共役変数

共役変数は、数学的にフーリエ変換双対となるように定義された変数のペアであり、^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}、より一般的にはポンチャギン双対性によって関連付けられています。双対関係は、物理学ではハイゼンベルクの不確定性原理と呼ばれる不確定性関係を自然にそれらの間に導きます。数学的には、共役変数はシンプレクティック基底の一部であり、不確定性関係はシンプレクティック形式に対応します。また、共役変数はネーターの定理によって関連付けられています。ネーターの定理は、物理法則が共役変数の1つの変化に対して不変である場合、もう1つの共役変数は時間とともに変化しない（つまり、保存される）と述べています。熱力学における共役変数は広く使用されています

例

あるシステムが行っている（または受けている）仕事の種類に応じて、共役変数には多くの種類があります。標準共役変数の例には、以下のものがあります

時間と周波数：音符が長く持続するほど、その周波数はより正確に知ることができますが、持続時間も長くなるため、時間的に分散した出来事、つまり「瞬間」として捉えられます。逆に、非常に短い音符はクリック音となり、時間的に局所的になりますが、その周波数を正確に特定することはできません。^{[ 3 ]}
ドップラー効果と距離：レーダー目標までの距離が長ければ長いほど、接近または後退の正確な速度を知ることは難しくなります。逆もまた同様です。この場合、ドップラー効果と距離の2次元関数は、レーダーアンビギュイティ関数またはレーダーアンビギュイティダイアグラムと呼ばれます。
表面エネルギー：γ d A（γ =表面張力、A = 表面積）。
弾性伸張：F d L（F = 弾性力、L =伸張した長さ）。
エネルギーと時間: 単位は kg⋅m ² /s です。 $\Delta E\times \Delta t$

作用の微分

古典物理学では、作用の微分は微分する量と共役な変数です。量子力学では、これらの同じ変数のペアはハイゼンベルクの不確定性原理によって関連付けられています

あるイベントにおける粒子のエネルギーは、そのイベントで終わるその粒子の軌跡に沿った作用の、イベントの時間に対する微分の負の値です。
粒子の線形運動量は、その位置に対するその作用の微分です。
粒子の角運動量は、粒子の向き（角位置）に対する粒子の作用の微分です。
粒子の質量モーメント（）は、その作用のその急速性に関する微分の負の値である。 $\mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\mathbf {r}$
量子LC回路における電位（φ、電圧）と電荷。^[⁴^]
ある事象における磁気ポテンシャル( A ) は、その事象における(自由)電流の密度に対する電磁場の作用の微分です。
ある事象における電場（E ）は、その事象における電気分極密度に対する電磁場の作用の微分です。
ある事象における磁気誘導（B ）は、その事象における磁化に対する電磁場の作用の微分です。
ある事象におけるニュートンの重力ポテンシャルは、その事象における質量密度に対するニュートンの重力場の作用の微分の負数です。

量子論

量子力学において、共役変数は、演算子が交換しない観測量のペアとして実現されます。従来の用語では、これらは両立しない観測量と呼ばれます。例として、位置と運動量によって与えられる測定量を考えてみましょう。量子力学的な形式では、2つの観測量とが演算子とに対応し、これらは必然的に標準的な交換関係を満たします $\left(x\right)$ $\left(p\right)$ $x$ $p$ ${\widehat {x}}$ ${\widehat {p\,}}$ $[{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}}{\widehat {x}}=i\hbar$

2つの演算子のゼロでない交換子ごとに「不確定性原理」が存在し、現在の例では次の形式で表現できます。 $\Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2$

この曖昧な表記法では、とはとの同時指定における「不確実性」を表します。標準偏差を含むより正確で統計的に完全な記述は、次のようになります。 $\Delta x$ $\Delta p$ $x$ $p$ $\sigma$ $\sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2$

より一般的には、演算子およびに対応する任意の2 つの観測可能値およびに対して、一般化不確定性原理は次のように与えられます。 $A$ $B$ ${\widehat {A}}$ ${\widehat {B}}$ ${\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{\widehat {A}},{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}$

さて、2つの特定の演算子を明示的に定義し、それぞれに特定の数学的形式を割り当て、前述の交換関係を満たすようにしたと仮定します。ここでの演算子の特定の「選択」は、量子力学を根本的に特徴付ける一般的な代数構造の、多くの同値、あるいは同型の表現の一つを反映しているに過ぎないことを覚えておくことが重要です。この一般化は、ハイゼンベルクのリー代数と、それに対応するハイゼンベルク群によって正式に提供されます。 ${\mathfrak {h}}_{3}$ $H_{3}$