)$ $\mathbb {H} ^{\otimes 2}=\mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} =M_{4\times 4}(\mathbb {R} )=Cl_{3,1}\mathbb {(R)}$ $\mathbb {H} ^{\otimes 3}=M_{4\times 4}(\mathbb {H} )$ $USp(4)$

シンプレクティック群間の関係

すべての複素半単純リー代数には、分割実形式とコンパクト実形式があります。前者は後者の 2 つの複素化と呼ばれます。

$Sp(2 n, C)$ のリー代数は半単純であり、 $sp (2 n, C)$ と表記される。その分割実数形は $sp (2 n, R)$ であり、コンパクト実数形は $sp (n)$ である。これらはそれぞれリー群 $Sp(2 n, R)$ および $Sp(n)$ に対応する。

$Sp (p, n - p)$ のリー代数である代数 $sp (p, n - p)$ は、コンパクト形式と同等の不定シグネチャです。

物理的な重要性

古典力学

非コンパクトシンプレクティック群 $Sp(2 n, R)$ は、古典物理学において、ポアソン括弧を保存する標準座標の対称性として登場します。

ハミルトン方程式に従って発展する $n$ 個の粒子の系を考えます。与えられた時刻における位相空間の位置は、正準座標のベクトルで表されます。

\mathbf {z} =(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})^{\mathrm {T} }.

$Sp(2 n, R)$ 群の元は、ある意味では、このベクトル上の標準変換、すなわちハミルトン方程式の形を保つものである。^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}

\mathbf {Z} =\mathbf {Z} (\mathbf {z} ,t)=(Q^{1},\ldots ,Q^{n},P_{1},\ldots ,P_{n})^{\mathrm {T} }

は新しい標準座標であり、ドットは時間微分を表す。

{\dot {\mathbf {Z} }}=M({\mathbf {z} },t){\dot {\mathbf {z} }},

どこ

M(\mathbf {z} ,t)\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )

位相空間におけるすべての $t$ とすべての $z$ に対して。 ^{[ 19 ]}

リーマン多様体の特殊なケースでは、ハミルトン方程式はその多様体上の測地線を記述する。座標は基底多様体上に存在し、運動量は余接束に存在する。これが、これらが慣例的に上下の添え字で表記される理由であり、位置を区別するためである。対応するハミルトニアンは純粋に運動エネルギーから成り、となる。ここではリーマン多様体上の計量テンソルの逆である。 ^[²⁰^]^[¹⁸^]実際、任意の滑らかな多様体の余接束は標準的な方法でシンプレクティック構造を与えることができ、シンプレクティック形式はトートロジー一形式の外微分として定義される。^[²¹^] $q^{i}$ $p_{i}$ $H={\tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}$ $g^{ij}$ $g_{ij}$

量子力学

$n$ 個の粒子からなる系を考えてみましょう。この系では、量子状態がその位置と運動量を符号化しています。これらの座標は連続変数であるため、状態が存在するヒルベルト空間は無限次元となります。このため、この状況の解析はしばしば困難になります。別のアプローチとして、位相空間におけるハイゼンベルク方程式の下での位置演算子と運動量演算子の発展を考える方法があります。

標準座標のベクトルを構築する。

\mathbf {\hat {z}} =({\hat {q}}^{1},\ldots ,{\hat {q}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})^{\mathrm {T} }.

標準的な交換関係は次のように簡単に表現できる。

[\mathbf {\hat {z}} ,\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }]=i\hbar \Omega

どこ

\Omega ={\begin{pmatrix}\mathbf {0} &I_{n}\\-I_{n}&\mathbf {0} \end{pmatrix}}

I $n は$ $n \times n$ の単位行列です。

多くの物理的状況では、2次ハミルトニアン、すなわち次の形のハミルトニアンのみが必要となる。

{\hat {H}}={\frac {1}{2}}\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }K\mathbf {\hat {z}}

ここで $K$ $は2 n \times 2 n$ の実対称行列である。これは有用な制約であり、ハイゼンベルク方程式を次のように書き直すことができる。

{\frac {d\mathbf {\hat {z}} }{dt}}=\Omega K\mathbf {\hat {z}}

この方程式の解は、正準交換関係を保つ必要がある。この系の時間発展は、実シンプレクティック群 $Sp(2$ $n$ $,$ $R$ $)$ の位相空間への作用と等価であることが示される。

参照

注記

^「シンプレクティック群」、数学百科事典、 2014年12月13日閲覧。
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参考文献

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[2] ホール 2015提案 3.25

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[4] 「シンプレクティック群Sp(2 n , R )は単純か？」 Stack Exchange 2014年12月14日閲覧。

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