条件付きイベント代数

確率論において、条件付き事象代数（CEA）は、標準的なブール代数（よく知られているand、or、not などの演算によって互いに関連付けされた一連の可能な事象）の代替であり、通常の事象だけでなく、「 AならばB 」という形式を持つ条件付き事象も含みます。CEAは通常、 P (if A then B ) = P ( A and B ) / P ( A )という式を満たす事象の確率関数Pの定義を根拠づけるために用いられます。

モチベーション

標準的な確率論では、イベントの発生は一連の可能な結果に対応し、各結果はイベントの発生に対応する結果です。イベントAの確率P ( A ) は、イベントAに対応するすべての結果の確率の合計です。P ( B )は、イベントBに対応するすべての結果の確率の合計です。P ( AおよびB )は、 AとBの両方に対応するすべての結果の確率の合計です。言い換えると、およびは通常論理記号 ∧ で表され、積集合P ( A ∧ B ) = P ( A ∩ B ) と解釈されます。同様に、または、∨ は和集合 ∪ になり、または、 ¬は補集合 ′ になります。および、または、およびnotの演算を使用したイベントの任意の組み合わせもイベントであり、すべての結果に確率を割り当てると、すべてのイベントの確率が生成されます。技術的に言えば、これは、イベントのセットと 3 つの演算が組み合わさって、関連付けられた確率関数を持つセットのブール代数を構成することを意味します。

標準的な慣習では、P (if A , then B ) は、物質的含意の規則に従ってP ( A ′ ∪ B ) とは解釈されず、Aが与えられた場合のBの条件付き確率、P ( B | A ) = P ( A ∩ B ) / P ( A ) と解釈されます。これにより、 P (if A , then B , if C , then D )のような確率はどうなのかという疑問が生じます。これについては、標準的な答えはありません。一貫性を保つために必要なのは、 if-thenを二項演算子→として扱い、条件付きイベントA → BおよびC → Dについて、P ( A → B ) = P ( B | A )、P ( C → D ) = P ( D | C )、およびP (( A → B ) ∧ ( C → D )) が明確に定義され、合理的であるようにすることです。ロバート・スタルネイカーをはじめとする哲学者たちは、理想的には条件付き事象代数（CEA）が、次の 3 つの条件を満たす確率関数をサポートすると主張しました。

1. 確率関数は通常の公理を満たします。

2. 任意の2つの通常事象AとBについて、P ( A )>0であれば、P ( A → B )= P ( B | A )= P ( A∧B )/ P ( A )となる。

3. 通常の事象Aと許容可能な確率関数Pについて、P ( A )>0であれば、Aを条件として生成される関数であるPA=P ( ⋅ _| A )も許容可能な確率関数である。

しかし、デイヴィッド・ルイスは1976年に、現在ルイスの自明性の結果として知られる事実を証明しました。すなわち、これらの条件は、自明な例においては、ほぼ標準的なアプローチを用いてのみ満たされるということです。特に、これらの条件は、例えばコインを1回投げた場合のように、結果が2つしかあり得ない場合にのみ満たされます。3つ以上の結果が考えられる場合、確率関数を構築するには、上記の3つの条件のうちどれに違反するかを選択する必要があります。A → BをA ′ ∪ Bと解釈すると、通常のブール代数は2に違反します。CEAの場合、選択肢は1と3のどちらかになります。^{[ 1 ]}

条件付きイベント代数の種類

3イベントCEA

3 イベント CEA は3 値論理からヒントを得ており、3 値論理では、論理積、論理和、否定を単純な集合演算と同一視することはもはや適用されません。通常のイベントAとBについて、3 イベントA → Bは、 AとB の両方が発生する場合に発生し、 A が発生するがB が発生しない場合は発生せず、Aが発生しない場合は未決定です。(「3 イベント」という用語はde Finetti (1935) のtriévénementに由来します。) 決して未決定にならない通常のイベントは、結果のサンプル空間全体によって表される空イベントである Ω を条件とする 3 イベントとして代数に組み込まれます。したがって、A はΩ → Aになります。

三値論理は数多く存在するため、三事象代数も数多く考えられます。しかし、特に2つの種類が他の種類よりも注目を集めています。1つは、A ∧ BとA ∨ Bがそれぞれ未決定となるのは、 AとB の両方が未決定の場合のみです。一方だけでも未決定の場合は、連言または選言が他方の連言または選言に続きます。否定が明白な方法で扱われ、Aが未決定の場合に限り¬ Aが未決定となる場合、この種類の三事象代数は、 Sobociński (1920) によって提案され、Belnap (1973) によって支持され、Adams (1975) の条件文に対する「準連言」によっても示唆される三値論理に対応します。Schay (1968) は代数的な処理を初めて提案し、Calabrese (1987) がより適切に展開しました。^{[ 2 ]}

