通勤観測量の完全なセット

量子力学において、可換観測量の完全集合（CSCO）とは、共通固有ベクトルを用いて任意の量子状態を表現できる可換演算子の集合である。離散スペクトルを持つ演算子の場合、CSCOは可換観測量の集合であり、その同時固有空間はヒルベルト空間を張り、線形独立であるため、固有ベクトルは対応する固有値の集合によって一意に指定される。

1次元の束縛状態問題のような単純なケースでは、エネルギースペクトルは非退化であり、エネルギーを用いて固有状態を一意に識別することができる。より複雑な問題では、エネルギースペクトルは退化しており、固有状態を区別するために追加の観測量が必要となる。^{[ 1 ]}

セット内の観測可能な各ペアは可換であるため、観測可能なものはすべて互換性があり、1つの観測可能なものの測定がセット内の別の観測可能なものの測定結果に影響を与えることはありません。したがって、異なる観測可能なものの測定順序を指定する必要はありません。観測可能なものの完全なセットの測定は、システムの量子状態を演算子の集合によって定義された基底内の一意かつ既知のベクトルに投影するという意味で、完全な測定を構成します。つまり、完全に指定された状態を準備するには、任意の状態を任意に取得し、セット内のすべての観測可能なものに対応する一連の測定を、それがヒルベルト空間内で一意に指定されたベクトル（位相を除く）になるまで実行する必要があります。

互換性定理

演算子 と で表される2つの観測可能値 と を考えます。このとき、以下のステートメントは同値です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

1. ${\displaystyle A}$ 互換性のある観測可能値です。${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle {\hat {A}}}$ 共通の固有基底を持ちます。${\displaystyle {\hat {B}}}$
3. 演算子と通勤、つまり、 ということになります。${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}=0}$

証明

共通固有基底が交換性を意味することの証明

を、それぞれ対応する（実数値の）固有値 および を持つ自己随伴作用素 および で表される、2つの両立する観測量 および のそれぞれに対する完全な固有基底を形成する直交状態（すなわち ）の集合とする。これは、 ${\displaystyle \{|\psi _{n}\rangle \}}$ ${\displaystyle \langle \psi _{m}|\psi _{n}\rangle =\delta _{m,n}^{\,}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}|\psi _{n}\rangle ={\hat {A}}b_{n}|\psi _{n}\rangle =a_{n}b_{n}|\psi _{n}\rangle =b_{n}a_{n}|\psi _{n}\rangle ={\hat {B}}{\hat {A}}|\psi _{n}\rangle ,}$

それぞれの固有状態に対して、固有基底は完備なので、任意の状態を次のように 展開することができる。${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{n}c_{n}|\psi _{n}\rangle ,}$

ここで、上記の結果は、 ${\displaystyle c_{n}=\langle \psi _{n}|\Psi \rangle }$

${\displaystyle ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})|\Psi \rangle =\sum _{n}c_{n}({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})|\psi _{n}\rangle =0,}$

任意の状態に対して となる。したがって、 となり、2つの演算子は交換可能であることを意味する。 ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}=[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}$

可換観測量が共通の固有関数の完全な集合を持つことの証明

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${\displaystyle A}$ が非退化の固有値を持つ場合:

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実数値固有値の集合に対応する自己随伴作用素の直交固有値の完全な集合を とする。自己随伴作用素とが可換であるならば、次のように書くことができる。 ${\displaystyle \{|\psi _{n}\rangle \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A(B|\psi _{n}\rangle )=BA|\psi _{n}\rangle =a_{n}(B|\psi _{n}\rangle )}$

したがって、 ならば、 は固有値 に対応するの固有ケットであると言えます。 と はどちらも同じ非退化固有値 に関連付けられた固有ケットであるため、それらの差は最大で乗法定数です。この定数を と呼びます。つまり、 ${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle \neq 0}$ ${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle =b_{n}|\psi _{n}\rangle }$ 、

これは が の固有ケットであり、したがって とを同時に することを意味します。 の場合、非ゼロベクトルはの固有ケットで、固有値はです。 ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle =0}$ ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b_{n}=0}$

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${\displaystyle A}$ が退化した固有値を持つ場合:

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それぞれが- 倍退化していると仮定します。対応する直交固有ケットを とします。 なので、上記と同様に推論すると、 は退化した固有値に対応するの固有ケットであることが分かります。したがって、の退化した固有ケットの基底を展開すると、 ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |\psi _{nr}\rangle ,r\in \{1,2,\dots ,g\}}$ ${\displaystyle [A,B]=0}$ ${\displaystyle B|\psi _{nr}\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle B|\psi _{nr}\rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle B|\psi _{nr}\rangle =\sum _{s=1}^{g}c_{rs}|\psi _{ns}\rangle }$

