表現論用語集

これは数学における表現論の用語集です。

「モジュール」という用語は、表現と同義に使われることが多いです。モジュール理論の用語については、モジュール理論の用語集も参照してください。

リー群とリー代数の用語集、表現論トピックのリスト、およびカテゴリ:表現論も参照してください。

表記法： と書きます。したがって、例えば、群Gの 1 表現（つまり、指標）は という形式になります。 G メートル ＝ G L 1 {\displaystyle \mathbb {G} _{m}=GL_{1}} χ : G → G メートル {\displaystyle \chi :G\to \mathbb {G} _{m}}

あ

アダムス
アダムス作戦。
副次
リー群Gの随伴表現は、 Gのリー代数に対するGの随伴作用によって与えられる表現です(随伴作用は、大まかに言えば、共役作用を微分することによって得られます)。
許容される
実簡約群の表現は、(1)最大コンパクト部分群Kがユニタリ作用素として作用し、(2) Kの各既約表現が有限重複度を持つ場合、許容可能と呼ばれる。
交互
表現Vの交代平方は、 2 番目のテンソルのべき乗のサブ表現です。 代替 2 ⁡ （ V ） {\displaystyle \operatorname {Alt} ^{2}(V)} V ⊗ 2 ＝ V ⊗ V {\displaystyle V^{\otimes 2}=V\otimes V}
アルティン
1.  エミール・アルティン。
2.  誘導指標に関するアルティンの定理は、有限群上の指標は巡回部分群から誘導される指標の有理線形結合であることを述べています。
3.  アルティン伝導体の定義にはアルティン表現が用いられる。
自形
保型表現

B

ボレル・ヴェイユ・ボットの定理
ボレル・ヴェイユ・ボットの定理は、特性値がゼロの代数閉体上で、簡約代数群の既約表現を旗多様体上の直線束の大域切断の空間として実現する。（正特性の場合、この構成ではヴェイユ加群のみが生成されるが、これは既約ではない可能性がある。）
分岐
分岐ルール
ブラウアー
誘導指標に関するブラウアーの定理は、有限群上の指標は、基本部分群から誘導された指標の整数係数を持つ線形結合であることを述べています。

C

カルタン・ワイル理論
半単純リー代数の表現理論の別名。
カシミール要素
カシミール元は、リー代数の普遍包絡代数の中心の特別な元です。
表現のカテゴリー
表現とそれらの間の同変写像は表現のカテゴリを形成します。
キャラクター
1.文字は 1 次元の表現です。
2. 有限次元表現πの指標は関数である。言い換えれば、それは合成である。 グラム ↦ tr ⁡ π （ グラム ） {\displaystyle g\mapsto \operatorname {tr} \pi (g)} G → π G L （ V ） → tr G メートル {\displaystyle G{\overset {\pi }{\to }}GL(V){\overset {\operatorname {tr} }{\to }}\mathbb {G} _{m}}
3.既約な文字(または自明な文字) は、既約な表現 (または自明な表現) の文字です。
4.グループGの文字グループとは、 G上のすべての文字のグループ、つまり、です。 ホム ⁡ （ G 、 G メートル ） {\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\mathbb {G} _{m})}
5.指標環はGの指標群の（整数上の）群環である。
6. 仮想文字は文字リングの要素です。
7.無限次元表現に対して分配特性を定義することができる。
8.微小な文字。
シュヴァレー
1. シュヴァレー
2.  シュヴァレー発電機
3.  シュヴァレーグループ。
4.  シュヴァレーの制限定理。
クラス関数
群G上の類関数 fは、共役類上の関数であるような関数です。 f （ グラム ） ＝ f （ h グラム h − 1 ） {\displaystyle f(g)=f(hgh^{-1})}
クラスター代数
クラスター代数は、生成元に何らかの組み合わせ構造を持つ積分領域であり、双対標準基底の概念を体系化するために導入されました。
接合部
共役表現は、随伴表現の双対表現です。
完了
「完全に還元可能」は「半単純」の別名です。
複雑な
1.複素表現とは、 Gの複素ベクトル空間上の表現です。多くの著者は複素表現を単に表現と呼びます。
2.複素表現Vの複素共役は、 Gの線型作用を持つ同じ基礎加法群Vを持つ表現ですが、複素共役による複素数の作用を持ちます。 V ¯ {\displaystyle {\overline {V}}}
3. 複素表現は、その複素共役と同型である場合に自己共役である。
補完的な
表現Vの部分表現Wの補完表現は、VがWとW 'の直和となるような表現W 'です。
尖頭骨
尖頭器官の表現
結晶
結晶基底
周期的な
巡回G加群は、単一のベクトルによって生成されるG加群です。例えば、既約表現は必ず巡回的になります。

