接続定数

数学において、結合定数は格子上の自己回避歩行に関連付けられた数値量である。これは、2次元統計物理モデルにおける普遍性の概念と関連して研究されている。^[1]結合定数は格子の選択に依存するため、それ自体は普遍的ではないが（パーコレーションの臨界確率閾値などの他の格子依存量と同様に）、それでもなお、普遍法則に対する予想に現れる重要な量である。さらに、結合定数を理解するために用いられる数学的手法、例えば、六方格子の結合定数が正確に という値を持つことをDuminil-CopinとSmirnovが最近厳密に証明したことは、自己回避歩行の研究における他の重要な未解決問題、特に自己回避歩行がSchramm–Loewner 発展のスケーリング極限で収束するという予想に取り組むための可能なアプローチへの手がかりとなる可能性がある^[2]。 ${\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

意味

連結定数は以下のように定義される。格子内の固定された原点から始まるnステップの自己回避歩行の数を とする。すべてのn  +  mステップの自己回避歩行はnステップの自己回避歩行とmステップの自己回避歩行に分解できるため、 となる。そして、上記の関係の対数にフェケテの補題を適用すると、極限が存在することが示される。この数は連結定数と呼ばれ、 となるため、歩行に選択された特定の格子に明確に依存する。 の値は2つの格子についてのみ正確に知られている（下記参照）。他の格子については、は数値的に近似されているに過ぎない。nが無限大に近づくにつれて、 は格子に依存するが、臨界指数は普遍的（次元に依存するが、特定の格子には依存しない）であると推測される。2次元では^{、 [3] [4]}と推測される。${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle c_{n+m}\leq c_{n}c_{m}}$ ${\displaystyle \mu =\lim _{n\rightarrow \infty }c_{n}^{1/n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c_{n}\approx \mu ^{n}n^{\gamma -1}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma =43/32}$

既知の値

格子	接続定数
六角	${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\simeq 1.85}$
三角	${\displaystyle 4.15079(4)}$
四角	${\displaystyle 2.63815853032790(3)}$
カゴメ	${\displaystyle 2.56062}$
マンハッタン	${\displaystyle 1.733535(3)}$
L格子	${\displaystyle 1.5657(15)}$
${\displaystyle (3.12^{2})}$ 格子	${\displaystyle 1.7110412...}$
${\displaystyle (4.8^{2})}$ 格子	${\displaystyle 1.80883001(6)}$

これらの値は、1998年のJensen-Guttmannの論文^[5]と、より最近のJacobsen、Scullard、Guttmannの論文^[6]から引用されている。格子 の連結定数は、六角形格子上の各ステップがその中の2つまたは3つのステップに対応するため、多項式の最大実根として正確に表すことができる。 ${\displaystyle (3.12^{2})}$

${\displaystyle x^{12}-4x^{8}-8x^{7}-4x^{6}+2x^{4}+8x^{3}+12x^{2}+8x+2}$

六方格子の結合定数の正確な式が与えられています。これらの格子に関する詳細は、パーコレーション閾値の記事をご覧ください。

ドゥミニル・コパン・スミルノフの証明

2010 年、Hugo Duminil-Copin とStanislav Smirnov は、六方格子に対して事実が成り立つことの最初の厳密な証明を発表しました。 ^{[2]これは、1982 年に Nienhuis が、くりこみ技法を用いた O(} n ) モデルのより大規模な研究の一環として予想していました。^[3]この事実の厳密な証明は、複素解析のツールを離散確率モデルに適用するプログラムから得られ、このプログラムでは、とりわけ Ising モデルについて印象的な結果も得られました。^{[7]この議論は、六方格子の離散}コーシー-リーマン方程式の半分を満たすパラフェルミオン観測可能値の存在に依存しています。自己回避歩行の定義を少し変更して、頂点間の中間辺で開始および終了するようにします。H を六方格子のすべての中間辺の集合とします。2つの中間辺と の間の自己回避歩行において、は訪れる頂点の数、 の曲がり具合はをから まで横断するときの 方向のラジアン単位の回転の総量と定義する。証明の目的は、分割関数が ${\displaystyle \mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \ell (\gamma )}$ ${\displaystyle W_{\gamma }(a,b)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle Z(x)=\sum _{\gamma :a\to H}x^{\ell (\gamma )}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}}$

