数式処理システム（CAS）または記号代数システム（SAS）とは、数学者や科学者による従来の手計算と同様の方法で数式を操作できる数学ソフトウェアです。20世紀後半における数式処理システムの開発は、「コンピュータ代数」または「記号計算」という分野の一部であり、多項式などの数学的対象に対するアルゴリズムの研究を促進しました。

コンピュータ代数システムは、専門用途と汎用用途の2つのクラスに分けられます。専門用途のシステムは、数論、群論、初等数学の教育など、数学の特定の分野に特化しています。

汎用コンピュータ代数システムは、数式の操作を必要とするあらゆる科学分野のユーザーにとって有用であることを目指しています。有用であるためには、汎用コンピュータ代数システムは以下のような様々な機能を備えている必要があります。

ライブラリは、ユーザーのニーズだけでなく、簡略化を行う者のニーズも満たす必要があります。例えば、多項式の最大公約数の計算は、分数を含む式の簡略化に体系的に利用されます。

必要とされるコンピュータ能力の多さが、汎用コンピュータ代数システムの数が少ない理由です。重要なシステムとしては、Axiom、GAP、Maxima、Magma、Maple、Mathematica、SageMath、SymPyなどが挙げられます。

歴史

コンピュータ代数システムを搭載したテキサスインスツルメンツ社のTI-Nspire計算機

1950年代、コンピュータは主に数値計算に使用されていましたが、記号処理への利用に関する研究プロジェクトもいくつかありました。コンピュータ代数システムは1960年代に登場し始め、理論物理学者の要求と人工知能研究という全く異なる二つの源から発展しました。

最初の開発の代表的な例は、後にノーベル物理学賞を受賞したマルティヌス・フェルトマンが行った先駆的な研究です。フェルトマンは 1963 年に、記号数学、特に高エネルギー物理学用のプログラムであるSchoonschip (オランダ語で「きれいな船」) を設計しました。その他の初期のシステムにはFORMACがあります。

カール・エンゲルマンは、 1964年にMITREの人工知能研究環境において、Lispをプログラミング基盤としてMATLABを開発しました。後にMATLABは、大学においてTOPS-10またはTENEXを搭載したPDP-6およびPDP-10システムのユーザーに提供されました。現在でも、PDP-10のSIMHエミュレーションで利用可能です。MATLAB（「 math ematical lab oratory」）は、15年後にニューメキシコ大学で構築された数値計算システムであるMATLAB（「mat rix lab oratory」）と混同しないでください。

1987年、ヒューレット・パッカードはHP-28シリーズで世界初の携帯型電卓CASを発表しました。[1]他に、数式処理機能を備えた初期の携帯型電卓としては、テキサス・インスツルメンツの TI-89シリーズやTI-92、カシオの CFX-9970Gなどがあります。[2]

最初に普及したコンピュータ代数システムは、 muMATH、Reduce、Derive（muMATHベース）、そしてMacsymaでした。Macsymaのコピーレフト版はMaximaと呼ばれています。Reduceは2008年にフリーソフトウェアになりました。 [3]商用システムにはMathematica [4]やMapleがあり、研究者、科学者、エンジニアに広く使用されています。無料で利用できる代替システムにはSageMath （他のフリーおよび有償CASのフロントエンドとして機能）があります。その他の重要なシステムには、 Axiom、GAP、Maxima、Magmaなどがあります。

2000年代初頭のウェブベースのアプリケーションへの移行により、オンライン検索エンジンであるWolframAlphaと、 Mathematicaの機能を備えたCASがリリースされました。[5]

最近では、人工ニューラルネットワークを使用したコンピュータ代数システムが実装されていますが、2020年時点では商用化されていません。[6]

象徴的な操作

通常サポートされている記号操作には次のようなものがあります。

上記の「some」という単語は、操作が常に実行できるわけではないことを示しています。

追加機能

多くには次のものも含まれます:

いくつか例を挙げると:

一部のコンピュータ代数システムは専門分野に特化しており、通常は学術界で開発され、無料で提供されています。数値演算システムと比較すると、数値演算には効率が悪い場合があります。

表現の種類

CAS が操作する式には、通常、複数の変数の多項式、式の標準関数 (正弦関数、指数関数など)、さまざまな特殊関数 ( Γ、ζ、erf、ベッセル関数など)、式の任意関数、最適化、式の導関数、積分、簡略化、和、積、式を係数とする切断級数、式の行列などが含まれます。サポートされる数値領域には、通常、実数の浮動小数点表現、整数(無制限のサイズ)、複素数(浮動小数点表現)、実数の区間表現、有理数(正確な表現)、代数的数が含まれます。

教育での使用

小中学校の授業におけるコンピュータ代数システムの利用拡大を提唱する声は数多くある。こうした提唱の主な理由は、コンピュータ代数システムが紙と鉛筆や手計算による数学よりも、現実世界の数学をよりよく再現できるからである。[12] 数学の授業におけるコンピュータ利用拡大の推進は、一部の教育委員会によって支持されている。一部の地域では、カリキュラムにコンピュータ利用が義務付けられている。[13]