D

デデキント
文字の線形独立性に関するデデキントの定理。
定義
体拡大 が与えられたとき、 K上の群Gの表現VがF上に定義されているとは、 F上のある表現に対してがによって誘導されるとき、すなわち であるときを言う。ここで、はVのF形式と呼ばれる（そして必ずしも一意ではない）。 K / F {\displaystyle K/F} V ≃ V 0 ⊗ F K {\displaystyle V\simeq V_{0}\otimes _{F}K} V 0 {\displaystyle V_{0}} グラム : V → V {\displaystyle g:V\to V} グラム : V 0 → V 0 {\displaystyle g:V_{0}\to V_{0}} グラム ⋅ （ v ⊗ λ ） ＝ グラム v ⊗ λ {\displaystyle g\cdot (v\otimes \lambda )=gv\otimes \lambda } V 0 {\displaystyle V_{0}}
デマズール
デマズールの性格式
直和
表現 V、Wの直和は、ベクトル空間の直和と線形群作用を組み合わせた表現です。 V ⊕ W {\displaystyle V\oplus W} π V ⊕ W （ グラム ） （ v + わ ） ＝ π V （ グラム ） v + π W （ グラム ） わ {\displaystyle \pi _{V\oplus W}(g)(v+w)=\pi _{V}(g)v+\pi _{W}(g)w}
離散
リー群Gの既約表現は、その行列係数がすべて平方積分可能であるとき、離散級数に属すると言われる。例えば、Gがコンパクトであれば、そのすべての既約表現は離散級数に属する。
支配的な
単連結コンパクトリー群の既約表現は、その最大の重みによってインデックス付けされる。これらの主要な重みは、リー群の重み格子における直積体の格子点を形成する。
デュアル
1.表現Vの双対表現（または反逆表現）は、自然な対比を保つ線型群作用を伴う双対ベクトル空間の表現である。 V ∗ ＝ ホム ⁡ （ V 、 け ） {\displaystyle V^{*}=\オペレーター名 {Hom} (V,k)} V ∗ × V → け {\displaystyle V^{*}\times V\to k}
2. 双対標準基底は、Lusztig の標準基底の双対です。

E

エイゼンシュタイン
エイゼンシュタインシリーズ
同変
「 G等変」という用語は、「 G線形」の別名です。
外観
表現Vの外冪は、 によって誘導される群作用を持つ表現です。 ∧ n （ V ） {\displaystyle \wedge^{n}(V)} V ⊗ n → ∧ n （ V ） {\displaystyle V^{\otimes n}\to \wedge^{n}(V)}

F

忠実な
忠実な表現 とは、関数として単射となるような表現です。 π : G → G L （ V ） {\displaystyle \pi :G\to GL(V)} π {\displaystyle \pi }
ファイバー関数
ファイバー関数。
フロベニウスの相互性
フロベニウスの相互性は、 Hの表現とGの表現のそれぞれに対して、一対一の関係が存在する ことを述べている。 σ {\displaystyle \sigma } π {\displaystyle \pi }
ホム G ⁡ （ π 、 工業 H G ⁡ σ ） ＝ ホム H ⁡ （ π | H 、 σ ） {\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(\pi ,\operatorname {Ind} _{H}^{G}\sigma )=\operatorname {Hom} _{H}(\pi |_{H},\sigma )}
これは、制限関数 の右随伴関数 という意味で自然です。 工業 H G {\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}} π ↦ π | H {\displaystyle \pi \mapsto \pi |_{H}}
基本的
基本表現: 単連結コンパクトリー群の既約表現に対して、 Gのディンキン図の頂点で添え字付けされた基本重みの集合が存在し、その重みは単に基本重みの非負整数線型結合となる。対応する既約表現はリー群の基本表現である。特に、基本重みによる支配的な重みの展開から、基本表現の対応するテンソル積を取り、その支配的な重みに対応する既約表現のコピーを1つ抽出することができる。特殊ユニタリ群SU ( n )の場合、n − 1個の基本表現はウェッジ積である 。
あ l t け   C n {\displaystyle Alt^{k}\ {\mathbb {C} }^{n}}
交代テンソル から成り、k=1,2,...,n-1。