は で収束し、 で発散します。ここで臨界パラメータは で与えられます。これは直ちに を意味します。 ${\displaystyle x<x_{c}}$ ${\displaystyle x>x_{c}}$ ${\displaystyle x_{c}=1/{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$ ${\displaystyle \mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

六方格子の領域、開始中間辺、および2つのパラメータとが与えられたとき、パラフェルミオン観測可能量を定義する。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle F(z)=\sum _{\gamma \subset \Omega :a\to z}e^{-i\sigma W_{\gamma }(a,z)}x^{\ell (\gamma )}.}$

かつならばの任意の頂点に対して、 ${\displaystyle x=x_{c}=1/{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$ ${\displaystyle \sigma =5/8}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle (p-v)F(p)+(q-v)F(q)+(r-v)F(r)=0,}$

から発散する中間辺はどこにあるか。この補題は、パラフェルミオン観測量が発散フリーであることを証明する。回転フリーであることは証明されていないが、これはいくつかの未解決問題を解決するだろう（予想を参照）。この補題の証明は、六方格子の幾何学に大きく依存する巧妙な計算である。 ${\displaystyle p,q,r}$ ${\displaystyle v}$

次に、左側が2Lセル、横がTセル、上下の辺が角度 で囲まれた有限台形領域に注目します。（図が必要）六角形​​格子を複素平面に埋め込み、辺の長さを1とし、左側の中央の辺が-1/2の位置になるようにします。すると、 の頂点は次のように与えられます。 ${\displaystyle S_{T,L}}$ ${\displaystyle \pm \pi /3}$ ${\displaystyle S_{T,L}}$

${\displaystyle V(S_{T,L})=\{z\in V(\mathbb {H} ):0\leq Re(z)\leq {\frac {3T+1}{2}},\;|{\sqrt {3}}Im(z)-Re(z)|\leq 3L\}.}$

ここで、境界の異なる部分から始まり、異なる部分で終わる自己回避歩行の分割関数を定義する。左辺境界、右辺境界、上辺境界、下辺境界を表す。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\bar {\epsilon }}}$

${\displaystyle A_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \alpha \setminus \{a\}}x^{\ell (\gamma )},\quad B_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \beta }x^{\ell (\gamma )},\quad E_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \epsilon \cup {\bar {\epsilon }}}x^{\ell (\gamma )}.}$

恒等式を合計すると

${\displaystyle (p-v)F(p)+(q-v)F(q)+(r-v)F(r)=0}$

のすべての頂点について、そして、パスが境界のどの部分で終わるかによって曲がり具合が固定されることに注意すると、次の関係式が得られる。 ${\displaystyle V(S_{T,L})}$

${\displaystyle 1=\cos(3\pi /8)A_{T,L}^{x_{c}}+B_{T,L}^{x_{c}}+\cos(\pi /4)E_{T,L}^{x_{c}}}$

さらに巧みな計算の後、 とすると、ストリップドメインと分割関数 が得られる。${\displaystyle L\to \infty }$ ${\displaystyle S_{T}}$

${\displaystyle A_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \alpha \setminus \{a\}}x^{\ell (\gamma )},\quad B_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \beta }x^{\ell (\gamma )},\quad E_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \epsilon \cup {\bar {\epsilon }}}x^{\ell (\gamma )}.}$

後に であることが証明されたが、証明にはこれは必要ではない。^[8] 関係式が残る。 ${\displaystyle E_{T,L}^{x_{c}}=0}$

${\displaystyle 1=\cos(3\pi /8)A_{T,L}^{x_{c}}+B_{T,L}^{x_{c}}}$ 。

ここから不等式を導くことができる

${\displaystyle A_{T+1}^{x_{c}}-A_{T}^{x_{c}}\leq x_{c}(B_{T+1}^{x_{c}})^{2}}$

そして、帰納法により、 の厳密に正の下限値に到達します。 なので、 であることが証明されています。 ${\displaystyle B_{T}^{x_{c}}}$ ${\displaystyle Z(x_{c})\geq \sum _{T>0}B_{T}^{x_{c}}=\infty }$ ${\displaystyle \mu \geq {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

逆不等式については、ハニカム格子上の任意の自己回避歩行に対して、ハマースリーとウェルシュによる幅との橋への歩行の標準分解を実行する。 ${\displaystyle T_{-I}<\cdots <T_{-1}}$ ${\displaystyle T_{0}>\cdots >T_{j}}$

