実数の構成

数学において、実数を定義する方法は複数存在します。その一つは、実数がそれより小さい完全順序体を含まない完全順序体を形成するというものです。このような定義は、そのような完全順序体が存在することを証明するものではなく、存在証明は定義を満たす数学的構造を構築することから始まります。

本稿では、そのような構成をいくつか紹介する。^{[ 1 ]}これらは、任意の2つの構成の結果が与えられたとき、それらの間には順序体の同型性が一意に存在するという意味で同値である。これは上記の定義から導かれるものであり、特定の構成とは無関係である。これらの同型性により、構成の結果を識別することが可能になり、実際にはどの構成が選択されたかを忘れてしまうことさえある。

公理的な定義

実数の公理的定義は、実数を完全な順序体の元として定義することです。[ 2 ^{] [ 3}^{] [ 4}^]これは次のことを意味します。実数は、一般的にと表記される集合を形成し、0 と 1 で示される 2 つの区別される元を含み、2 つの二項演算と 1 つの二項関係が定義されます。これらの演算は、実数の加算と乗算と呼ばれ、それぞれ $+$ と $\times$ で示されます。二項関係は不等式で、と示されます。さらに、公理と呼ばれる次の特性を満たす必要があります。 $\mathbb {R}$ $\leq .$

このような構造の存在は定理であり、そのような構造を構築することによって証明される。公理の帰結として、この構造は同型性を除いて一意であり、したがって、構築方法を参照することなく実数を使用および操作することができる。

公理

$\mathbb {R}$ は加法と乗法の対象となる体である。言い換えれば、
- におけるすべてのx、y、zについて、x + ( y + z ) = ( x + y ) + zかつx × ( y × z ) = ( x × y ) × z が成り立ちます。(加法と乗法の結合法則) $\mathbb {R}$
- におけるすべてのxとyについて、x + y = y + xかつx × y = y × xです。（加法と乗法の可換性） $\mathbb {R}$
- におけるすべてのx、y、zについて、x × ( y + z ) = ( x × y ) + ( x × z ) が成り立ちます。(乗算と加算の分配法則) $\mathbb {R}$
- のすべてのxについて、x + 0 = x 。（加法単位元の存在） $\mathbb {R}$
- 0は1と等しくなく、内のすべてのxに対して、x × 1 = xです。（乗法単位元の存在） $\mathbb {R}$
- における任意のxに対して、 x + (− x ) = 0となるような元 − xが存在する。(加法逆元の存在) $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
- における任意のx ≠ 0に対して、にはx × x ⁻¹ = 1となる元x ⁻¹が存在する。（乗法逆元の存在） $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
$\mathbb {R}$ は完全に順序付けられています。言い換えれば、 $\leq$
- のすべてのxについて、x ≤ x。（反射性） $\mathbb {R}$
- のすべてのxとyについて、x ≤ yかつy ≤ xであれば、x = yです。（反対称性） $\mathbb {R}$
- におけるすべてのx、y、zについて、x ≤ yかつy ≤ zならば、x ≤ zです。（推移性） $\mathbb {R}$
- におけるすべてのxとyについて、x ≤ yまたはy ≤ x。（全体性） $\mathbb {R}$
加算と乗算は順序と互換性があります。言い換えれば、
- におけるすべてのx、y、zについて、x ≤ yならばx + z ≤ y + zが成り立ちます。（加法における順序の保存） $\mathbb {R}$
- におけるすべてのxとyについて、0 ≤ xかつ 0 ≤ yならば、0 ≤ x × yである（乗算における順序の保存） $\mathbb {R}$
順序 ≤ は次の意味で完全である：の上側で有界なの空でない部分集合はすべて最小の上界を持つ。言い換えれば、 $\mathbb {R}$
- A がの空でない部分集合であり、A がに上限を持つ場合、Aには最小の上限u があり、Aのすべての上限vに対してu ≤ vが成り立ちます。 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ,$

最小上限特性について

順序がデデキント完全であることを要求する公理 4 は、アルキメデスの性質を意味します(ただし、逆は成り立ちません)。

この公理は実数の特性記述において極めて重要です。例えば、有理数Qの全順序体（全順序体）は最初の3つの公理を満たしますが、4番目の公理は満たしません。言い換えれば、有理数のモデルは最初の3つの公理のモデルでもあるのです。