G

G線形
表現間のG線型写像 は、 G作用と可換な線型変換です。つまり、G内のすべてのgに対してです。 f : V → W {\displaystyle f:V\to W} f ∘ π V （ グラム ） ＝ π W （ グラム ） ∘ f {\displaystyle f\circ \pi _{V}(g)=\pi _{W}(g)\circ f}
Gモジュール
表現の別名。モジュール理論の用語（例えば、自明なGモジュール、Gサブモジュールなど）を許容します。
G同変ベクトル束
G同変ベクトル束は、 G空間X上のベクトル束と、(右側とすれば) E上のG作用を組み合わせたもので、 は明確に定義された線型写像となります。 p : E → X {\displaystyle p:E\to X} グラム : p − 1 （ × ） → p − 1 （ × グラム ） {\displaystyle g:p^{-1}(x)\to p^{-1}(xg)}
ガロア
ガロア表現。
良い
簡約群Gの表現の良いフィルタリングとは、商が と同型であるようなフィルタリングのことです。ここで、は旗多様体 上の直線束です。 H 0 （ λ ） ＝ Γ （ G / B 、 L λ ） {\displaystyle H^{0}(\lambda )=\Gamma (G/B,L_{\lambda })} L λ {\displaystyle L_{\lambda}} G / B {\displaystyle G/B}

H

ハリシュ・チャンドラ
1.  ハリシュ・チャンドラ（1923年10月11日 - 1983年10月16日）、インド系アメリカ人の数学者。
2. ハリシュ・チャンドラ・プランシェレルの定理。
最高重量
1. 複素半単純リー代数、カルタン部分代数、および正のワイル室の選択が与えられた場合、の表現の最高の重みは、すべての正の根に対してとなるような-重みベクトルvの重みです( vは最高重みベクトルと呼ばれます)。 グラム {\displaystyle {\mathfrak {g}}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} E α v = 0 {\displaystyle E_{\alpha }v=0} α {\displaystyle \alpha }
2.最高重み定理は、 (1) の2つの有限次元既約表現が同型となるのは、それらの最高重みが同じである場合のみであり、(2) 各支配的な積分に対して、最高重みを持つ有限次元既約表現が存在することを述べています。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} λ ∈ h ∗ {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}} λ {\displaystyle \lambda }
ホム
表現V、WのHom表現 は、ベクトル空間の同一視によって得られる群作用を持つ表現です。 Hom ⁡ ( V , W ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)} Hom ⁡ ( V , W ) = V ∗ ⊗ W {\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)=V^{*}\otimes W}

私

分解できない
分解不可能な表現とは、少なくとも 2 つの適切な部分表現の直和ではない表現です。
誘導
1.群Gの部分群Hの表現が与えられたとき、誘導表現 ( σ , W ) {\displaystyle (\sigma ,W)}
Ind H G ⁡ ( σ ) = { f : G → W | f ( h g ) = σ ( h ) f ( g ) } {\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}(\sigma )=\{f:G\to W|f(hg)=\sigma (h)f(g)\}}
はH線型関数上に誘導されるG の表現です。#フロベニウスの相互性を参照してください。 f : G → W {\displaystyle f:G\to W}
2. アプリケーションによっては、関数にさらなる条件を課すのが一般的です。たとえば、関数がコンパクトにサポートされる必要がある場合、結果として得られる帰納法はコンパクト帰納法と呼ばれます。 f : G → W {\displaystyle f:G\to W}
微々たる
実簡約群の 2 つの許容表現は、 K有限ベクトルの空間上の関連するリー代数表現が同型である場合、無限小的に同値であると言われます。
積分可能な
カッツ・ムーディ代数の表現は、(1)重み空間の和であり、(2)シュヴァレー生成子が局所的に冪零である場合に積分可能であると言われる。 e i , f i {\displaystyle e_{i},f_{i}}
絡み合う
「絡み合い演算子」という用語は、表現間のG線形マップの古い名前です。
退化
反転表現は、反転を保存するヒルベルト空間上のC* 代数の表現です。
還元不可能な
既約表現とは、その部分表現が零とそれ自身のみである表現のことである。「既約」という用語は「単純」と同義である。
同型性
群Gの表現間の同型性は、表現間の可逆なG線型写像です。
同型
1. 表現Vと単純表現W（部分表現またはその他）が与えられたとき、型WのVの同型成分は、Wと同型であるVのすべての部分表現の直和である。例えば、A を環とし、G を自己同型としてそれに作用する群とする。AがG加群として半単純である場合、不変量環は自明型のAの同型成分である。 A G {\displaystyle A^{G}}
2.半単純表現の同型分解とは、同型成分への分解です。