${\displaystyle B_{T}^{x}\leq (x/x_{c})^{T}B_{T}^{x_{c}}\leq (x/x_{c})^{T}}$

これは を意味する。最終的に、ブリッジ分割関数によって分割関数を制限できる。 ${\displaystyle \prod _{T>0}(1+B_{T}^{x})<\infty }$

${\displaystyle Z(x)\leq \sum _{T_{-I}<\cdots <T_{-1},\;T_{0}>\cdots >T_{j}}2\left(\prod _{k=-I}^{j}B_{T_{k}}^{x}\right)=2\left(\prod _{T>0}(1+B_{T}^{x})\right)^{2}<\infty .}$

そして、私たちは望んだとおりにそれを手に入れました。 ${\displaystyle \mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=2\cos {\frac {\pi }{8}}}$

推測

ニーンハウスは、フローリーの予測を支持して、自己回避ランダムウォークの平均二乗変位は、のスケーリング関係 を満たすと 主張した。^[2] スケーリング指数と普遍定数は、自己回避歩行が、 のシュラム・レーヴナー発展であると推測される共形不変スケーリング極限を持つ場合に計算できる。^[9]${\displaystyle \langle |\gamma (n)|^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \langle |\gamma (n)|^{2}\rangle ={\frac {1}{c_{n}}}\sum _{n\;\mathrm {step\;SAW} }|\gamma (n)|^{2}=n^{2\nu +o(1)}}$ ${\displaystyle \nu =3/4}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle 11/32}$ ${\displaystyle \kappa =8/3}$

参照

• 浸透閾値

参考文献

1. マドラス、N.; スレイド、G. (1996). 『自己回避歩行』 ビルクハウザー. ISBN  978-0-8176-3891-7。
2. Duminil-Copin, Hugo; Smirnov, Stanislav (2010). 「ハニカム格子の結合定数は」。arXiv : 1007.0575 [ math-ph]. ${\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=2\cos {\frac {\pi }{8}}}$
3. 2次元O( n )模型の正確な臨界点と臨界指数」. Physical Review Letters . 49 (15): 1062– 1065. Bibcode :1982PhRvL..49.1062N. doi :10.1103/PhysRevLett.49.1062.
4. B. Nienhuis (1984). 「2次元スピンモデルの臨界挙動とクーロンガスにおける電荷非対称性」. J. Stat. Phys . 34 ( 5–6 ): 731– 761. Bibcode :1984JSP....34..731N. doi :10.1007/BF01009437.
5. Jensen, I.; Guttmann, AJ (1998). 「半正則格子上の自己回避ウォーク、近傍回避ウォーク、トレイル」(PDF) . Journal of Physics A. 31 ( 40): 8137–45 . Bibcode :1998JPhA...31.8137J. doi :10.1088/0305-4470/31/40/008.
6. Jesper Lykke Jacobsen、Christian R Scullard、Anthony J Guttmann、2016 J. Phys. A: 数学です。理論。 49 494004
7. Smirnov, Stanislav (2010). 「離散複素解析と確率」.国際数学者会議論文集 (インド、ハイデラバード) 2010. pp.  565– 621. arXiv : 1009.6077 . Bibcode :2010arXiv1009.6077S.
8. Smirnov, Stanislav (2014). 「ハニカム格子におけるSAWの表面吸着の臨界フガシティは」. Communications in Mathematical Physics . 326 (3): 727– 754. arXiv : 1109.0358 . Bibcode :2014CMaPh.326..727B. doi :10.1007/s00220-014-1896-1. S2CID  54799238. ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$
9. Lawler, Gregory F.; Schramm, Oded; Werner, Wendelin (2004). 「平面自己回避歩行のスケーリング限界について」. Lapidus, Michel L.; van Frankenhuijsen, Machiel (編). 『フラクタル幾何学とその応用：ブノワ・マンデルブロ記念第2部：マルチフラクタル、確率・統計力学、応用』 . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 72. pp.  339– 364. arXiv : math/0204277 . Bibcode :2002math......4277L. doi :10.1090/pspum/072.2/2112127. ISBN  9780821836385. MR  2112127. S2CID  16710180.

外部リンク

• ワイススタイン、エリック・W.「自己回避ウォーク連結定数」。MathWorld。