もう一方のタイプの三事象代数は、否定を最初のものと同じように扱いますが、連言と選言をそれぞれ最小関数と最大関数として扱い、発生を上限値、失敗を下限値、そして未決定性を中間値とします。このタイプの三事象代数は、Łukasiewicz (1920) によって提案され、de Finetti (1935) も支持した三値論理に対応します。Goodman、Nguyen、Walker (1991) は最終的にこの代数的定式化を提供しました。

3 イベントの確率は、それが発生する確率を、それが発生するか発生しない確率で割ったものとして定義されます。^{[ 3 ]}この規則により、上記の条件 2 と 3 は、2 つの主要な 3 イベント CEA タイプで満たされます。ただし、条件 1 は満たされません。Sobociński 型代数では、∧ は∨ に分配されないため、 P ( A ∧ ( B ∨ C )) とP (( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C )) は等しい必要はありません。^{[ 4 ]} Łukasiewicz 型代数では、∧ は ∨ に分配されますが、排他的論理和には分配されません( A B = ( A ∧ ¬ B ) ∨ (¬A ∧ B ) )。^{[ 5 ]}また、三事象CEAは相補格子ではなく擬相補格子である。なぜなら、一般に ( A → B ) ∧ ¬( A → B ) は発生せず、未決定となる可能性があり、したがって格子の底元である Ω → ∅ と同一ではないからである。これは、P ( C ) とP ( C (( A → B ) ∧ ¬( A → B ))) が異なる可能性があることを意味するが、古典的には異なるはずがない。 ${\displaystyle \oplus}$ ${\displaystyle \oplus}$ ${\displaystyle \oplus}$

製品分野のCEA

P ( AならばB )を、一連の試行でAかつBがAかつBでないよりも前に発生する確率と考えると、これは単純な確率の無限和として計算できます。つまり、最初の試行でAかつBとなる確率、最初の試行でAでない(かつBかBでない)確率、2 回目の試行でAかつBとなる確率、最初の 2 回の試行でAでない、3 回目の試行でAかつBとなる確率、というように続きます。つまり、P ( A ∧ B ) + P (¬A ) P ( A ∧ B ) + P ( ¬A ) ² P ( A ∧ B ) + …、または因数分解すると、P ( A ∧ B )[1 + P ( ¬A ) + P (¬A ) 2 ⁺ …] となります。 2番目の因数は1 / [1 – P ( ¬A )] = 1 / P ( A )のマクローリン級数展開なので、無限和はP ( A ∧ B ) / P ( A ) = P ( B | A )に等しくなります。

無限和自体は単純な確率ですが、標本空間には単一の試行の通常の結果ではなく、通常の結果の無限のシーケンスが含まれます。したがって、条件付き確率P ( B | A )は、すべての通常の結果の標本空間Ωをすべての通常の結果のシーケンスの標本空間Ω*に置き換え、条件付きイベントA → Bを、最初の( A ∧ B )-結果が最初の( A ∧ ¬ B ) -結果よりも前に来るシーケンスの集合と同一視することにより、単純な確率P ( B → A )に変換されます。デカルト積記法では、Ω* = Ω × Ω × Ω × …であり、A → Bは無限和 [( A ∩ B ) × Ω × Ω × …] ∪ [ A ′ × ( A ∩ B ) × Ω × Ω × …] ∪ [ A ′ × A ′ × ( A ∩ B ) × Ω × Ω × …] ∪ … です。無条件イベントAは、この場合も、条件付きイベント Ω → Aによって表されます。^{[ 6 ]} 3 イベント CEA とは異なり、このタイプの CEA は、通常の無条件イベントだけでなく条件付きイベントについても、∧、∨、および ¬ をよく知られた演算 ∩、∪、および ′ と同一視することをサポートします。 Ω*は無限長の直積によって定義される空間であるため、Ω*の条件付き事象部分集合のブール代数は積空間CEAと呼ばれます。このタイプのCEAは、ルイスの結果を受けてvan Fraassen (1976)によって導入され、後にGoodmanとNguyen (1994)によって独立に発見されました。