J

ジャケ
ジャケ関手

K

カック
カック文字式
K有限
群Kの表現空間内のベクトルvは、有限次元ベクトル空間を張る場合、K有限であると言われます。 K ⋅ v {\displaystyle K\cdot v}
キリロフ
キリロフ指標式

L

格子
1.ルート格子は、ルートによって生成される自由アーベル群です。
2.重み格子は、カルタン部分代数上のすべての線形関数のうち、整数であるものの群です。は、すべての根 に対して整数です。 χ ∈ h ∗ {\displaystyle \chi \in {\mathfrak {h}}^{*}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} χ ( H α ) {\displaystyle \chi (H_{\alpha })} α {\displaystyle \alpha }
リトルマン
リテルマンパスモデル

M

マシュケの定理
マシュケの定理は、有限群Gの体F上の有限次元表現は、Fの特性がGの位数を割り切らない場合、半単純表現になることを述べています。
マッキー理論
マッキー理論は、 「群Gの部分群Hの表現Wが与えられたとき、誘導表現がGの既約表現となるのはいつなのか？」という疑問に答えるためのツールと考えられる[1]。 Ind H G ⁡ W {\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}W}
マース・セルベルグ
マース・セルバーグ関係。
行列係数
表現の行列係数は、 G上の関数の線形結合であり、Vと双対空間 におけるvについての形をとる。この概念は任意の群に対して意味を持つ。G が位相群で連続ならば、行列係数はG上の連続関数となる。G と が代数的ならば、行列係数はG上の正則関数となる。 π : G → G L ( V ) {\displaystyle \pi :G\to GL(V)} g ↦ ⟨ π ( g ) v , α ⟩ {\displaystyle g\mapsto \langle \pi (g)v,\alpha \rangle } α {\displaystyle \alpha } V ∗ {\displaystyle V^{*}} π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi }
モジュラー
モジュラー表現理論。
モリエン
モリエンの定理によれば、有限群Gの有限次元複素表現V が与えられたとき、級数（ここでV上のn次-不変同次多項式空間を表す）は と一致する。この定理は、を最大コンパクト部分群上の積分に置き換えることで、簡約群に対しても成立する。 ∑ n = 0 ∞ dim ⁡ ( C [ V ] G ) n t n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\dim(\mathbb {C} [V]^{G})_{n}t^{n}} ( C [ V ] G ) n {\displaystyle (\mathbb {C} [V]^{G})_{n}} G {\displaystyle G} ( # G ) − 1 ∑ g ∈ G det ( 1 − t g | V ) − 1 {\displaystyle (\#G)^{-1}\sum _{g\in G}\det(1-tg|V)^{-1}} ( # G ) − 1 ∑ g ∈ G {\displaystyle (\#G)^{-1}\sum _{g\in G}}