は展開係数です。係数はなので、自己随伴行列を形成します。次のステップは行列 を対角化することです。そのためには、定数について全体を合計します。つまり、 ${\displaystyle c_{rs}}$ ${\displaystyle c_{rs}}$ ${\displaystyle \langle \psi _{ns}|B|\psi _{nr}\rangle =c_{rs}}$ ${\displaystyle c_{rs}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d_{r}}$

${\displaystyle B\sum _{r=1}^{g}d_{r}|\psi _{nr}\rangle =\sum _{r=1}^{g}\sum _{s=1}^{g}d_{r}c_{rs}|\psi _{ns}\rangle }$

となる ので、固有値を持つの固有ケットとなる。${\displaystyle \sum _{r=1}^{g}d_{r}|\psi _{nr}\rangle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b_{n}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{g}d_{r}c_{rs}=b_{n}d_{s},s=1,2,...g}$

これは定数に関する線形方程式の連立方程式を構成します。次の場合、非自明な解が存在します。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d_{r}}$

${\displaystyle \det[c_{rs}-b_{n}\delta _{rs}]=0}$

これは の位数方程式であり、根を持つ。各根に対して、例えば のような非自明な解が存在する。 の自己随伴性により、すべての解は線形独立である。したがって、それらは新しい基底を形成する。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle b_{n}=b_{n}^{(k)},k=1,2,...g}$ ${\displaystyle d_{r}}$ ${\displaystyle d_{r}^{(k)}}$ ${\displaystyle c_{rs}}$

${\displaystyle |\phi _{n}^{(k)}\rangle =\sum _{r=1}^{g}d_{r}^{(k)}|\psi _{nr}\rangle }$

${\displaystyle |\phi _{n}^{(k)}\rangle }$ は、それぞれ固有値とを持つ、およびの固有ケットです。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}^{(k)}}$

議論

上記の2つの観測量とを考える。すべての要素が同時に との固有ケットであるようなケットの完全な集合が存在すると仮定する。このとき、と は両立すると言える。 と に対応するとの固有値をそれぞれ と で表すと、次のように書ける。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{|\psi _{n}\rangle \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

${\displaystyle A|\psi _{n}\rangle =a_{n}|\psi _{n}\rangle }$

${\displaystyle B|\psi _{n}\rangle =b_{n}|\psi _{n}\rangle }$

システムが固有状態のいずれか、例えば にある場合、 と の両方を任意の精度で同時に測定でき、それぞれと という結果が得られます。この考え方は、観測可能な値が2つ以上ある場合にも拡張できます。 ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

互換性のある観測可能値の例

位置演算子の直交座標成分は、、、です。これらの成分はすべて両立します。同様に、運動量演算子の直交座標成分、つまり、、、も両立します。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle p_{x}}$ ${\displaystyle p_{y}}$ ${\displaystyle p_{z}}$

正式な定義

観測可能な集合がCSCOと呼ばれるのは、次の場合である: ^{[ 2 ]}${\displaystyle A,B,C...}$

1. すべての観測可能値はペアで交換されます。
2. CSCO 内のすべての演算子の固有値を指定すると、システムのヒルベルト空間内の一意の固有ベクトル (位相まで) が識別されます。

CSCOが与えられれば、対応する演算子の共通固有ベクトルからなる状態空間の基底を選ぶことができます。各固有ベクトル（位相を除く）は、対応する固有値の集合によって一意に識別できます。

議論

非退化な固有値を持つ観測量 の作用素 を考えてみましょう。その結果、各固有値に対応する唯一の固有状態が存在し、これらをそれぞれの固有値でラベル付けすることができます。例えば、固有値 に対応するの固有状態はとラベル付けできます。このような観測量自体は自己完結的な CSCO です。 ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle |a_{n}\rangle }$

しかし、 の固有値の一部が退化している場合（例えば、退化したエネルギー準位を持っている場合）、上記の結果は成り立ちません。そのような場合、同じ固有値に対応する固有関数を区別する必要があります。そのためには、 と互換性のある2つ目の観測可能量（ と呼ぶことにします）を導入します。互換性定理によれば、 との固有関数の共通基底が見つかります。ここで、固有値の各ペアがこの基底の状態ベクトルを一意に指定する場合、CSCO、つまり集合 を形成したと言えます。 における退化は完全に解消されます。 ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle (a_{n},b_{n})}$ ${\displaystyle \{A,B\}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

