円錐屈折

3つの主屈折率が であるときの波数ベクトル面${\displaystyle 1,0.5,1.5}$

波動ベクトルの表面。2枚のシートが4つの円錐点で交差します。

円錐屈折とは、二軸結晶を特定の方向に沿って通過する光線が、中空の円錐状に屈折する光学現象です。円錐屈折には、内部屈折と外部屈折の2種類があります。内部屈折の場合は4つの方向があり、外部屈折の場合はさらに4つの方向があります。

内部円錐屈折では、平面波の光が、光平面と平行な面を持つ二軸結晶の板状の開口部に入射します。板内で光は中空の円錐状の光線に分割されます。板から出射すると、中空の円錐は中空の円筒状に変化します。

外部円錐屈折では、光は二軸結晶板上の単一の点開口部に集光され、板の反対側にある出射点開口部から出射されます。出射後、光は中空の円錐に分割されます。

この効果は1832年にウィリアム・ローワン・ハミルトン^[1]によって予測され、翌年にはハンフリー・ロイドによって観測されました^{[2] 。これはおそらく、数学的推論によって予測され、後に}実験によって確認された現象の最初の例でした^[3]。

歴史

複屈折現象は、 1669年にエラスムス・バルトリンによってアイスランドの石英（方解石）で発見されました。この現象は、クリスティアーン・ホイヘンスによって光の波動説を用いて最初に説明されました。この説明は、彼の『光論』 （1690年）の中心的な論点となりました。しかし、彼の理論は単軸結晶に限定されており、二軸結晶の挙動を説明できませんでした。球面内部。

1813年、デイヴィッド・ブリュースターはトパーズに複屈折のない軸が2つあることを発見し、その後、アラゴナイト、ホウ砂、雲母なども二軸性を持つことが特定されました。これを説明することはホイヘンスの理論の範疇を超えていました。^[4]

同時期に、オーギュスタン＝ジャン・フレネルは、単軸結晶と二軸結晶の両方における複屈折を記述できる、より包括的な理論を発展させた。フレネルは既に1823年に波数ベクトル面の式を導出しており、アンドレ＝マリー・アンペールは1828年にそれを再導出した。^[5]二軸結晶の波数ベクトル面については多くの研究者が研究したが、いずれもその物理的な意味合いを理解していなかった。特にフレネルは、（単軸結晶の場合との誤った類推により）波数ベクトル面の2つの面が特異点で接線をなすと誤解していた。これは円錐面の仮定とは異なっていた。^[4]

ウィリアム・ローワン・ハミルトンは、ハミルトン光学に関する研究において、波数ベクトル面には4つの円錐点と4つの接円錐曲線が存在することを発見しました。^[1]これらの円錐点と接円錐曲線は、特定の条件下では光線が結晶内部で屈折して光円錐を形成する可能性があることを示唆しています。彼はこの現象を「円錐屈折」と名付け、円錐点と接円錐曲線に対応する内部円錐屈折と外部円錐屈折という2つの異なるタイプを予測しました。

ハミルトンは1832年10月22日、アイルランド王立アカデミーでこの発見を発表しました。彼はハンフリー・ロイドに実験的に証明するよう依頼しました。ロイドは12月14日、ドロンド産のアラゴナイトの標本を用いて外円錐屈折を観測し、 2月に発表しました。^[6]その後、内円錐屈折も観測し、3月に発表しました。^[7]ロイドは両方の報告をまとめ、詳細を追加して1つの論文にまとめました。^[2]

ロイドは実験的に屈折した光線が偏光しており、偏光角が回転角の半分であることを発見しました (下記参照)。それをハミルトンに伝えると、ハミルトンは理論的に説明しました。

同じ頃、ハミルトンはジョージ・ビデル・エアリーとも書簡を交換していた。エアリーは2枚のシートが接線ではなく円錐点で接していることを独自に発見していたが、これが実験的な意味を持つかどうかについては懐疑的だった。彼はロイドの報告を受けて初めて確信した。^{[4] [8]}

