争点となった衣服規則
Jewish bankruptcy guidance
各請求者は、相手が請求していない割合を受け取り、残りは均等に分割されます。

争訟財産分割（CGルール）[1]は、譲歩と分割[2]とも呼ばれ、相反する請求（「破産問題」とも呼ばれる）を解決するための分割ルールです。このルールの考え方は、一方の請求者の請求額が分割対象となる財産の100%に満たない場合、実質的には未請求財産を他方の請求者に譲歩させるというものです。したがって、まず各請求者に、他方の請求者が譲歩した金額を分配します。そして、残りの金額を両請求者で均等に分割します。

CGルールは、ミシュナーにおいて衣服をめぐる争いの事例として初めて登場し、その名が付けられました。ミシュナーでは、このルールは2人の問題についてのみ記述されていました。しかし1985年、ロバート・オーマンとマイケル・マシュラーは、あらゆる破産問題において、それぞれの請求者ペアに対してCGルールと整合する唯一の区分が存在することを証明しました。 [1]彼らは、この唯一の区分を選択するルールをCG整合ルール（タルムードルールとも呼ばれます）と呼んでいます。 [2]

問題の説明

（＝財産または基金）で表される、分割可能な資源があります。この資源またはその一部を請求するn人がいます。彼らは請求者と呼ばれます。各請求者iが請求する金額は で表されます。請求総額は で表されます。つまり、財産はすべての請求を満たすのに不十分です。目標は、各請求者に となる金額を割り当てることです。 E {\displaystyle E} c i {\displaystyle c_{i}} c N := ∑ i = 1 n c i = {\displaystyle c_{N}:=\sum _{i=1}^{n}c_{i}=} c N > E {\displaystyle c_{N}>E} x i {\displaystyle x_{i}} ∑ i = 1 n x i = E {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=E}

2人の原告

請求者が 2 人の場合、CG ルールは次のように機能します。

  • 各請求権を切り捨てます（1人が全財産を超える金額を請求することはできないため）。つまり、各請求者iについて を設定します。 c i ′ := min ( c i , E ) {\displaystyle c_{i}':=\min(c_{i},E)}
  • 請求者 1 に、請求者 2 が請求していない金額を割り当てます。 E − c 2 ′ {\displaystyle E-c_{2}'}
  • 請求者 1 が請求しなかった金額を請求者 2 に割り当てます。 E − c 1 ′ {\displaystyle E-c_{1}'}
  • 残りは請求者間で均等に分割されます。 E − ( E − c 2 ′ ) − ( E − c 1 ′ ) = c 1 ′ + c 2 ′ − E {\displaystyle E-(E-c_{2}')-(E-c_{1}')=c_{1}'+c_{2}'-E}

各請求者に与えられた金額を合計すると、次の式を書くことができます。

C G ( c 1 , c 2 ; E ) = ( E + c 1 ′ − c 2 ′ 2   ,   E + c 2 ′ − c 1 ′ 2 ) {\displaystyle CG(c_{1},c_{2};E)=\left({\frac {E+c_{1}'-c_{2}'}{2}}~,~{\frac {E+c_{2}'-c_{1}'}{2}}\right)}

例えば：

  • かつの場合、両方の請求者が 1/2、つまり を取得します。 E = 1 {\displaystyle E=1} c 1 = c 2 = 1 {\displaystyle c_{1}=c_{2}=1} C G ( 1 , 1 ; 1 ) = ( 1 / 2 , 1 / 2 ) {\displaystyle CG(1,1;1)=(1/2,1/2)}
  • およびおよびの場合、請求者 1 は 3/4 を取得し、請求者 2 は 1/4 を取得します。つまり、 です。 E = 1 {\displaystyle E=1} c 1 = 1 {\displaystyle c_{1}=1} c 2 = 1 / 2 {\displaystyle c_{2}=1/2} C G ( 1 , 1 / 2 ; 1 ) = ( 3 / 4 , 1 / 4 ) {\displaystyle CG(1,1/2;1)=(3/4,1/4)}

