円錐螺旋
Plane spiral projected onto the surface of a cone
アルキメデスの螺旋を床投影した円錐螺旋
床投影：フェルマーの螺旋
床投影：対数螺旋
床投影：双曲螺旋

数学において、円錐螺旋（コニカルスパイラル）[1]は、直円錐上の空間曲線であり、その床射影は平面螺旋となる。床射影が対数螺旋となる場合は、コンコスパイラル（conchoから）と呼ばれる。

パラメトリック表現

-平面におけるパラメトリック表現による螺旋 x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}

x = r ( φ ) cos ⁡ φ   , y = r ( φ ) sin ⁡ φ {\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }

3番目の座標を追加して、空間曲線が次の式で円錐上に位置するようにすることができます 。 z ( φ ) {\displaystyle z(\varphi )} m 2 ( x 2 + y 2 ) = ( z − z 0 ) 2   ,   m > 0 {\displaystyle \;m^{2}(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;}

  • x = r ( φ ) cos ⁡ φ   , y = r ( φ ) sin ⁡ φ   , z = z 0 + m r ( φ )   . {\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .}

このような曲線は円錐螺旋と呼ばれます。[2]これらはパッポスにも知られていました。

パラメータは、 -平面に対する円錐の線の傾斜です。 m {\displaystyle m} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}

円錐スパイラルは、平面図のスパイラルを円錐に正射影したものとみなすことができます。

例

1)アルキメデスの螺旋 から始めると円錐螺旋が得られます（図を参照） r ( φ ) = a φ {\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}
x = a φ cos ⁡ φ   , y = a φ sin ⁡ φ   , z = z 0 + m a φ   , φ ≥ 0   . {\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .}
この場合、円錐螺旋は円錐と螺旋の交差曲線として見ることができます。
2) 2 番目の図は、フェルマーの螺旋を 平面図として用いた円錐螺旋を示しています。 r ( φ ) = ± a φ {\displaystyle \;r(\varphi )=\pm a{\sqrt {\varphi }}\;}
3) 3つ目の例は、対数螺旋を 平面図として用いています。その特徴は、一定の傾きにあります（下記参照）。 r ( φ ) = a e k φ {\displaystyle \;r(\varphi )=ae^{k\varphi }\;}
略語を導入すると、次のようになります。 K = e k {\displaystyle K=e^{k}} r ( φ ) = a K φ {\displaystyle r(\varphi )=aK^{\varphi }}
4)例4は双曲螺旋 に基づいています 。このような螺旋には漸近線（黒線）があり、これは双曲線（紫色）の平面図に相当します。円錐螺旋は のとき双曲線に近づきます。 r ( φ ) = a / φ {\displaystyle \;r(\varphi )=a/\varphi \;} φ → 0 {\displaystyle \varphi \to 0}

プロパティ

以下の調査では、それぞれとの形の円錐螺旋を扱います。 r = a φ n {\displaystyle r=a\varphi ^{n}} r = a e k φ {\displaystyle r=ae^{k\varphi }}

スロープ

円錐螺旋の点における傾斜角度

円錐螺旋の点における傾きは、その点の接線の-平面に対する傾きです。対応する角度はその傾斜角です（図を参照）。 x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}

tan ⁡ β = z ′ ( x ′ ) 2 + ( y ′ ) 2 = m r ′ ( r ′ ) 2 + r 2   . {\displaystyle \tan \beta ={\frac {z'}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}}}}={\frac {mr'}{\sqrt {(r')^{2}+r^{2}}}}\ .}

スパイラルは次のようになります。 r = a φ n {\displaystyle r=a\varphi ^{n}}

  • tan ⁡ β = m n n 2 + φ 2   . {\displaystyle \tan \beta ={\frac {mn}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}}\ .}

アルキメデスの螺旋では、となり、したがってその傾きは n = 1 {\displaystyle n=1}   tan ⁡ β = m 1 + φ 2   . {\displaystyle \ \tan \beta ={\tfrac {m}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\ .}

  • 傾きが( )である対数螺旋の場合。 r = a e k φ {\displaystyle r=ae^{k\varphi }}   tan ⁡ β = m k 1 + k 2   {\displaystyle \ \tan \beta ={\tfrac {mk}{\sqrt {1+k^{2}}}}\ }  constant! {\displaystyle \color {red}{\text{ constant!}}}

この特性のため、貝螺旋は等角円錐螺旋と呼ばれます。

弧長

円錐螺旋の弧の長さは次のように求め られる。

L = ∫ φ 1 φ 2 ( x ′ ) 2 + ( y ′ ) 2 + ( z ′ ) 2 d φ = ∫ φ 1 φ 2 ( 1 + m 2 ) ( r ′ ) 2 + r 2 d φ   . {\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(1+m^{2})(r')^{2}+r^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}

アルキメデスの螺旋の場合、平面の場合と同様に、 積分表を使用して積分を解くことができます。

L = a 2 [ φ ( 1 + m 2 ) + φ 2 + ( 1 + m 2 ) ln ⁡ ( φ + ( 1 + m 2 ) + φ 2 ) ] φ 1 φ 2   . {\displaystyle L={\frac {a}{2}}\left[\varphi {\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}+(1+m^{2})\ln \left(\varphi +{\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}\right)\right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\ .}