この発見は光の波動理論にとって大きな勝利となり、フレネルの複屈折理論を確固たるものにした。^[3]ロイドの実験データは^[9]の350～355ページに記載されている。

内部の円錐の光線は、当然のことながら、結晶の2番目の面から円筒状に現れました。このほぼ円形の円筒の大きさは、小さいながらもはっきりと認識でき、太陽光で銀紙に小さな光の輪を投影し、その輪はアラゴナイトから紙までの距離が異なっても同じように見えました。^[10]

1833年、ジェームズ・マカラーは、これは1830年に発表した定理^[11]の特殊なケースであると主張したが、その定理は当時の論文とは関係がなかったため説明しなかった^{[ 12]。コーシーは}古典力学の文脈で同じ曲面を発見した^[10]。

ある人が「円錐屈折を見たことがなく、それを本当に信じている人を私は知らない。私自身、光の円錐を見せて20人の数学者を改心させたことがある」と述べたとき、ハミルトンはこう答えた。「私とは大違いだ！もし私がそれをただ見ただけなら、信じなかっただろう。私の目はあまりにも何度も私を欺いてきた。私はそれを証明したから信じているのだ。」^[8]

外円錐屈折

内円錐屈折

幾何学理論

用語に関する注意: 波動ベクトルの表面は、波面、法線遅さの表面、波の遅さの表面などとも呼ばれます。指数楕円体は弾性面と呼ばれていました。これは、フレネルによれば、光波は物質内の横方向の弾性波とまったく同様に横方向の波であるためです。

波動ベクトルの面

表記を簡潔にするために、 と定義します。 この面はフレネル波面とも呼ばれます${\displaystyle a=n_{x}^{-2}-n_{y}^{-2},b=n_{y}^{-2}-n_{z}^{-2}}$

3つの主屈折率 を持つ二軸結晶があるとします。結晶中を伝播する平面波の各方向に対して、特定の群速度が存在します。その方向に沿った屈折率は と定義されます。 ${\displaystyle n_{x}<n_{y}<n_{z}}$ ${\displaystyle {\hat {k}}}$ ${\displaystyle v_{g}({\hat {k}})}$ ${\displaystyle n({\hat {k}})=c/v_{g}({\hat {k}})}$

ここで、波数ベクトル面を以下の点集合として定義します。一般に、各波数ベクトル方向に沿って2つの群速度が存在します。これらを求めるには、に垂直な平面を描きます。指数は、平面と指数楕円体との交差楕円の長軸と短軸です。正確に4つの方向において、交差は円になります（これらはブリュースターによって発見されたように、複屈折が消失する軸であり、「双軸」と呼ばれます）。そして、波数ベクトル面の2つの面は円錐点で衝突します。 $${\displaystyle \{n({\hat {k}}){\hat {k}}:{\hat {k}}\in {\text{sphere of radius 1}}\}}$$ ${\displaystyle {\hat {k}}}$

より正確には、波動ベクトルの表面は次の4次方程式を満たす（、^[9] 346ページ）。または、$${\displaystyle (k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})(n_{x}^{2}k_{x}^{2}+n_{y}^{2}k_{y}^{2}+n_{z}^{2}k_{z}^{2})-(n_{y}^{2}+n_{z}^{2})n_{x}^{2}k_{x}^{2}-(n_{z}^{2}+n_{x}^{2})n_{y}^{2}k_{y}^{2}-(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})n_{z}^{2}k_{z}^{2}+(n_{x}n_{y}n_{z})^{2}=0}$$ $${\displaystyle \sum _{i}{\frac {n_{i}^{2}k_{i}^{2}}{\|k\|^{2}-n_{i}^{2}}}=0}$$

[証明]

長軸と短軸は制約最適化問題の解です。ここ で、は対角要素を持つ行列です$${\displaystyle {\begin{cases}k^{T}r&=0\quad &k\perp r\\r^{T}Mr&=1\quad &r{\text{ is on the index ellipsoid}}\\\mathrm {exr} (r^{T}r)&\quad &\|r\|{\text{is max/minimized}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n_{x}^{-2},n_{y}^{-2},n_{z}^{-2}}$