お

発振器
発振器の表現
軌道
軌道法、シンプレクティック幾何学のツールを用いた表現論へのアプローチ

P

ピーター・ワイル
ピーター・ワイルの定理は、コンパクト群G上の行列係数の線形スパンがにおいて稠密であることを述べています。 L 2 ( G ) {\displaystyle L^{2}(G)}
順列
群G、G集合X 、およびXから固定体への関数のベクトル空間Vが与えられたとき、 V上のGの置換表現は、 V上のGの誘導作用によって与えられる表現、すなわち、 となる。例えば、X が有限集合であり、V がXによってパラメータ化された基底を持つベクトル空間とみなされる場合、対称群は基底の要素を置換し、その線型拡張はまさに置換表現となる。 π {\displaystyle \pi } ( π ( g ) v ) ( x ) = v ( g − 1 x ) {\displaystyle (\pi (g)v)(x)=v(g^{-1}x)} G = Sym ⁡ ( X ) {\displaystyle G=\operatorname {Sym} (X)}
プランシュレル
プランシュレル式
ポジティブなエネルギーの表現
ポジティブなエネルギーの表現。
原生的
「原始要素」（またはベクトル）という用語は、ボレル重みベクトルの古い用語です。
射影的
群Gの射影表現は群準同型 である。 であるので、射影表現はGの群作用を自己同型として に正確に作用させる。 π : G → P G L ( V ) = G L ( V ) / G m {\displaystyle \pi :G\to PGL(V)=GL(V)/\mathbb {G} _{m}} P G L ( V ) = Aut ⁡ ( P ( V ) ) {\displaystyle PGL(V)=\operatorname {Aut} (\mathbb {P} (V))} P ( V ) {\displaystyle \mathbb {P} (V)}
ちゃんとした
表現Vの適切な部分表現は、 Vではない部分表現です。

質問

商
表現Vと部分表現が与えられた場合、商表現はによって与えられる表現です。 W ⊂ V {\displaystyle W\subset V} ( π V / W , V / W ) {\displaystyle (\pi _{V/W},V/W)} π V / W ( g ) : V / W → V / W , v + W ↦ g v + W {\displaystyle \pi _{V/W}(g):V/W\to V/W,\,v+W\mapsto gv+W}
四元数
群Gの四元数表現は、 G不変の四元数構造を備えた複素表現です。
震え
定義上、矢印は有向グラフです。しかし、一般的には矢印の表現を研究します。

R

ラショナル
表現Vが有理数であるとは、 V内の各ベクトルvが何らかの有限次元部分表現（vに依存）に含まれている場合です。
本物
1.ベクトル空間の実表現は、実ベクトル空間上の表現です。
2. 実指標とは、群Gの指標であって、 Gの任意のgに対してとなる指標のことである。[2] χ {\displaystyle \chi } χ ( g ) ∈ R {\displaystyle \chi (g)\in \mathbb {R} }
通常
1.有限群Gの正規表現は、 Gの体上の群代数上のGの誘導表現です。
2.線型代数群 Gの正則表現とは、 Gの座標環上の誘導表現である。座標環上の表現も参照のこと。
表現
1.  

表現論の定義は単純です。それは、与えられた群がベクトル空間にどのように作用するかを研究する学問です。しかしながら、このように明確に区分された学問分野の中で、数学者にとってその関心の広さにおいて、表現論はほぼ間違いなく他に類を見ないものです。これは驚くべきことではありません。群の作用は20世紀の数学において遍在しており、群の作用対象がベクトル空間でない場合は、ベクトル空間（例えば、コホモロジー群、接空間など）に置き換えることを学んできました。その結果、この分野の専門家（あるいは専門家になりたいと思っている人でさえ）以外の多くの数学者が、様々な形でこの分野に接しています。

フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー『表現論入門』
群Gの 線型表現は、 Gから一般線型群への群準同型である。群Gに依存して、その準同型はしばしば暗黙的にG が属する圏における射であることが要求される。例えば、Gが位相群である場合、 は連続でなければならない。形容詞「線型」はしばしば省略される。 π : G → G L ( V ) {\displaystyle \pi :G\to GL(V)} G L ( V ) {\displaystyle GL(V)} π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi }
2. 同様に、線型表現は線型のベクトル空間VへのGの群作用です。つまり、 G内の各gに対して、となるような作用は線型変換です。 σ : G × V → V {\displaystyle \sigma :G\times V\to V} σ g : V → V , v ↦ σ ( g , v ) {\displaystyle \sigma _{g}:V\to V,v\mapsto \sigma (g,v)}
3.仮想表現は、表現のカテゴリのグロタンディーク環の要素です。
代表
「代表関数」という用語は、行列係数の別名です。

