複素 アダマール行列 とは、次の 2 つの条件を満たす
複素 行列 です。
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
H
{\displaystyle H}
ユニモジュラ性（ 各エントリの モジュラスは1です）:
|
H
j
k
|
=
1
for
j
,
k
=
1
,
2
,
…
,
N
{\displaystyle |H_{jk}|=1{\text{ for }}j,k=1,2,\dots ,N}
直交性 ： 、
H
H
†
=
N
I
{\displaystyle HH^{\dagger }=NI}
ここで、 は のエルミート転置行列 、 は 単位行列 である。この概念は アダマール行列 の一般化である 。任意の複素アダマール行列は を乗じることで ユニタリ行列 に変換できることに注意されたい 。 逆に 、すべての要素が法であるユニタリ行列は を乗じることで複素アダマール行列となる。
†
{\displaystyle \dagger }
H
{\displaystyle H}
I
{\displaystyle I}
H
{\displaystyle H}
1
N
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}}
1
N
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}}
N
.
{\displaystyle {\sqrt {N}}.}
複素アダマール行列は、作用素環 の研究や 量子計算 理論において登場する 。 実 アダマール行列と バトソン型アダマール行列は、 複素アダマール行列の特殊なケースを形成する。
複素アダマール行列は任意 の自然数 に対して存在する（現実の場合、アダマール行列はすべての自然数に対して存在するわけではなく 、また すべての許容可能な自然数に対して存在が知られていないことと 比較されたい）。例えば、フーリエ行列（ 正規化因子を除いた
DFT行列 の 複素共役）は、
N
{\displaystyle N}
N
{\displaystyle N}
N
{\displaystyle N}
[
F
N
]
j
k
:=
exp
[
2
π
i
(
j
−
1
)
(
k
−
1
)
/
N
]
f
o
r
j
,
k
=
1
,
2
,
…
,
N
{\displaystyle [F_{N}]_{jk}:=\exp[2\pi i(j-1)(k-1)/N]{\quad {\rm {for\quad }}}j,k=1,2,\dots ,N}
このクラスに属します。
同等性 2つの複素アダマール行列は、 対角 ユニタリ行列 と 置換行列 が存在し、
その場合に
等価で あるとされ、 と表記される。
H
1
≃
H
2
{\displaystyle H_{1}\simeq H_{2}}
D
1
,
D
2
{\displaystyle D_{1},D_{2}}
P
1
,
P
2
{\displaystyle P_{1},P_{2}}
H
1
=
D
1
P
1
H
2
P
2
D
2
.
{\displaystyle H_{1}=D_{1}P_{1}H_{2}P_{2}D_{2}.}
任意の複素アダマール行列は 、最初の行と最初の列のすべての要素が 1 に
等しい位相ずれアダマール行列と同等です。
に対して 、 すべての複素アダマール行列はフーリエ行列と等価である 。に対して 、等価でない複素アダマール行列の連続した1パラメータ族が存在する。
N
=
2
,
3
{\displaystyle N=2,3}
5
{\displaystyle 5}
F
N
{\displaystyle F_{N}}
N
=
4
{\displaystyle N=4}
F
4
(
1
)
(
a
)
:=
[
1
1
1
1
1
i
e
i
a
−
1
−
i
e
i
a
1
−
1
1
−
1
1
−
i
e
i
a
−
1
i
e
i
a
]
w
i
t
h
a
∈
[
0
,
π
)
.
{\displaystyle F_{4}^{(1)}(a):={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&ie^{ia}&-1&-ie^{ia}\\1&-1&1&-1\\1&-ie^{ia}&-1&ie^{ia}\end{bmatrix}}{\quad {\rm {with\quad }}}a\in [0,\pi ).}
次 のような複素アダマール行列の族が知られています。
N
=
6
{\displaystyle N=6}
を含む単一の2パラメータ族 、
F
6
{\displaystyle F_{6}}
単一の1パラメータファミリー 、
D
6
(
t
)
{\displaystyle D_{6}(t)}
巡回 アダマール行列 を含む 1パラメータ軌道 、
B
6
(
θ
)
{\displaystyle B_{6}(\theta )}
C
6
{\displaystyle C_{6}}
前の2つの例を含む2パラメータ軌道 、
X
6
(
α
)
{\displaystyle X_{6}(\alpha )}
対称行列 の 1パラメータ軌道 、
M
6
(
x
)
{\displaystyle M_{6}(x)}
前の例を含む2パラメータ軌道 、
K
6
(
x
,
y
)
{\displaystyle K_{6}(x,y)}
これまでの例をすべて含む3パラメータ軌道 、
K
6
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle K_{6}(x,y,z)}
自由度4のさらなる構成では 、 以外の例も得られます 。
G
6
{\displaystyle G_{6}}
K
6
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle K_{6}(x,y,z)}
単一点 - Butson 型アダマール行列の 1 つ 。
S
6
∈
H
(
3
,
6
)
{\displaystyle S_{6}\in H(3,6)}
ただし、このリストが完全であるかどうかは不明ですが、 6 次複素アダマール行列すべてを網羅した (ただし必ずしも冗長でないわけではない) リストである
と 推測されます。
K
6
(
x
,
y
,
z
)
,
G
6
,
S
6
{\displaystyle K_{6}(x,y,z),G_{6},S_{6}}
参考文献
Haagerup, U. (1997). 「n×n行列の直交最大アーベル*部分代数と巡回n根」. Operator Algebras and Quantum Field Theory (ローマ), 1996 . Cambridge MA: International Press. pp. 296– 322. ISBN 1-57146-047-0 . OCLC 1409082233. Dita, P. (2004). 「複素アダマール行列のパラメータ化に関するいくつかの結果」 . J. Phys. A: Math. Gen. 37 ( 20): 5355–74 . Bibcode :2004JPhA...37.5355D. doi :10.1088/0305-4470/37/20/008. Szöllősi, F. (2010). 「ハイポサイクロイドによって誘導される6次の複素アダマール行列の2パラメータ族」. Proceedings of the American Mathematical Society . 138 (3): 921–8 . arXiv : 0811.3930v2 . doi :10.1090/S0002-9939-09-10102-8. JSTOR 40590684. Tadej, W.; Życzkowski, K. (2006). 「複素アダマール行列の簡潔ガイド」 Open Systems & Infor. Dyn . 13 (2): 133– 177. arXiv : quant-ph/0512154 . doi :10.1007/s11080-006-8220-2.
外部リンク 既知の複素アダマール行列の明示的なリスト と、サイズ7～16のアダマール行列の例については、複素アダマール行列カタログを参照のこと。
N
=
6
{\displaystyle N=6}
![{\displaystyle [F_{N}]_{jk}:=\exp[2\pi i(j-1)(k-1)/N]{\quad {\rm {for\quad }}}j,k=1,2,\dots ,N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06538713e6b7bb7ad70abaa3df7f0d5b22203657)