変数が3つ、制約条件が2つあるため、Karush–Kuhn–Tucker条件を適用できます。つまり、3つの勾配は線形従属です。 ${\textstyle k,Mr,r}$

とすると、 となります。を に戻すと、 が得られます。を の方向、 の長さのベクトルとします。したがって、 の方程式は であることがわかります。分母を掛け合わせ、 を掛けると、 が得られます。 ${\textstyle Mr=\alpha k+\beta r}$ $${\displaystyle 0=\alpha k^{T}r=r^{T}Mr-\beta r^{T}r\implies \beta =(r^{T}r)^{-1}}$$ ${\textstyle r_{x}={\frac {\alpha k_{x}}{n_{x}^{-2}-\beta }},\dots }$ ${\textstyle k^{T}r=0}$ $${\displaystyle \sum _{i}{\frac {k_{i}^{2}}{n_{i}^{-2}-\|r\|^{-2}}}=0}$$ ${\textstyle {\vec {k}}}$ ${\textstyle (k_{x},k_{y},k_{z})}$ ${\textstyle \|r\|}$ ${\textstyle {\vec {k}}}$ $${\displaystyle \sum _{i}{\frac {k_{i}^{2}}{n_{i}^{-2}-\|{\vec {k}}\|^{-2}}}=0}$$ ${\textstyle n_{x}^{2}n_{y}^{2}n_{z}^{2}}$

一般に、固定方向に沿って、遅い波と速い波 の2 つの波ベクトルが考えられます。ここで、 は長半軸、 は短半軸です。 ${\textstyle {\hat {k}}}$ ${\textstyle n_{+}{\hat {k}}}$ ${\textstyle n_{-}{\hat {k}}}$ ${\textstyle n_{+}}$ ${\textstyle n_{-}}$

の方程式に を代入すると、における二次方程式が得られます。この方程式には2つの解 が存在します。 に垂直な平面が指数楕円体と円で交差するため、2つの波数ベクトルは正確に4つの方向で一致します。これらの方向はであり、点 です。 ${\textstyle {\vec {k}}=n{\hat {k}}}$ ${\textstyle {\vec {k}}}$ ${\textstyle n^{2}}$ $${\displaystyle \left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}n_{z}^{2}}}+\cdots \right)n^{4}-\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}}}+{\frac {k_{x}^{2}}{n_{z}^{2}}}+\cdots \right)n^{2}+1=0}$$ ${\displaystyle n_{-}^{2},n_{+}^{2}}$ ${\textstyle {\hat {k}}}$ ${\textstyle {\hat {k}}=(\pm \cos \theta ,0,\pm \sin \theta )}$ ${\textstyle \sin ^{2}\theta ={\frac {b}{a+b}}}$ ${\textstyle n_{-}=n_{+}=n_{y}}$

の近傍で表面の方程式を展開すると、円によって囲まれた円錐である表面の局所的な形状が得られます。 ${\textstyle {\vec {k}}=(n_{y}\cos \theta ,0,n_{y}\sin \theta )}$

さらに、4つの平面が存在し、それぞれが曲面に全円（後述するように、円錐 曲線）で接しています。これらの平面は方程式 （, ^[9] 349–350ページ）またはそれと同等の を持ちます。そして、4つの円はこれらの平面と楕円体の交点です。4つの円はすべて半径 です。 $${\displaystyle k_{x}{\sqrt {n_{y}^{2}-n_{x}^{2}}}\pm k_{z}{\sqrt {n_{z}^{2}-n_{y}^{2}}}=\pm n_{y}{\sqrt {n_{z}^{2}-n_{x}^{2}}}}$$ ${\textstyle n_{x}k_{x}{\sqrt {a}}\pm n_{z}k_{z}{\sqrt {b}}=\pm n_{x}n_{z}{\sqrt {a+b}}}$ $${\displaystyle (n_{x}^{2}+n_{y}^{2})k_{x}^{2}+2n_{y}^{2}k_{y}^{2}+(n_{z}^{2}+n_{y}^{2})k_{z}^{2}-(n_{x}^{2}+n_{z}^{2})n_{y}^{2}=0}$$ ${\displaystyle n_{y}^{-1}{\sqrt {(n_{y}^{2}-n_{x}^{2})(n_{z}^{2}-n_{y}^{2})}}=n_{x}n_{z}{\sqrt {ab}}}$

