圧縮（機能分析）

関数解析学において、ヒルベルト空間上の線型作用素Tを部分空間Kに圧縮することは、作用素

${\displaystyle P_{K}T\vert _{K}:K\rightarrow K}$ 、

ここではKへの直交射影である。これは、ヒルベルト空間全体の作用素からK上の作用素を得る自然な方法である。Kが Tの不変部分空間ならば、 TからKへの圧縮は、kをTkに写す制限作用素K→Kとなる。 ${\displaystyle P_{K}:H\rightarrow K}$

より一般的には、ヒルベルト空間上の線型作用素Tと部分空間上の等長変換Vに対して、Tの圧縮を次のよう に定義する。${\displaystyle H}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle T_{W}=V^{*}TV:W\rightarrow W}$ 、

ここではVの随伴演算子である。Tが自己随伴演算子である場合、圧縮も自己随伴となる。Vを包含写像、 、に置き換えると、上記の特別な定義が得られる。 ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle T_{W}}$ ${\displaystyle I:W\to H}$ ${\displaystyle V^{*}=I^{*}=P_{K}:H\to W}$

参照

• 膨張（作用素理論）

参考文献

• P. ハルモス、ヒルベルト空間問題集、第 2 版、シュプリンガー・フェルラーク、1982 年。