しかしながら、この退化が完全に解消されない場合もあり得ます。つまり、一方の固有ベクトルを一意に特定できないペアが少なくとも1つ存在するということです。この場合、 と の両方と互換性のある別の観測量 を追加することで、上記のプロセスを繰り返します。、、の共通固有関数の基底が一意である場合、つまり固有値の集合 によって一意に特定される場合、CSCO が形成されます。そうでない場合は、互換性のある観測量をもう1つ追加し、CSCO が得られるまでこのプロセスを続けます。 ${\displaystyle (a_{n},b_{n})}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle (a_{n},b_{n},c_{n})}$ ${\displaystyle \{A,B,C\}}$

同じベクトル空間に、異なる完全な可換演算子の集合が存在する場合があります。

有限のCSCOが与えられたと仮定する。すると、任意の一般状態をヒルベルト空間に展開することができる。 ${\displaystyle \{A,B,C,...,\}}$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i,j,k,...}{\mathcal {C}}_{i,j,k,...}|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle }$

ここで、演算子の固有ケットであり、基底空間を形成する。つまり、 ${\displaystyle |a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle =a_{i}|a_{i},b_{j},c_{k},...\rangle }$ など

状態で測定する場合、同時に測定する確率は で与えられます。 ${\displaystyle A,B,C,...}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle a_{i},b_{j},c_{k},...}$ ${\displaystyle |{\mathcal {C}}_{i,j,k,...}|^{2}}$

交換可能な演算子の完全なセットについては、それらすべてを 同時に対角化するユニタリ変換を見つけることができます。

例

電子や陽子のスピンを持たない水素原子

角運動量演算子の2つの成分は交換できませんが、交換関係を満たします。 ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}$

したがって、いかなるCSCOも の複数の成分を含むことはできない。角運動量演算子 の2乗は と交換可能であることが示される。 ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle [L_{x},L^{2}]=0,[L_{y},L^{2}]=0,[L_{z},L^{2}]=0}$

また、ハミルトニアンは のみの関数であり、回転不変性を持ちます。ここでは系の縮約質量です。 の成分は回転の生成子であるため、 ${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}-{\frac {Ze^{2}}{r}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle [\mathbf {L} ,H]=0,[L^{2},H]=0}$

したがって、可換集合は、 、 の1つの成分（ とする）、およびから構成される。問題の解は、電子のスピンを無視すれば、この集合はCSCOを形成することを示す。 を水素原子のヒルベルト空間における任意の基底状態とする。すると、 ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{H,L^{2},L_{z}\}}$ ${\displaystyle |E_{n},l,m\rangle }$

${\displaystyle H|E_{n},l,m\rangle =E_{n}|E_{n},l,m\rangle }$

${\displaystyle L^{2}|E_{n},l,m\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|E_{n},l,m\rangle }$

${\displaystyle L_{z}|E_{n},l,m\rangle =m\hbar |E_{n},l,m\rangle }$

つまり、固有値のセット、またはもっと簡単に言えば、水素原子の固有の固有状態を完全に指定します。 ${\displaystyle \{E_{n},l,m\}}$ ${\displaystyle \{n,l,m\}}$

自由粒子

自由粒子の場合、ハミルトニアンは並進不変である。並進はハミルトニアンと可換である：。しかし、並進演算子の基底でハミルトニアンを表現すると、 は二重に退化した固有値を持つことがわかる。この場合、CSCO を形成するには、となるパリティ演算子と呼ばれる別の演算子が必要であることが示される。CSCOを形成する。 ${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}$ ${\displaystyle [H,\mathbf {\hat {T}} ]=0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle [H,\Pi ]=0}$ ${\displaystyle \{H,\Pi \}}$

ここで、 とを の退化した固有状態とし、固有値 に対応するものとする。すなわち 、${\displaystyle |k\rangle }$ ${\displaystyle |-k\rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{k}={\frac {{\hbar ^{2}}{k^{2}}}{2m}}}$

${\displaystyle H|k\rangle ={\frac {{\hbar ^{2}}{k^{2}}}{2m}}|k\rangle }$

${\displaystyle H|-k\rangle ={\frac {{\hbar ^{2}}{k^{2}}}{2m}}|-k\rangle }$

における退化は運動量演算子によって除去されます。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} |k\rangle =k|k\rangle }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} |-k\rangle =-k|-k\rangle }$

そこで、CSCO を結成します。 ${\displaystyle \{\mathbf {\hat {p}} ,H\}}$

角運動量の加算

2つのシステム1と2について、それぞれ角運動量演算子とを持つ場合を考えます。と の固有状態は 、 と の固有状態は と書き表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {J_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {J_{2}} }$ ${\displaystyle J_{1}^{2}}$ ${\displaystyle J_{1z}}$ ${\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle }$ ${\displaystyle J_{2}^{2}}$ ${\displaystyle J_{2z}}$ ${\displaystyle |j_{2}m_{2}\rangle }$