[証明]

その方程式を微分すると、波数ベクトルの表面上の点（接平面が-軸に平行な点）は、を満たすことがわかります。つまり、-平面と楕円体 の和集合です${\textstyle k_{y}}$ $${\displaystyle k_{y}((n_{x}^{2}+n_{y}^{2})k_{x}^{2}+2n_{y}^{2}k_{y}^{2}+(n_{z}^{2}+n_{y}^{2})k_{z}^{2}-(n_{x}^{2}+n_{z}^{2})n_{y}^{2})=0}$$ ${\textstyle k_{x}k_{z}}$

したがって、波動ベクトルの表面上の点は2つの部分を持つ： を持つすべての点と、補助楕円体と交差するすべての点${\textstyle k_{y}=0}$ $${\displaystyle (n_{x}^{2}+n_{y}^{2})k_{x}^{2}+2n_{y}^{2}k_{y}^{2}+(n_{z}^{2}+n_{y}^{2})k_{z}^{2}-(n_{x}^{2}+n_{z}^{2})n_{y}^{2}=0}$$

補助楕円体の方程式を使用して波数ベクトル面の方程式から消去すると、4つの平面の積に分割される別の4次方程式が得られます。${\textstyle k_{y}^{2}}$ $${\displaystyle k_{z}\pm k_{x}{\sqrt {\frac {n_{y}^{2}-n_{x}^{2}}{n_{z}^{2}-n_{y}^{2}}}}\pm n_{y}{\sqrt {\frac {n_{z}^{2}-n_{x}^{2}}{n_{z}^{2}-n_{y}^{2}}}}}$$

したがって、補助楕円体との4つの平面交差、すなわち4つの楕円が得られます。これらの楕円はすべて波数ベクトル面上に存在し、波数ベクトル面はこれらの点において軸に平行な接線面を持ちます。直接計算により、これらの楕円は円であることが分かります。 ${\textstyle k_{y}}$

接線平面も円の平面と平行であることを確認する必要があります。

を4つの平面のうちの1つとし、を 内の円上の1点とします 。の場合、円は 面上にあるため、における面の接平面はにおける円の接線を必ず含みます。また、 面は軸に平行な直線も含まなければなりません。したがって、 面はとによって張られ、これはまさに 面 です。これは の場合に連続的に拡張されます。${\textstyle P_{0}}$ ${\textstyle {\vec {k}}}$ ${\textstyle P_{0}}$ ${\textstyle k_{y}\neq 0}$ ${\textstyle P}$ ${\textstyle {\vec {k}}}$ ${\textstyle l}$ ${\textstyle {\vec {k}}}$ ${\textstyle P}$ ${\textstyle l_{y}}$ ${\textstyle {\vec {k}}}$ ${\textstyle k_{y}}$ ${\textstyle P}$ ${\textstyle l_{y}}$ ${\textstyle l}$ ${\textstyle P_{0}}$ ${\textstyle k_{y}=0}$

表面は4つの小さな穴、あるいは窪みのあるプルーンを想像してみてください。プルーンを平らな机の上に置くと、プルーンは窪みを覆う円を描くように机に接するでしょう。

まとめると、波動ベクトルの曲面はのところに特異点を持つ。曲面の特殊接線平面は、それぞれとの角度をなす2点で曲面に接する。^[13]${\textstyle {\hat {k}}=(\pm \cos \theta ,0,\pm \sin \theta )}$ ${\textstyle \theta =\arctan {\sqrt {b/a}}}$ ${\displaystyle \arctan {\frac {n_{x}}{n_{z}}}{\sqrt {b/a}}}$ ${\displaystyle \arctan {\frac {n_{z}}{n_{x}}}{\sqrt {b/a}}}$