この公理は、実数全体の集合に関する命題を表現しており、個々の実数についてのみ命題を述べているわけではないため、一階述語論理理論では与えられないことに注意してください。

モデルについて

実数のモデルとは、上記の公理を満たす数学的構造である。以下にいくつかのモデルを示す。任意の2つのモデルは同型であるため、実数は同型を除いて一意である。

任意の2つのモデルが同型であるということは、任意の2つのモデルとに対して、体の演算と順序の両方を保存する一対一の関係が存在することを意味します。具体的には、 $(\mathbb {R} ,0_{\mathbb {R} },1_{\mathbb {R} },+_{\mathbb {R} },\times _{\mathbb {R} },\leq _{\mathbb {R} })$ $(S,0_{S},1_{S},+_{S},\times _{S},\leq _{S}),$ $f\colon \mathbb {R} \to S$

$f$ は単射かつ射影的です。
$f (0 ℝ) = 0 S$ かつ $f (1 ℝ) = 1 S$ 。
$f (x + ℝ y) = f (x) + S f (y)$ かつ $f (x \times ℝ y) = f (x) \times S f (y)$ 、すべての $x$ と $y$ について $\mathbb {R} .$
$x \leq ℝ y は$ $f$ $($ $x$ $) \leq$ $S$ $f$ $($ $y$ $)$ のときのみ成り立ち、任意のx $と$ y $に対して$ $\mathbb {R} .$

タルスキの実数の公理化

実数とその算術の代替的な総合的な公理化は、アルフレッド・タルスキによって与えられました。これは、以下に示す 8 つの公理と、わずか 4 つの基本概念、つまり、と表記される実数と呼ばれる集合、と呼ばれる上の二項関係 (中置演算子<で表記)、と呼ばれる上の二項演算(中置演算子 + で表記)、および定数 1 のみで構成されます。 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

順序の公理（プリミティブ：、<）： $\mathbb {R}$

公理1 . x < yならばy < xではない。つまり、「<」は非対称関係である。

公理2 . x < zならば、 x < yかつy < zとなるようなy が存在する。言い換えれば、「<」はにおいて稠密である。 $\mathbb {R}$

公理 3。"<" はデデキント完全である。より正式には、すべてのX , Y ⊆ に対して、すべてのx ∈ Xおよびy ∈ Yに対してx < yならば、すべてのx ∈ Xおよびy ∈ Yに対して、z ≠ xおよびz ≠ yに対してx < zおよびz < yとなるようなzが存在する。 $\mathbb {R}$

上記の記述をある程度明確にするために、X ⊆ とY ⊆ とします。ここで、2つの一般的な英語の動詞を、目的に合わせて特別な方法で定義します。 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

すべてのx ∈ Xおよびすべてのy ∈ Yに対してx < yである場合に限り、X は Y に先行します。

実数z がXとYを分離する場合、x ≠ zであるすべてのx ∈ Xと、y ≠ zであるすべてのy ∈ Yに対して、x < zかつz < y が成り立ちます。

公理3は次のように述べられます。

「ある実数集合が別の実数集合に先行する場合、2 つの集合を分ける実数が少なくとも 1 つ存在します。」

加法の公理（プリミティブ：、<、+）： $\mathbb {R}$

公理４．x + ( y + z ) = ( x + z ) + y。

公理5.すべてのx、yに対して、 x + z = yとなるzが存在する。

公理6. x + y < z + wならばx < zまたはy < w である。

1 に対する公理(プリミティブ: 、<、+、1): $\mathbb {R}$

公理7 . 1 ∈ . $\mathbb {R}$

公理8.1 < 1 + 1。

これらの公理は、が、区別された元 1 を持つ加法の下で線型順序付きアーベル群であることを意味します。は、デデキント完全かつ割り切れるでもあります。 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

モデルの明示的な構築

公理のモデルが同型であることを証明することはしません。そのような証明は、現代の解析学や集合論の教科書に数多く記載されています。しかしながら、数学的にも歴史的にも重要ないくつかの構成について、その基本的な定義と性質を概説します。最初の3つは、ゲオルク・カントール/シャルル・メレー、リヒャルト・デデキント/ヨーゼフ・ベルトラン、そしてカール・ヴァイエルシュトラスによるもので、いずれも数年以内に生まれました。それぞれに長所と短所があります。

コーシー列からの構成

Rを有理数のコーシー列の集合とする。つまり、列

(x 1 、 x 2 、 x 3 、...)