積空間 CEA に関連付けられた確率関数は、上記の条件 1 と 2 を満たしています。ただし、条件 1 と 2 を満たす確率関数Pが与えられ、P ( A ) > 0 の場合、PA ( C _| B ) = P ( C | A ∧ B ) かつP _A ( B → C ) = P ( B ∧ C | A ) + P ( B ′ | A ) P ( C | B ) であることが示されます。^{[ 7 ]} A、B 、およびCがペアワイズ互換であるが、P ( A ∧ B ∧ C ) = 0 の場合、P ( C | A ∧ B ) = P ( B ∧ C | A ) = 0 ですが、 P ( B ′ | A ) P ( C | B ) > 0 です。したがって、PA ( B → C ) は確実にP _A ( C | B )と等しくありません。PAは条件 2 を満たさないため、P は_条件3を満たしません。

ネストされたif-then

入れ子になった条件構文はどうでしょうか？3イベントCEAでは、右入れ子構文は多かれ少なかれ自動的に処理されます。なぜなら、Aが真の場合にはA → ( B → C )はB → C（おそらく未決定）の値を取り、Aが偽の場合には未決定であると自然に言えるからです。しかし、左入れ子構文では、より慎重な選択が必要です。A → Bが未決定の場合、( A → B ) → Cは未決定であるべきか、それともCの値を取るべきでしょうか？意見は様々です。Calabreseは後者の見解を採用し、( A → B ) → ( C → D )を((¬ A ∨ B ) ∧ C ) → Dと同一視しています。^{[ 8 ]}

積空間CEAでは、入れ子になった条件文は入れ子になったシーケンス構築を必要とする。つまり、P (( A → B ) → ( C → D )) を評価するには、通常の結果のシーケンスのメタシーケンスの標本空間が必要である。通常のシーケンスの確率は前述と同様に計算される。結果が通常の結果のシーケンスである一連の試行が与えられると、P (( A → B ) → ( C → D ) ) は、 P ( C → D | A → B ) = P (( A → B ) ∧ ( C → D )) / P ( A → B ) であり、(( A → B ) ∧ ¬( C → B )) シーケンスの前に (( A → B ) ∧ ( C → B )) シーケンスに遭遇する確率である。条件文の高階反復には、高階のメタシーケンシャル構築が必要である。^{[ 9 ]}

3事象CEAの2つの主要なタイプのどちらでも、A → ( B → C ) = ( A ∧ B ) → Cです。^{[ 10 ]}一方、積空間CEAはこの同一性をサポートしません。 後者の事実は、すでに指摘したように、P _A ( B → C )がP _A ( C | B ) と等しくないことから推論できます。なぜなら、P _A ( C | B ) = P (( A ∧ B ) → C ) かつP _A ( B → C ) = P ( A → ( B → C ) ) だからです。 ただし、直接分析するには、最初のメンバーシーケンスが ( A ∧ ¬ B ∧ C )-結果で始まり、次に (¬ A ∧ B ∧ C ) -結果が続き、最後に( A ∧ B ∧ ¬ C )-結果が続くメタシーケンスを考えます。そのメタシーケンスは、最初のメンバーシーケンスが ( A ∧ ( B → C )) シーケンスであるため、イベントA → ( B → C ) に属しますが、最初のメンバーシーケンスが (( A ∧ B ) → ¬ C ) シーケンスであるため、メタシーケンスはイベント ( A ∧ B ) → Cには属しません。

アプリケーション

CEAの当初の動機は理論的なもの、すなわちルイスの自明性の結果に対応するという課題であったが、実用的な応用も提案されている。例えば、イベントAとCが軍事レーダー基地からの信号発信に関連し、イベントBとDがミサイル発射に関連している場合、自動ミサイル防衛システムを備えた敵軍は、P (( A → B ) ∧ ( C → D )) および/またはP (( A → B ) → ( C → D ))を計算できるシステムを望むかもしれない。 ^{[ 11 ]}その他の応用としては、画像解釈^{[ 12 ]}からコンピュータネットワークに対するサービス拒否攻撃の検知まで多岐にわたる。 ^{[ 13 ]}