コンピュータ代数システムは高等教育において広く利用されている。[14] [15]多くの大学では、コンピュータ代数システムの活用法を習得するための特別なコースを開講するか、学生が授業でコンピュータ代数システムを使用することを暗黙のうちに期待している。コンピュータ代数システムを開発する企業は、大学や短期大学におけるコンピュータ代数システムの普及を推進している。[16] [17]

CAS搭載の電卓はACT、PLAN、SAT、および一部の教室では使用が許可されていません[18] [19]が、 AP微積分、化学、物理学、統計学の試験を含むCollege Boardの電卓使用が許可されているAPテストでは許可される場合があります。[19]

コンピュータ代数システムで使用される数学

参照

参考文献

  1. ^ リチャード・ネルソン「ヒューレット・パッカード電卓の先駆者たち」ヒューレット・パッカード。2010年7月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  2. ^ クーンズ、アルバート（1999年10月）「記号数学システム入門：生産性向上ツール」、テクノロジーヒント、数学教師、92（7）：620-622、doi：10.5951/mt.92.7.0620、JSTOR  27971125
  3. ^ 「SourceForgeのREDUCE Computer Algebra System」. reduce-algebra.sourceforge.net . 2015年9月28日閲覧。
  4. ^ Maple の共同作成者である Gaston Gonnet 氏へのインタビュー、Wayback Machineに 2007 年 12 月 29 日にアーカイブ、SIAM History of Numerical Analysis and Computing、2005 年 3 月 16 日。
  5. ^ Bhattacharya, Jyotirmoy (2022年5月12日). 「Wolfram|Alpha：無料のオンラインコンピュータ代数システム」. The Hindu . ISSN  0971-751X . 2023年4月26日閲覧。
  6. ^ Ornes, Stephen (2020年5月20日). 「記号数学はついにニューラルネットワークに取って代わられる」. Quanta Magazine . 2020年11月4日閲覧。
  7. ^ Dana-Picard, Thierry Noah (2023). 「数学教育におけるコンピュータ支援証明と自動化手法」.理論計算機科学電子論文集. 375 : 2–23 . arXiv : 2303.10166 . doi :10.4204/EPTCS.375.2.
  8. ^ 「dsolve - Mapleプログラミングヘルプ」www.maplesoft.com . 2020年5月9日閲覧。
  9. ^ 「DSolve - Wolfram言語ドキュメント」www.wolfram.com . 2020年6月28日閲覧。
  10. ^ 「基本的な代数と微積分 — Sageチュートリアルv9.0」. doc.sagemath.org . 2020年5月9日閲覧。
  11. ^ 「Xcas による記号代数と数学」(PDF)。
  12. ^ 「コンピューターを使って子供たちに本当の数学を教える」Ted.com 2010年11月15日2017年8月12日閲覧。
  13. ^ 「数学 - マニトバ州教育」Edu.gov.mb.ca . 2017年8月12日閲覧。
  14. ^ 「教職員・学生のためのMathematica：情報技術 - ノースウェスタン大学」It.northwestern.edu . 2017年8月12日閲覧。
  15. ^ 「Mathematica for Students - Columbia University Information Technology」cuit.columbia.edu . 2017年8月12日閲覧。
  16. ^ 「高等教育のためのMathematica：大学・短期大学の授業での利用」Wolfram.com . 2017年8月12日閲覧。
  17. ^ 「MathWorks - Academia - MATLAB & Simulink」. Mathworks.com . 2017年8月12日閲覧。
  18. ^ ACTのCAAPテスト：CAAP数学テストにおける電卓の使用 2009年8月31日アーカイブ、Wayback Machine
  19. ^ ab 「AP試験計算機ポリシー」AP学生向け. College Board . 2024年5月24日閲覧。
  20. ^ ab B. Buchberger; GE Collins; R. Loos (2013-06-29). コンピュータ代数：記号計算と代数計算. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7091-3406-1。
  21. ^ ヨアヒム・フォン・ツア・ガテン;ユルゲン・ゲルハルト (2013-04-25)。現代のコンピューター代数。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-107-03903-2。
  22. ^ Keith O. Geddes、Stephen R. Czapor、George Labahn (2007-06-30). コンピュータ代数のためのアルゴリズム. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-585-33247-5。
  • コンピュータ代数システムの時代のカリキュラムと評価 2009 年 12 月 1 日にWayback Machineにアーカイブ -オハイオ州コロンバスの科学、数学、環境教育のための教育リソース情報センタークリアリングハウスより。
  • リチャード・J・フェイトマン「代数的簡略化に関するエッセイ」技術報告書MIT-LCS-TR-095、1972年。（コンピュータ代数研究の方向性を示す歴史的に興味深い論文。MIT LCSウェブサイト[1]参照）