有理数の任意の有理数 $ε > 0$ に対して、任意の自然数 $m$ $,$ $n$ $>$ $N$ $に対して|$ $x$ $m$ $-$ $x$ $n$ $| <$ $ε$ を満たす整数 $N$ が存在する。ここで縦棒は絶対値を表す。

コーシー列 $(x n)$ と $(y n)$ は次のように加算および乗算できます。

(x n) + (y n) = (x n + y n)

(x n) \times (y n) = (x n \times y n)

。

2 つのコーシー列 $(x n)$ と $(y n)$ は、それらの差が 0 に近づく場合にのみ同値であると呼ばれます。つまり、すべての有理数 $ε > 0に対して、すべての自然数$ $n$ $>$ $N$ $に対して|$ $x$ $n$ $-$ $y$ $n$ $| <$ $ε$ となるような整数 $N$ が存在します。

これは、上で定義した演算と互換性のある同値関係を定義し、すべての同値類の集合Rが実数のすべての公理を満たすことを示すことができます。有理数 $r$ をコーシー数列 $($ $r$ $,$ $r$ $,$ $r$ $, ...)$ の同値類と同一視することにより、のサブセットと見なすことができます。 $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$

実数間の比較は、コーシー列間の次の比較を定義することによって得られます: $(x n) \geq (y n)$ の場合のみ、 $x は$ $y$ と等しいか、またはすべての $n$ $>$ $Nに対して$ $x$ $n$ $\geq$ $y$ $n$ となる整数 $N$ が存在します。

構成上、すべての実数 $x$ は有理数のコーシー列で表される。この表現は一意ではない。x に収束するすべての有理数列は、 $x$ $を$ 表すコーシー列である。これは、同じ実数を近似するために異なる列が用いられることが多いという観察を反映している。^{[ 5 ]}

定義から容易に導かれない唯一の実数公理は、 $\leq$ の完全性、すなわち最小の上限特性である。これは次のように証明できる。S $を$ の空でない部分集合とし、 $U を$ $S$ の上限とする。必要であればより大きな値を代入することで、 $U$ は有理数であると仮定できる。S $は空ではないので、$ $S$ 内のいくつかの $s$ に対して $L$ $<$ $s$ となるような有理数 $L を$ 選択できる。ここで、有理数列 $($ $u$ $n$ $)$ と $($ $l$ $n$ $)$ を次のように定義する。 $\mathbb {R} '$

$u 0 = U$ 、 $l 0 = L$ とする。各 $nについて、$ $m n = (u n + l n)/2 と$ する。 $m n が$ $S$ の上限であれば、 $u n +1 = m n$ 、 $l n +1 = l n$ $とする。そうでない場合は、 l n +1 = m n$ 、 $u n +1 = u n$ とする。

これは2つの有理数列を定義し、したがって実数 $l = (l n)$ および $u = (u n)となる。n に関する帰納法によって、$ $u$ $n は$ 任意の n に対して $S$ $の$ 上限となり、 l $n$ $は$ 任意の $nに対して$ $S$ の上限となることは決してない $こと$ は容易に証明できる。

したがって $uは$ $S$ の上限です。これが最小の上限であることを確認するには、 $(u n - l n)の極限が$ $0$ であり、したがって $l = u で$ あることに注目してください。ここで、 $b < u = lが$ $S$ のより小さな上限であると仮定します。 $(l n)$ は単調増加なので、ある $nに対して$ $b$ $<$ $l$ $n$ となることは容易にわかります。しかし、 $l$ $n は$ $S$ の上限ではなく、したがって $b$ も同様です。したがって、 $uは$ $S$ の最小の上限であり、 $\leq$ は完全です。