これらの2つの例は、バヴァ・メツィア の最初のミシュナで初めて言及されています。[3]

「二人は衣服を持っています。一人は「見つけたよ」と言い、もう一人は「見つけたよ」と言います。」

  • 一方が「それは全部私のものだ」と言い、もう一方が「それは全部私のものだ」と言う場合、一方は少なくとも半分の所有権があると宣誓し、もう一方も少なくとも半分の所有権があると宣誓し、二人でそれを分割するものとする。
  • 一方が「全部は私のものだ」と言い、もう一方が「半分は私のものだ」と言った場合、「全部は私のものだ」と言った方は、その4分の3以上を所有していることを宣誓しなければならない。そして、「半分は私のものだ」と言った方は、その4分の1以上を所有していることを宣誓しなければならない。前者は4分の3を取り、後者は4分の1を取る。」

多くの請求者

CGルールを3人以上の請求者がいる問題に拡張するために、公平な分割のすべての部分が公平であるべきであるという一貫性（一貫性とも呼ばれる）の一般原則を適用する。[4]特に、各請求者ペアについてCGルールを遵守する配分を求める。つまり、すべての請求者iとjについて、以下の式が成り立つ。

( x i , x j ) = C G ( c i , c j ; x i + x j ) {\displaystyle (x_{i},x_{j})=CG(c_{i},c_{j};x_{i}+x_{j})} 。

事前には、そのような割り当てが常に存在するか、あるいは一意であるかどうかは明らかではありません。しかし、CG整合的な割り当てが常に一意に存在することは証明できます。[1]これは次のアルゴリズムで記述できます。

  • （つまり、総財産が総請求額の半分未満である）場合は、請求額の半分に制約付き均等分配のルールを適用し、 を返します。 E ≤ c N / 2 {\displaystyle E\leq c_{N}/2} C E A ( c 1 / 2 , … , c n / 2 ; E ) {\displaystyle CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)}
  • の場合、各請求者に請求額の半分を与え、残りに対して制約均等損失のルールを適用して、 を返します。 E ≥ c N / 2 {\displaystyle E\geq c_{N}/2} ( c 1 / 2 , … , c n / 2 ) + C E L ( c 1 / 2 , … , c n / 2 ; E − c N / 2 ) {\displaystyle (c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2)+CEL(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-c_{N}/2)}

請求者が2人の場合、請求額が遺産総額以下に切り捨てられると、条件は常に成立することに注意してください。例えば、 E ≥ c N / 2 {\displaystyle E\geq c_{N}/2}

  • C G ( 1 , 1 / 2 ; 1 ) = ( 1 / 2 , 1 / 4 ) + C E L ( 1 / 2 , 1 / 4 ; 1 / 4 ) = ( 1 / 2 , 1 / 4 ) + ( 1 / 4 , 0 ) = ( 3 / 4 , 1 / 4 ) {\displaystyle CG(1,1/2;1)=(1/2,1/4)+CEL(1/2,1/4;1/4)=(1/2,1/4)+(1/4,0)=(3/4,1/4)} 。

以下に 3 人の請求者の例を示します。

  • C G ( 100 , 200 , 300 ; 100 ) = ( 33.333 , 33.333 , 33.333 ) {\displaystyle CG(100,200,300;100)=(33.333,33.333,33.333)} ; ここでは CEA が使用されます。
  • C G ( 100 , 200 , 300 ; 200 ) = ( 50 , 75 , 75 ) {\displaystyle CG(100,200,300;200)=(50,75,75)} ; ここでは CEA が使用されます。
  • C G ( 100 , 200 , 300 ; 300 ) = ( 50 , 100 , 150 ) {\displaystyle CG(100,200,300;300)=(50,100,150)} ; ここでは CEA または CEL のどちらも使用できます (結果は同じ)。請求額の合計が遺産のちょうど半分である場合、各請求者は請求額のちょうど半分を受け取ります。
  • C G ( 100 , 200 , 300 ; 400 ) = ( 50 , 125 , 225 ) {\displaystyle CG(100,200,300;400)=(50,125,225)} ; ここでは CEL が使用されます。
  • C G ( 100 , 200 , 300 ; 500 ) = ( 66.667 , 166.667 , 266.667 ) {\displaystyle CG(100,200,300;500)=(66.667,166.667,266.667)} ; ここでは CEL が使用されます。
  • C G ( 100 , 200 , 300 ; 600 ) = ( 100 , 200 , 300 ) {\displaystyle CG(100,200,300;600)=(100,200,300)} ; ここでは CEL が使用されます。