波円錐の角度、すなわち内部円錐屈折の円錐の角度は です。^[13]円錐は斜円錐であることに留意してください。その頂点は円の中心ではなく、円周 上の点で底辺に垂直です。${\textstyle A_{internal}=\arctan n_{y}^{2}{\sqrt {ab}}}$

光線ベクトルの表面

光線ベクトル面は、波動ベクトル面の極双対面である。その方程式は、波動ベクトル面の方程式においてを と置き換えることで得られる。 ^[1]つまり、上記の結果はすべて同じ修正を加えて適用できる。2つの面は双対性によって次のように関連している。 ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}^{-1}}$ $${\displaystyle (r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2})(n_{x}^{-2}r_{x}^{2}+n_{y}^{-2}r_{y}^{2}+n_{z}^{-2}r_{z}^{2})-(n_{y}^{-2}+n_{z}^{-2})n_{x}^{-2}r_{x}^{2}-(n_{z}^{-2}+n_{x}^{-2})n_{y}^{-2}r_{y}^{2}-(n_{x}^{-2}+n_{y}^{-2})n_{z}^{-2}r_{z}^{2}+(n_{x}n_{y}n_{z})^{2}=0}$$

• 円上の波数ベクトルの表面に接する 4 つの特殊平面は、光線ベクトルの表面上の 4 つの円錐点に対応します。
• 波動ベクトルの表面上の 4 つの円錐点は、円上の光線ベクトルの表面に接する 4 つの平面に対応します。

ほぼ円形

典型的な結晶では、その差は小さいです。この場合、円錐点はそれを囲む接円のほぼ中心にあり、したがって、光錐（内部屈折と外部屈折の両方の場合）はほぼ円錐です ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$

偏光

単位球面を考えます。その上の各点は波数ベクトルの可能な方向です。それぞれについて、楕円交差の長軸と短軸の方向をプロットします。これにより、単位球面上で直交する2つの曲線族が得られ、4つの特異点を持ちます。グラフは、一般的な楕円体の臍点のグラフと位相的に同じです

ベクトル場の指数は 1/2 であり、これが偏光方向が半分だけ回転する理由を説明しています。${\displaystyle \phi }$

外円錐屈折の場合、1本の光線が平面波の円錐に分裂し、各波は波数ベクトル面の接円上の点に対応します。4つの象限それぞれに1つの接円があります。 となる接円を取り、その上の点を取ります。その点を とします。 ${\displaystyle k_{x},k_{z}>0}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$

方向 における平面波の偏光方向を求めるには、 に垂直な平面と指数楕円体との交点を取ります。偏光方向は、 に垂直な平面と指数楕円体 との交点における楕円の長軸の方向です。${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$

したがって、最も高い は方向に平行に偏光した光に対応し、最も低い は に垂直に偏光した光に対応します。一般に、光の円に沿って角度 だけ回転すると、偏光方向は約 だけ回転します。 ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle k_{z}}$ ${\displaystyle k_{y}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle k_{z}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi /2}$

これは、円錐を一周回転させても偏光角は半周しか回転しないことを意味します。これは幾何学的位相の初期の例です。^{[14] [15]}この幾何学的位相は、円錐屈折の前後におけるビームの角運動量の差に現れます。^[16]${\displaystyle \pi }$

代数幾何学

波動ベクトルの曲面は4次代数方程式によって定義されるため、古典代数幾何学では それ自体が研究対象となっていました

アーサー・ケイリーは1849年にこの曲面を研究した。^{[17]彼はこれを四面体}四次曲面の退化した例として記述した。これらの曲面は、4つの平面が交差して四面体を形成する曲面として定義される。各平面は2つの円錐曲線で曲面と交差する。波数ベクトル曲面の場合、四面体は平らな正方形に退化する。四面体の3つの頂点は、それらが定義する面内で2つの円錐曲線と共役である。2つの円錐曲線は4点で交差し、16個の特異点が生じる。^[18]