通常の10進表記は、自然な方法でコーシー列に変換できます。例えば、 $π = 3.1415...$ という表記は、 $πがコーシー列$ $(3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...)$ の同値類であることを意味します $。0.999... = 1$ という式は、列 $(0, 0.9, 0.99, 0.999, ...)$ と $(1, 1, 1, 1, ...)$ が同値である、つまりそれらの差が $0$ に収束することを示します。

をの完備化として構築する利点は、この手法を任意の計量空間の完備化に使用できることです。これは、 ⁠ ⁠ を⁠ ⁠に置き換えるだけで実現できます。ここで⁠ ⁠ は計量空間の距離を表します。特に、 $p$ 進数の体は、他の絶対値に関する有理数の完備化、すなわち $p$ 進絶対値として定義できます。 $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $|x-y|$ $d(x,y)$ $d$

デデキントカットによる建設

順序体におけるデデキント切断とは、順序体の分割( A , B ) において、Aは空でなく下向きに閉じており、Bは空でなく上向きに閉じており、Aには最大元が存在しないようなものである。実数は有理数のデデキント切断として構成できる。^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

便宜上、下側の集合を任意のデデキント切断の代表としてとることができる。なぜならはを完全に決定するからである。こうすることで、実数はより小さい有理数全体の集合で表されると直感的に考えることができる。より詳しく言うと、実数とは、以下の条件を満たす有理数集合の部分集合である。 ^[⁸^] $A\,$ $(A,B)\,$ $A$ $B$ $r$ ${\textbf {Q}}$

$r$ 空ではありません
$r\neq {\textbf {Q}}$
$r$ は下向きに閉じている。言い換えれば、となるすべてのに対して、 $x,y\in {\textbf {Q}}$ $x<y$ $y\in r$ $x\in r$
$r$ には最大元は含まれない。言い換えれば、すべてのに対して、となるようなものは存在しない。 $x\in r$ $y\in r$ $y\leq x$

実数の集合をのすべてのデデキント切断の集合として形成し、実数上の全順序付けを次のように定義します。 ${\textbf {R}}$ $A$ ${\textbf {Q}}$ $x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y$
有理数を実数に埋め込むには、有理数をそれより小さな有理数全体の集合と同一視します。[ 8 ]^有理数^は^稠密なので、そのような集合は最大元を持たず、上記の実数となる条件を満たします。 $q$ $\{x\in {\textbf {Q}}:x<q\}$
追加^[⁸^] $A+B:=\{a+b:a\in A\land b\in B\}$
減算。ここではの相対補数を表し、 $A-B:=\{a-b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}$ ${\textbf {Q}}\setminus B$ $B$ ${\textbf {Q}}$ $\{x:x\in {\textbf {Q}}\land x\notin B\}$
否定は減算の特殊なケースです。 $-B:=\{a-b:a<0\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}$
乗算の定義はそれほど単純ではありません。^{[ 8 ]}
- もしそうなら $A,B\geq 0$ $A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}$
- またはのいずれかが負の場合、恒等式を使用してand/or を正の数に変換し、上記の定義を適用します。 $A\,$ $B\,$ $A\times B=-(A\times -B)=-(-A\times B)=(-A\times -B)\,$ $A\,$ $B\,$
除算も同様の方法で定義します。
- もしそうなら $A\geq 0{\mbox{ and }}B>0$ $A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}$
- またはのいずれかが負の場合、恒等式を使用して負でない数および/または正の数に変換してから、上記の定義を適用します。 $A\,$ $B\,$ $A/B=-(A/{-B})=-(-A/B)=-A/{-B}\,$ $A\,$ $B\,$
実数の空でない集合がにおいて任意の上限を持つ場合、においてに等しい最小の上限を持つ。^[⁸^] $S$ ${\textbf {R}}$ ${\textbf {R}}$ $\bigcup S$