S

シュール
1.  
イサイ・シュール
イサイ・シュール
2.  シュアーの補題によれば、既約表現間のG線型写像は全単射かゼロのいずれかでなければならない。
3.コンパクト群上のシュアー直交関係によれば、非同型な既約表現の指標は互いに直交する。
4.シュアー関数は、 分割に従って対称冪や外冪などの表現を構成する。 の指標はシュアー多項式である。 V ↦ S λ ( V ) {\displaystyle V\mapsto S^{\lambda }(V)} λ {\displaystyle \lambda } S λ ( V ) {\displaystyle S^{\lambda }(V)}
5.シュール・ワイル双対性は、 - 加群のテンソル冪に生じる既約表現を計算します。 G L ( V ) {\displaystyle GL(V)}
6.シュア多項式は、ユニタリ群に適用されたワイル特性式に現れるタイプの対称関数です。
7.  シュア指数。
8. シューアコンプレックス。
半単純
半単純表現（完全簡約表現とも呼ばれる）は、単純表現の直和です。
単純
「不可減」の別名。
スムーズ
1.局所有限群Gの滑らかな表現は、 Vの各vに対して、 vを固定するGのコンパクト開部分群 Kが存在するような複素表現です。つまり、Kの各gに対してです。 g ⋅ v = v {\displaystyle g\cdot v=v}
2. リー群の表現空間における滑らかなベクトルとは、滑らかな関数となるベクトルvのことである。 g ↦ g ⋅ v {\displaystyle g\mapsto g\cdot v}
スペクト
スペクトモジュール
スタインバーグ
スタインバーグ表現。
部分表現
Gの表現の部分表現は、 Gの各gに対して明確に定義されるようなVのベクトル部分空間Wです。 ( π , V ) {\displaystyle (\pi ,V)} π ( g ) : W → W {\displaystyle \pi (g):W\to W}
白鳥
Swan表現は、 Swan 導体を定義するために使用されます。
対称的な
1. 表現Vの対称冪は、によって誘導される群作用を持つ表現です。 Sym n ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {Sym} ^{n}(V)} V ⊗ n → Sym n ⁡ ( V ) {\displaystyle V^{\otimes n}\to \operatorname {Sym} ^{n}(V)}
2. 特に、表現Vの対称平方は、によって誘導される群作用を持つ表現です。 Sym 2 ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}(V)} V ⊗ 2 → Sym 2 ⁡ ( V ) {\displaystyle V^{\otimes 2}\to \operatorname {Sym} ^{2}(V)}
原初性制度
マッキー理論における概念。「非原始性システム」を参照。

T

タンナキアンの二重性
タンナキアン双対性は、大まかに言うと、グループはそのすべての表現から復元できるという考え方です。
鍛えられた
緩和された表現
テンソル
テンソル表現は、おおよそ、（特定の表現の）テンソル積から得られる表現です。
テンソル積
表現 V、Wのテンソル積は、線形群作用とベクトル空間のテンソル積を組み合わせた表現です。 V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} π V ⊗ W ( g ) ( v ⊗ w ) = π V ( g ) v ⊗ π W ( g ) w {\displaystyle \pi _{V\otimes W}(g)(v\otimes w)=\pi _{V}(g)v\otimes \pi _{W}(g)w}
些細な
1.群Gの自明な表現は、 π( g ) がG内のすべてのgに対して恒等表現となるような表現 π である。
2.群Gの自明な文字とは、表現として自明な文字のことである。

あなた

一様に境界付けられた
局所コンパクト群の一様有界表現は、強演算子位相で連続し、各グループ要素によって与えられた演算子のノルムが一様有界であるような有界演算子の代数における表現です。
単一
1.群Gのユニタリ表現とは、 G内の任意のgに対して π( g ) がユニタリ演算子となるような表現 π のことである。
2. ユニタリ化可能な表現は、ユニタリ表現と同等の表現です。

V

ヴェルマモジュール
複素半単純リー代数、カルタン部分代数、および正のワイルチェンバーの選択が与えられた場合、線型汎関数に関連付けられたヴェルマ加群は、すべての正の根とすべてのに対してによって生成される左イデアルで包絡代数を商したものです。[3] g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} M χ {\displaystyle M_{\chi }} χ : h → C {\displaystyle \chi :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} } U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} E α {\displaystyle E_{\alpha }} α {\displaystyle \alpha } H − χ ( H ) 1 {\displaystyle H-\chi (H)1} H ∈ h {\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}

