円錐面

楕円錐は円錐面の特殊なケースであり、簡略化のため切断して示されている。

幾何学において、円錐面は、固定点と空間曲線を通過する無限の直線の結合から形成される3 次元空間内の無限の面です。

定義

（一般）円錐面は、固定点（頂点）と、頂点を含まない固定空間曲線の任意の点（準線）を通るすべての直線の和によって形成される無限面である。これらの直線はそれぞれ、円錐面の母線と呼ばれる。準線は、しばしば頂点を含まない平面上の平面曲線として扱われるが、これは必須条件ではない。^{[ 1 ]}

一般に、円錐面は頂点で結ばれた2つの合同な無限の半分から構成されます。それぞれの半分はナップと呼ばれ、頂点から始まり、ある固定された空間曲線の点を通るすべての光線の和集合です。 ^{[ 2 ]}「円錐面」という用語は、1つのナップだけを指す場合もあります。^{[ 3 ]}

特殊なケース

準線が円で、頂点が円の軸（円の中心を通り、その平面に垂直な線）上にある場合、直円錐面または二重円錐が得られます。^{[ 2 ]}より一般的には、準線が楕円または任意の円錐曲線で、頂点が平面上にない任意の点にある場合、楕円円錐が得られます。^{[ 4 ]}${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

方程式

円錐面は次のように パラメータ的に記述できる。${\displaystyle S}$

${\displaystyle S(t,u)=v+uq(t)}$ 、

ここでは頂点、は準線である。^{[ 5 ]}${\displaystyle v}$ ${\displaystyle q}$

関連する表面

円錐面は線織面であり、各点を通る直線を持つ面である。^{[ 6 ]}頂点を避ける円錐面のパッチは展開面の特殊なケースであり、伸長させることなく平面に展開できる面である。準線が頂点からなす角度がちょうど である性質を持つとき、円錐面の各ナップ（頂点を含む）は展開面となる。^{[ 7 ]}${\displaystyle 2\pi }$

円筒面は、頂点が特定の方向に無限遠に移動した円錐面の極限ケースと見ることができます。実際、射影幾何学において、円筒面は円錐面の特殊なケースに過ぎません。^{[ 8 ]}

参照

• 円錐曲線
• 二次曲面

参考文献

1. アドラー、アルフォンス A. (1912)、「1003. 円錐面」、工学製図理論、D. ヴァン・ノストランド、p. 166
2. ウェルズ、ウェブスター、ハート、ウォルター・ウィルソン（1927年）、現代立体幾何学、段階的コース、第6-9巻、DCヒース、pp.  400– 401
3. シャッツ、ジョージ・C. (1913)、「640. 円錐面」、立体幾何学、アトキンソン、メンツァー、p. 410
4. Young, JR (1838)、「解析幾何学」、J. Souter、p. 227
5. Gray, Alfred (1997)、「19.2 平坦なルールド面」、Mathematica による曲線と曲面の現代微分幾何学（第2版）、CRC Press、pp.  439– 441、ISBN 9780849371646
6. 日本数学会 (1993)、伊藤清司編、数学事典、Vol. I: A–N (第 2 版)、MIT プレス、p. 419
7. Audoly, Basile; Pomeau, Yves (2010),弾性と幾何学：ヘアカールからシェルの非線形応答まで、オックスフォード大学出版局、pp.  326– 327、ISBN 9780198506256
8. ギーゼッケ, FE; ミッチェル, A. (1916), 『記述幾何学』 , フォン・ベックマン・ジョーンズ社, 66ページ