ソルブマニフォールド

数学において、ソルブマニフォールド（solvmanifold）とは、連結した可解リー群の同質空間である。また、連結した可解リー群を閉部分群で割った商として特徴付けられることもある。（リー群が単連結であること、または商がコンパクトであることを要求する著者もいる。）ソルブマニフォールドの特別なクラスであるニルマニフォールドは、最初の構造定理を証明したアナトリー・マルツェフによって導入された。一般のソルブマニフォールドの性質はソルブマニフォールドと同様であるが、やや複雑である。

例

• 可解なリー群は自明にソルブ多様体です。
• あらゆる冪零群は可解であり、したがって、あらゆる冪零多様体は可解多様体である。この例のクラスには、n次元トーラスと、3次元実ハイゼンベルク群をその整ハイゼンベルク部分群で割った商が含まれる。
• メビウスの帯とクラインの壺は、ニル多様体ではないソルブ多様体です。
• n -トーラスのアノソフ微分同相写像の写像トーラスはソル多様体である。 の場合、これらの多様体は8つのサーストン幾何学の1つであるソル（Sol）に属する。${\displaystyle n=2}$

プロパティ

• ソルブ多様体は、あるコンパクトソルブ多様体上のベクトル束の全空間に微分同相である。この命題はジョージ・モストウによって予想され、ルイス・アウスランダーとリチャード・トリミエリによって証明された。
• 任意の溶媒多様体の基本群は多環式です。
• コンパクトソルブ多様体は、その基本群によって微分同相写像まで決定されます。
• コンパクトソルブ多様体の基本群は、有限ランクの自由アーベル群の、有限に生成された捩れのないべき零群による群拡張として特徴付けられる。
• すべてのソルブマニフォールドは非球面性を持つ。コンパクト同質空間の中でも、ソルブマニフォールドは非球面性を持ち、かつ解ける基本群を持つという性質によって特徴付けられる。

完全

を実リー代数とする。各写像が ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (X)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},X\in {\mathfrak {g}}}$

その随伴表現は双曲的である、すなわち実固有値のみを持つ。Gをリー代数が完備な可解リー群とする。すると、 Gの任意の閉部分群に対して、ソルブマニフォールドは完備ソルブマニフォールドとなる。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle G/\Gamma }$

参考文献

• アウスランダー、ルイス(1973)、「ソルブマニフォールドの構造の説明。第1部：代数理論」（PDF）、アメリカ数学会報、79 (2): 227– 261、doi : 10.1090/S0002-9904-1973-13134-9、MR  0486307
  •  — ( 1973)、「第2部：重力誘起流れ」、アメリカ数学会誌、79 (2): 262–285、doi : 10.1090/S0002-9904-1973-13139-8、MR0486308
• クーパー、ダリル；シャルレマン、マーティン（1999）「ソルブマニフォールドのヒーガード分割の構造」（PDF）、第6回ゴコバ幾何学・位相学会議論文集、トルコ数学ジャーナル、23（1）：1– 18、ISSN  1300-0098、MR  1701636
• Gorbatsevich, VV (2001) [1994]、「ソルブ多様体」、数学百科事典、EMS Press