コニフォールド

数学と弦理論において、円錐体とは多様体の一般化である。多様体とは異なり、円錐体には円錐特異点、すなわち近傍が特定の基底上の円錐のように見える点が含まれることがある。物理学、特に弦理論のフラックスコンパクト化においては、一般的に考えられる円錐体は複素3次元（実6次元）空間であるため、 基底は通常5次元実多様体である。

概要

円錐体は弦理論において重要な対象です。ブライアン・グリーンは著書『エレガントな宇宙』の第13章で円錐体の物理について解説しており、円錐体の近くで空間が裂け、その位相が変化する可能性も含まれています。この可能性はキャンデラスら (1988) によって初めて指摘され、グリーンとヒュブシュ (1988) によって、円錐体が弦理論における（当時）既知のすべてのカラビ・ヤウ・コンパクト化を繋ぐことを証明するために利用されました。これは、円錐体がすべての可能なカラビ・ヤウ複素3次元空間を繋ぐというリード (1987) の予想を部分的に裏付けています。

円錐体のよく知られた例は、五次方程式の変形極限、すなわち射影空間 における五次超曲面として得られる。この空間は複素次元が4であるため、五次方程式（次数5）によって定義される空間である。 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{4}}$

${\displaystyle z_{1}^{5}+z_{2}^{5}+z_{3}^{5}+z_{4}^{5}+z_{5}^{5}-5\psi z_{1}z_{2}z_{3}z_{4}z_{5}=0}$

上の同次座標系で表すと、任意の固定された複素数 に対して、 は複素次元3を持ちます。この五次超曲面の族は、カラビ・ヤウ多様体の最も有名な例です。複素構造パラメータが1に等しくなるように選択すると、上記の多様体は特異になります。これは、方程式の五次多項式の導関数が、すべての座標が等しいか、それらの比が特定の5乗根であるときに0になるためです。この特異点の近傍は、底面が位相的にちょうど である円錐のように見えます。 ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{4}}$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle S^{2}\times S^{3}}$

弦理論の文脈では、幾何学的に特異な円錐体は、弦の完全に滑らかな物理現象につながることが示される。発散は、IIB型弦理論では収縮する三次元球面に巻き付けられたD3ブレーンによって、IIA型弦理論では収縮する二次元球面に巻き付けられたD2ブレーンによって「ぼかされる」 。これはStrominger (1995)によって最初に指摘された。Greene、Morrison、Strominger (1995)によって示されたように、これはCandelas、Green、Hübsch (1990)によって最初に記述された円錐体転移を介したトポロジー変化の弦理論的な記述を与える。彼らは「円錐体」という用語と図も考案した。

目的のために。円錐体を滑らかにする位相的に異なる2つの方法は、特異頂点（ノード）を3次元球面（複素構造を変形する）または2次元球面（「小さな分解」）に置き換えることであることが示された。ほぼすべてのカラビ・ヤウ多様体はこれらの「臨界遷移」を介して接続できると考えられており、これはリードの予想と共鳴する。

参考文献

• カンデラス、フィリップ；デール、AM；ルッケン、アンドリュー；シムリッグ、ロルフ（1988）「完全交差カラビ・ヤウ多様体」、核物理学B、298（3）：493–525、Bibcode：1988NuPhB.298..493C、doi：10.1016/0550-3213（88）90352-5
• リード、マイルズ（1987）、「K=0の3次元多様体のモジュライ空間はそれでも既約かもしれない」、数学年報、278（1–4）：329–334、doi：10.1007/bf01458074、S2CID  120390363
• グリーン、ポール；ヒュブシュ、トリスタン（1988）「カラビ＝ヤウ三重多様体のモジュライ空間の連結」、Communications in Mathematical Physics、119（3）：431– 441、Bibcode：1988CMaPh.119..431G、doi：10.1007/BF01218081、S2CID  119452483
• カンデラス、フィリップ；グリーン、ポール；ヒュブシュ、トリスタン（1990）「カラビ・ヤウ真空中の転がり」核物理学B、330（1）：49-102、Bibcode：1990NuPhB.330...49C、doi：10.1016/0550-3213(90)90302-T
• ストロミンガー、アンドリュー (1995)、「弦理論における質量ゼロのブラックホールと円錐体」、核物理学B、451 ( 1–2 ): 96– 108、arXiv : hep-th/9504090、Bibcode :1995NuPhB.451...96S、doi :10.1016/0550-3213(95)00287-3、S2CID  6035714
• グリーン、ブライアン；モリソン、デイヴィッド；ストロミンガー、アンドリュー（1995）「ブラックホール凝縮と弦真空の統一」、核物理学B、451（1-2）：109-120、arXiv：hep-th/9504145、Bibcode：1995NuPhB.451..109G、doi：10.1016/0550-3213(95)00371-X、S2CID  11145691

さらに読む

• ヒュブシュ、トリスタン（1994）、カラビ・ヤウ多様体：物理学者のためのベストイアリ、シンガポール、ニューヨーク：ワールドサイエンティフィック、ISBN 981-02-1927-X, OCLC  34989218, 2010年1月13日にオリジナルからアーカイブ, 2010年2月25日取得
• グロス、マーク (1997)、「原始カラビ・ヤウ三重多様体」、微分幾何学ジャーナル、45 (2): 288– 318、arXiv : alg-geom/9512002、Bibcode :1995alg.geom.12002G、doi :10.4310/jdg/1214459799、S2CID  18223199
• グリーン、ブライアン (1997)、「カラビ・ヤウ多様体上の弦理論」、arXiv : hep-th/9702155
• グリーン、ブライアン（2003）、『エレガントな宇宙』、WWノートン社、ISBN 0-393-05858-1
• ヒュブシュ、トリスタン「コニフォールドと『（現実世界ワイド）ウェブ』」（2009年）、「コニフォールドと『（現実世界ワイド）ウェブ』」（2022年）