無理数を表すデデキント切断の例として、2 の正の平方根を挙げることができます。これは、集合によって定義できます。^[⁹^]上の定義から、は実数で、であることがわかります。しかし、どちらの主張も即断即決ではありません。が実数であることを示すには、に最大元がないことを示す必要があります。つまり、の任意の正の有理数に対して、かつの有理数が存在するということです。この選択は有効です。次に、がであることを示すには、の任意の有理数である場合に、の正のが存在することを示す必要があります。 $A=\{x\in {\textbf {Q}}:x<0\lor x\times x<2\}$ $A$ $A\times A=2\,$ $A\,$ $A$ $x\,$ $x\times x<2\,$ $y\,$ $x<y\,$ $y\times y<2\,.$ $y={\frac {2x+2}{x+2}}\,$ $A\times A\leq 2$ $r\,$ $r<2\,$ $x\,$ $A$ $r<x\times x\,$

この構成の利点は、各実数が一意のカットに対応することです。さらに、カットの定義における最初の2つの要件を緩和することで、空集合とのすべてとを関連付けることで、拡張実数系を得ることができます。 $-\infty$ $\infty$ ${\textbf {Q}}$

超実数を用いた構築

超実数の場合と同様に、有理数から超有理数は超フィルタを用いて構築される。^[¹⁰^] ここで、超有理数は定義により 2 つの超整数の比である。内のすべての有限（すなわち有限）元の環を考える。すると、は唯一の最大イデアル、すなわち無限小超有理数を持つ。商環は実数体を与える。 ^[¹¹^]この構築では、自然数の集合上の非主超フィルタが使用され、その存在は選択公理によって保証されている。 $^{*}\mathbb {Q}$ $B$ $^{*}\mathbb {Q}$ $B$ $I$ $B/I$ $\mathbb {R}$

極大イデアルは上の順序を遵守することが判明した。したがって、結果として得られる体は順序付き体である。完全性は、コーシー列からの構成と同様の方法で証明できる。 $^{*}\mathbb {Q}$

超実数からの構築

あらゆる順序体は超実数に埋め込むことができます。実数はアルキメデス的（つまり、無限に大きい実数も無限に小さい実数もない）な最大部分体を形成します。この埋め込みは一意ではありませんが、標準的な方法で選択できます。

整数からの構築 (Eudoxus 実数)

あまり知られていない構成では、異なるバージョンを持つ整数の加法群のみを使用して実数を定義することができます。 ^[¹²^]^[¹³^]^[¹⁴^] Arthan (2004)は、この構成をStephen Schanuelの未発表の研究に起因するものとし、古代ギリシャの天文学者で数学者の Cnidus の EudoxusにちなんでEudoxus 実数と呼んでいます。Shenitzer (1987)とArthan (2004)が指摘したように、比例の振る舞いを使用した Eudoxus の量の処理がこの構成の基礎となりました。この構成は、IsarMathLib プロジェクトによってデデキント完全な順序付き体を与えることが正式に検証されています。 ^[¹⁵^] $\mathbb {Z}$

概準同型を、集合が有限である（同値で、が有界である）ような写像とします。（は任意のに対して概準同型であることに注意）。概準同型は、点ごとの加法の下でアーベル群を形成します。集合が有限である（同値で、が有界である）場合、2 つの概準同型はほぼ等しいと言えます。これは、概準同型の集合上の同値関係を定義します。実数は、この関係の同値類として定義されます。あるいは、有限個だけの値を取る概準同型は部分群を形成し、実数の基礎となる加法群は商群です。このように定義された実数を加算するには、それらを表す概準同型を加算します。実数の乗算は、概準同型の関数合成に対応します。が概準同型によって表される実数を表す場合、が有界であるか、で無限個の正の値を取る（同値で、に上限がない場合）と言えます。これは、このようにして構築された実数の集合上の線形順序関係を定義します。 $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ $\{f(n+m)-f(m)-f(n):n,m\in \mathbb {Z} \}$ $f(n+m)-f(m)-f(n)$ $f(n)=\lfloor \alpha n\rfloor$ $\alpha \in \mathbb {R}$ $f,g$ $\{f(n)-g(n):n\in \mathbb {Z} \}$ $f(n)-g(n)$ $[f]$ $f$ $0\leq [f]$ $f$ $f$ $\mathbb {Z} ^{+}$ $0<[f]$ $f$