一般に、波動ベクトルの曲面はクンマー面であり、そのすべての性質が当てはまる。例えば、^[19]

• それはその双対面と射影的に同型です。
• 特異点は最大 16 個あります。
• 曲面の各比は、その双対上の特異点に対応します。ここで比は、曲面上の二重円錐曲線として定義されます。言い換えれば、曲面と平面の交点が完全な正方形になる点です。
• それぞれのクンマー面には2次元の直線族が存在し、面上の各点はその直線族内の2本の直線に接する。^[20]

波動ベクトルの表面のさらなる性質については、クンマー面に関する古典的な参考文献の第10章に記載されています。^[21]

あらゆる線形物質は4次分散方程式を持つため、その波数ベクトル面はクンマー面となり、最大16個の特異点を持つことができます。このような物質が存在する可能性は1910年に提唱され^[22]、2016年には科学者によってそのような（メタ）物質が作製され、円錐屈折の方向が16方向あることが確認されました^{[23] 。}

回折理論

円錐屈折の古典的な理論は本質的に幾何光学のスタイルであり、光の波動性を無視しています。波動理論は、ポッゲンドルフリング、二次リング、中心点とそれに関連するリングなど、特定の観測可能な現象を説明するために必要です。この文脈では、円錐屈折は通常、光の波動性を強調するために「円錐回折」と呼ばれます。 ^{[13] [24] [3]}

観察

円錐の角度は結晶の特性、特に主屈折率の差に依存します。この影響は通常小さいため、観察するには慎重な実験設定が必要です。初期の実験では、太陽光とピンホールを用いて細い光線を作り出していましたが、現代の実験では、レーザーと高解像度の検出器がよく使用されます

ポッゲンドルフは、細い暗帯で隔てられた2つのリングを観察した。^[25]これはヴォイトによって説明された。^[26]導出については、 ボーンとウルフの15.3節を参照。

ポッターは1841年に^[27]、ハミルトンの理論では説明できない回折現象を観察した。具体的には、円錐内部の屈折によって形成される2つのリングを観察すると、内側のリングは一点になるまで収縮するのに対し、外側のリングは無限に膨張する。納得のいく説明には、その後の回折理論の発展が必要となった^{[28] 。}

円錐屈折は石英中の横波でも観測されている。^[29]

現代の発展

円錐屈折の研究は発見以来続けられており、研究者たちはその様々な側面と意味を探求しています。最近の研究には以下のものがあります

• 近軸理論：この理論は、小さな入射角での円錐回折を簡略化した記述を提供し、観測される光パターンの詳細な構造を分析するために使用されてきた。^[30]
• キラル結晶：結晶に光学活性（キラリティー）が組み込まれると、円錐形の円筒が「回転カスプ」コースティックに変化するなどの新しい現象が発生します。^[31]
• 吸収と二色性：結晶中の吸収の存在は光の挙動を著しく変化させ、悪魔的な点を分岐点のペアに分割し、出現する光のパターンに影響を与えます。^[32]
• 非線形光学：二軸結晶における非線形光学効果は円錐屈折と相互作用し、複雑で興味深い現象を引き起こす可能性があります。^[33]
• 応用：円錐屈折は、光トラッピング、自由空間光通信、偏光計測、超解像イメージング、二光子重合、レーザーなどに応用されている。^[34]

参照

• 複屈折
• 波面
• 結晶光学
• 偏光
• コースティクス

外部リンク

• 菱形硫黄の単結晶を透過した、半径1メートルを超えるリングを持つ円錐屈折像。Yu. P. Mikhailichenko著
• フレネル波面の画像^{[35] [36]}（470～485ページ^[37]）。

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