対数螺旋の場合、積分は簡単に解くことができます。

L = ( 1 + m 2 ) k 2 + 1 k ( r ( φ 2 ) − r ( φ 1 ) )   . {\displaystyle L={\frac {\sqrt {(1+m^{2})k^{2}+1}}{k}}(r{\big (}\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}

他の場合には楕円積分が発生します。

発達

円錐螺旋（赤）の展開図（緑）、右：側面図。展開図を含む平面は によって設計されます。最初は円錐と平面は紫色の線で接しています。 π {\displaystyle \pi }

円錐螺旋[3]の展開においては、曲線の点から円錐の頂点までの距離と、その角度と 展開の 対応する角度の関係を決定する必要がある。 ρ ( φ ) {\displaystyle \rho (\varphi )} ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} ( 0 , 0 , z 0 ) {\displaystyle (0,0,z_{0})} φ {\displaystyle \varphi } ψ {\displaystyle \psi }

ρ = x 2 + y 2 + ( z − z 0 ) 2 = 1 + m 2 r   , {\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-z_{0})^{2}}}={\sqrt {1+m^{2}}}\;r\ ,}
φ = 1 + m 2 ψ   . {\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+m^{2}}}\psi \ .}

したがって、展開された円錐螺旋の極表現は次のようになります。

  • ρ ( ψ ) = 1 + m 2 r ( 1 + m 2 ψ ) {\displaystyle \rho (\psi )={\sqrt {1+m^{2}}}\;r({\sqrt {1+m^{2}}}\psi )}

展開曲線の極座標表示 の場合、 r = a φ n {\displaystyle r=a\varphi ^{n}}

ρ = a 1 + m 2 n + 1 ψ n , {\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}^{\,n+1}\psi ^{n},}

これは同じタイプのスパイラルを表します。

  • 円錐螺旋の平面図がアルキメデスの螺旋である場合、その展開図もアルキメデスの螺旋です。
双曲螺旋（ ）の場合、 展開図は平面図の螺旋と一致します。 n = − 1 {\displaystyle n=-1}

対数螺旋の場合、 展開は対数螺旋になります。 r = a e k φ {\displaystyle r=ae^{k\varphi }}

ρ = a 1 + m 2 e k 1 + m 2 ψ   . {\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}\;e^{k{\sqrt {1+m^{2}}}\psi }\ .}

接線トレース

平面図として双曲螺旋を用いた円錐螺旋の接線（紫色）の線。黒線は双曲螺旋の漸近線。

円錐螺旋の接線と-平面 (円錐の頂点を通る平面)との交点の集合を接線と呼びます。 x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}

円錐螺旋の場合

( r cos ⁡ φ , r sin ⁡ φ , m r ) {\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,mr)}

接線ベクトルは

( r ′ cos ⁡ φ − r sin ⁡ φ , r ′ sin ⁡ φ + r cos ⁡ φ , m r ′ ) T {\displaystyle (r'\cos \varphi -r\sin \varphi ,r'\sin \varphi +r\cos \varphi ,mr')^{T}}

そして接線：

x ( t ) = r cos ⁡ φ + t ( r ′ cos ⁡ φ − r sin ⁡ φ )   , {\displaystyle x(t)=r\cos \varphi +t(r'\cos \varphi -r\sin \varphi )\ ,}
y ( t ) = r sin ⁡ φ + t ( r ′ sin ⁡ φ + r cos ⁡ φ )   , {\displaystyle y(t)=r\sin \varphi +t(r'\sin \varphi +r\cos \varphi )\ ,}
z ( t ) = m r + t m r ′   . {\displaystyle z(t)=mr+tmr'\ .}

-平面との交点はパラメータを持ち、交点は x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} t = − r / r ′ {\displaystyle t=-r/r'}

  • ( r 2 r ′ sin ⁡ φ , − r 2 r ′ cos ⁡ φ , 0 )   . {\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{r'}}\sin \varphi ,-{\frac {r^{2}}{r'}}\cos \varphi ,0\right)\ .}

r = a φ n {\displaystyle r=a\varphi ^{n}} となり、接線は螺旋となる。この場合（双曲螺旋）は、接線は半径 の円に退化する（図を参照）。一方は となり、接線は対数螺旋となる。これは対数螺旋の自己相似性により、平面図と合同となる。   r 2 r ′ = a n φ n + 1   {\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {a}{n}}\varphi ^{n+1}\ } n = − 1 {\displaystyle n=-1} a {\displaystyle a} r = a e k φ {\displaystyle r=ae^{k\varphi }}   r 2 r ′ = r k   {\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {r}{k}}\ }

カタツムリの殻 ( Neptunea angulata左、右: Neptunea despecta)

参考文献

  1. ^ 「円錐らせん」. MATHCURVE.COM . 2022年3月3日閲覧。
  2. ^ Siegmund Günther、Anton Edler von Braunmühl、Heinrich Wieleitner: Geschichte der mathematik. GJ ゲシェン、1921 年、p. 92.
  3. ^ テオドール・シュミット:ダーステレンデ幾何学。バンド 2、Vereinigung wissenschaftlichen Verleger、1921 年、p. 229.
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