${\displaystyle J_{1}^{2}|j_{1}m_{1}\rangle =j_{1}(j_{1}+1)\hbar ^{2}|j_{1}m_{1}\rangle }$

${\displaystyle J_{1z}|j_{1}m_{1}\rangle =m_{1}\hbar |j_{1}m_{1}\rangle }$

${\displaystyle J_{2}^{2}|j_{2}m_{2}\rangle =j_{2}(j_{2}+1)\hbar ^{2}|j_{2}m_{2}\rangle }$

${\displaystyle J_{2z}|j_{2}m_{2}\rangle =m_{2}\hbar |j_{2}m_{2}\rangle }$

すると、完全なシステムの基本状態は次のように与えられる。 ${\displaystyle |j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle }$

${\displaystyle |j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle =|j_{1}m_{1}\rangle \otimes |j_{2}m_{2}\rangle }$

したがって、完全なシステムでは、固有値の集合は唯一の基底状態を完全に指定し、CSCOを形成します。同様に、全角運動量演算子 に関して、システムの別の基底状態の集合が存在します。 の固有値はであり、ここでは値 を取り、 の固有値は です。演算子と の基底状態はです。したがって、完全なシステムのヒルベルト空間における唯一の基底状態を の固有値集合によって指定することもでき、対応するCSCOは です。 ${\displaystyle \{j_{1},m_{1},j_{2},m_{2}\}}$ ${\displaystyle \{J_{1}^{2},J_{1z},J_{2}^{2},J_{2z}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J_{1}} +\mathbf {J_{2}} }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle j(j+1)\hbar ^{2}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1,...,|j_{1}-j_{2}|}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=-j,-j+1,...j-1,j}$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle |j_{1}j_{2};jm\rangle }$ ${\displaystyle \{j_{1},j_{2},j,m\}}$ ${\displaystyle \{J_{1}^{2},J_{2}^{2},J^{2},J_{z}\}}$

参照

• 量子数
  • 良い量子数
• エネルギーレベルの縮退
• 量子力学の数学的構造
• 量子力学における演算子
• 標準交換関係
• 量子力学における測定
• 波動関数の崩壊
• 角運動量（量子力学）

参考文献

1. Zwiebach, Barton (2022). 「第15.8章 可換観測量の完全集合」.量子力学をマスターする：基礎、理論、そして応用. マサチューセッツ州ケンブリッジ：MIT出版. ISBN 978-0262366892。
2. クロード・コーエン・タンヌージ;ディウ、バーナード。フランク・ラロエ（1977年）。量子力学。 Vol. 1. ニューヨーク：ワイリー。143 ～ 144ページ 。ISBN 978-0-471-16433-3. OCLC  2089460 .

さらに読む

• ガシオロヴィッチ、スティーブン（1974）、量子物理学、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 978-0-471-29281-4。
• クロード・コーエン・タンヌージ;ディウ、バーナード。フランク・ラロエ（1977年）。量子力学。 Vol. 1. ニューヨーク：ワイリー。ISBN 978-0-471-16433-3. OCLC  2089460 .
• クロード・コーエン・タンヌージ;ディウ、バーナード。フランク・ラロエ（1977年）。量子力学。 Vol. 2. ニューヨーク：ワイリー。ISBN 978-0-471-16435-7. OCLC  45727993 .
• ディラック, PAM (1958). 『量子力学の原理』 . オックスフォード: クラレンドン・プレス. ISBN 978-0-19-851208-0. OCLC  534829 .
• RP ファインマン、RB レイトン、M. サンズ：ファインマン物理学講義、アディソン・ウェスレー、1965年
• R Shankar、「量子力学の原理」、第 2 版、Springer (1994)。
• JJ Sakurai, Modern Quantum Mechanics改訂版、Pearson (1994)。
• BH Bransden と CJ Joachain、「量子力学」、第 2 版、Pearson Education Limited、2000 年。
• 互換性定理に関する議論については、エディンバラ大学物理・天文学部の講義ノートをご覧ください。http ://www2.ph.ed.ac.uk/~ldeldebb/docs/QM/lect2.pdf。
• ムンバイの Tata Institute of Fundamental Research の S Gupta 教授の講義ノートにある CSCO に関するスライド。http ://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand3.pdf
• ムンバイのタタ基礎研究所の S Gupta 教授の講義ノートにある自由粒子に関するセクション。http ://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand6.pdf