注記

1. CEAの文献では実際には ( B | A ) を「 AならばB 」という意味でが、この表記法では特定の点を明確に述べることが難しくなります。そのため、また読みやすさを向上させるため、本稿ではより一般的なA → Bという表記法を使用します。
2. Schayは実際には2つの代数を指定しており、1つは∧に、もう1つは∨に関連している。この発展の流れは他のものには踏襲されていない。
3. De Finetti 1935, p. 184. 技術的には、確率関数には2種類あります。Pは通常の事象を範囲とする関数であり、 P *はPによって決定され、条件付き事象を範囲とする関数です。この表記上の微妙な違いはここでは無視します。
4. Aが真、 Bが未決定、 Cが偽の場合を考えます。
5. AまたはBのどちらかが真である場合に A B が未決定であるとき、Aが未決定でBとCが両方とも真である場合に、 A ∧ ( B C ) と ( A ∧ B )( A ∧ C )を比較します。${\displaystyle \oplus}$ ${\displaystyle \oplus}$ ${\displaystyle \oplus}$
6. Ω ∩ A = Aおよび Ω′ = ∅ であるため、Ω → Aを表す無限和集合はA × Ω × Ω × Ω × …となります
7. Goodman, Mahler and Nguyen 1999, p. 7では、後者の結果に必要な式が示されています: P (( A → B ) ∧ ( C → D )) = [ P ( A ∧ B ∧ C ∧ D ) + P ( A ′ ∧ C ∧ D ) P ( B | A ) + P ( C ′ ∧ A ∧ B ) P ( D | C )] / P ( A ∨ C )。ここで注目する特殊なケースはP ((Ω → A ) ∧ ( B → C ))です。
8. カラブレーゼ 1987年、217ページ。
9. グッドマンとグエン1995、281-283ページ。
10. この同一性は、いわゆる輸入・輸出の法則に論理的に対応しています。
11. グッドマン、マーラー、グエン 1999.
12. ケリー、デリン、ゴング 1999.
13. Sunら 2014.

参考文献

アダムス、EW 1975. 「条件文の論理」 D.ライデル、ドルドレヒト。

Bamber, D., Goodman, IR, Nguyen, HT 2004.「条件付き知識からの演繹」ソフトコンピューティング8: 247–255.

Belnap, ND 1973.「制限された量化と条件付きアサーション」、H. Leblanc (編)、Truth, Syntax and Modality North-Holland、アムステルダム、48–75。

Calabrese, P. 1987.「論理と確率の基礎の代数的統合」Information Sciences 42:187-237.

デ・フィネッティ、ブルーノ。 1935年。「確率論の論理」。Actes du Congrès 国際哲学科学。パリ。

van Fraassen, Bas C. 1976. 「条件文の確率」WL HarperおよびCA Hooker編『確率理論、統計的推論、科学の統計理論の基礎』第1巻Reidel社、ドルドレヒト、pp. 261–308。

Goodman, IR、Mahler, RPS、Nguyen, HT 1999.「条件付きイベント代数とは何か、なぜ気にする必要があるのか​​？」SPIE Proceedings、Vol. 3720。

グッドマン, IR, グエン, HT, ウォーカー, E .A. 1991. 「知能システムのための条件付き推論と論理：測度に依存しない条件付けの理論」 海軍研究局、バージニア州アーリントン。

Goodman, IRとNguyen, HT 1994.「知能システムにおける確率推論のための条件付き情報理論：II. 積空間アプローチ；III. 数学的付録」情報科学76:13-42; 75: 253-277.

グッドマン, IR、グエン, HT 1995.「条件文の数学的基礎とその確率的割り当て」国際不確実性・あいまいさ・知識ベースシステムジャーナル3(3): 247-339

Kelly, PA, Derin, H., Gong, W.-B. 1999.「画像推定とシステムモデリングにおける条件付きイベントとランダムセットの応用」SPIE Proceedings 3720: 14-24.

Łukasiewicz、J. 1920。「Ologice trójwartościowej」（ポーランド語）。Ruch Filozoficzny 5:170–171。英語翻訳: 「On three-valuedlogic」、L. Borkowski (編)、Jan Łukasiewicz の作品集、北オランダ、アムステルダム、1970 年、87 ～ 88 ページ。 ISBN 0-7204-2252-3

Schay, Geza. 1968. 「条件付きイベントの代数」. Journal of Mathematical Analysis and Applications 24: 334-344.

Sobociński, B. 1952.「三値命題計算の部分システムの公理化」Journal of Computing Systems 1(1):23-55.

Sun, D., Yang, K., Jing, X., Lv, B., Wang, Y. 2014.「条件付きイベント代数に基づく異常なネットワークトラフィック検出」応用力学・材料誌644-650: 1093-1099.