W

重さ
1. 「重量」という用語は、文字の別名です。
2.重みの表現Vの重み部分空間は、正の次元を持つ部分空間です。 χ : G → G m {\displaystyle \chi :G\to \mathbb {G} _{m}} V χ = { v ∈ V | g ⋅ v = χ ( g ) v } {\displaystyle V_{\chi }=\{v\in V|g\cdot v=\chi (g)v\}}
3. 同様に、複素リー代数の線型関数に対して、が正の次元を持つ場合、は- 加群Vの重みです。「#最高の重み」を参照してください。 χ : h → C {\displaystyle \chi :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} } h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} χ {\displaystyle \chi } h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} V χ = { v ∈ V | H ⋅ v = χ ( H ) v } {\displaystyle V_{\chi }=\{v\in V|H\cdot v=\chi (H)v\}}
4. 重み格子
5. 支配的な重み: 重み\lambdaが支配的であるとは、 < λ , α >∈ Z + {\displaystyle <\lambda ,\alpha >\in \mathbb {Z} ^{+}} α ∈ Φ {\displaystyle \alpha \in \Phi }
6. 基本的なドミナント ウェイト: : 一連の単純ルート が与えられた場合、それは の基底になります。もの基底です。によって定義される双対基底は、基本的なドミナント ウェイトと呼ばれます。 Δ = { α 1 , α 2 , . . . , α n } {\displaystyle \Delta =\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}\}} E {\displaystyle E} α 1 v , α 2 v , . . . , α n v ∈ Φ v {\displaystyle \alpha _{1}^{v},\alpha _{2}^{v},...,\alpha _{n}^{v}\in \Phi ^{v}} E {\displaystyle E} λ 1 , λ 2 , . . . , λ n {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}} ( λ i , α j v ) = δ i j {\displaystyle (\lambda _{i},\alpha _{j}^{v})=\delta _{ij}}
7. 最高重量
ワイル
1.  ヘルマン・ワイル
2.ワイル特性式は、複素半単純リー代数の既約表現の特性を最高重みで表現します。
3.ワイル積分公式によれば、最大トーラスTを持つコンパクト連結リー群Gが与えられたとき、 T上の実連続関数uが存在し、G上の任意の連続関数fに対して、
∫ G f ( g ) d g = ∫ T f ( t ) u ( t ) d t . {\displaystyle \int _{G}f(g)dg=\int _{T}f(t)u(t)dt.}
(明示的には、は 1 ÷ ワイル群の濃度 × の根 ÷です。) u {\displaystyle u} | e α ( t ) − e − α ( t ) | 2 {\displaystyle |e^{\alpha (t)}-e^{-\alpha (t)}|^{2}} α {\displaystyle \alpha }
4.  ワイルモジュール。
5.ワイル濾過とは、商がワイル加群と同型となるような簡約群の表現の濾過である。

はい

若い
1.  アルフレッド・ヤング
2.ヤング対称化子は、与えられた分割 に従って定義されたG加群Vのテンソル冪のG線型自己準同型である。定義により、表現Vのシュアー関数はVにの像を割り当てる。 c λ : V ⊗ n → V ⊗ n {\displaystyle c_{\lambda }:V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}} λ {\displaystyle \lambda } c λ {\displaystyle c_{\lambda }}

Z

ゼロ
ゼロ表現はゼロ次元表現です。注：ゼロ表現は自明な表現ですが、自明な表現は必ずしもゼロである必要はありません（「自明」とはGが自明に作用することを意味するため）。

注記

  1. ^ 「帰納法とマッキー理論」（PDF） 。 2017年12月1日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2017年11月23日閲覧。
  2. ^ ジェームズ、ゴードン・ダグラス (2001). 『群の表現と特徴』リーベック、マーティン・W. (第2版). ケンブリッジ、イギリス: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0521003926. OCLC  52220683。
  3. ^ 編集者注：これは（Humphreys 1972、§ 20.3.）と（Gaitsgory 2005、§ 1.2.）の定義であり、正の根の合計の半分だけ元の定義と異なります。 ρ = {\displaystyle \rho =}

参考文献

さらに読む

  • M. Duflo et M. Vergne、「リー群の表現」における、リーの半単純なプランシュレルの形式。京都、広島 (1986)、純粋数学の高度な研究 14、1988。
  • Lusztig, G. (1988年8月)、「包絡代数上の特定の単純モジュールの量子変形」、Advances in Mathematics、70 (2): 237– 249、doi : 10.1016/0001-8708(88)90056-4
  • https://math.stanford.edu/~bump/
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