最初の3つの例は別のミシュナ、ケトゥボットに出てきます。[5]

「3 人の女性と結婚していた男性が亡くなったとします。1 人の妻との結婚契約は 100 ディナール、2 番目の妻との結婚契約は 200 ディナール、3 番目の妻との結婚契約は 300 ディナールで、3 つの契約はすべて同じ日に発行されたため、どの妻も他のどの妻よりも優先されません。

  • 遺産の合計額が 100 ディナールに過ぎない場合、妻たちは遺産を均等に分割します。
  • 財産に 200 ディナールがあった場合、最初の妻は 50 ディナールを受け取り、他の 2 人の妻はそれぞれ 3 ディナールの金を受け取ります。これは銀貨 75 ディナールに相当します。
  • 財産が 300 ディナールだった場合、最初の妻は 50 ディナール、2 番目の妻は 100 ディナール、3 番目の妻は 150 ディナールの銀貨に相当する 6 ディナールの金を受け取ります。」

建設的な説明

CG ルールは建設的な方法で説明できます。E が 0 から請求額の半分まで増加すると仮定します。最初のユニットは、各請求者が を受け取るまで均等に分割されます。次に、最も小さい の請求者は保留され、次のユニットは、各請求者が次に小さい を受け取るまで残りの請求者間で均等に分割されます。次に、2 番目に小さい の請求者も保留されます。これは、財産が完全に分割されるか、各請求者がちょうど を受け取るまで続きます。財産が残っている場合、損失は対称的に分割され、すべての請求額に等しい財産から始まり、この合計の半分まで減少します。 min i ( c i / 2 ) {\displaystyle \min _{i}(c_{i}/2)} c i {\displaystyle c_{i}} c i {\displaystyle c_{i}} c i {\displaystyle c_{i}} c i / 2 {\displaystyle c_{i}/2}

明示的な式

エリシャコフとダンシーギア[6]は、n人の請求者に対するCGルールの明確な公式を提示している。

プロパティ

CGは無関係な請求権からの独立性を満たしている。これは、請求権を総資産額以上に増加させても、配分は変化しないことを意味する。正式には：[ 7] C G ( c , E ) = C G ( min ( c , E ) , E ) {\displaystyle CG(c,E)=CG(\min(c,E),E)}

CGは自己双対である。これは、利益と損失を対称的に扱うことを意味する。つまり、利益は損失と同じように分配される。正式には、, [1] [7]であり、 Cはすべての請求の合計である。 C G ( c , E ) = c − C G ( c , C − E ) {\displaystyle CG(c,E)=c-CG(c,C-E)}

CG は同等の者同士の平等な扱いを満たします。つまり、同じ請求権を持つエージェントはまったく同じ割り当てを受けます。

CGは分離可能性を満たす： = を他のすべての代理人がiに譲歩した金額と定義する。すると、CGは次のように2つの段階に分けられる。まず、各代理人iはv iを取得する。次に、残りの請求権と残りの財産に対して同じルールが適用される。 v i = max ( 0 , E − ∑ j c j ) {\displaystyle v_{i}=\max(0,E-\sum _{j}c_{j})}

  • 分離可能性は無関係な主張の独立性の双対であることに注意されたい。[8]

CGは担保条件を満たす。これは、実行可能な請求権（c i ≤ E）を持つ各エージェントは、請求権の少なくとも1/ nが保証されることを意味する。（この性質は比例性に類似している。）実際、CGはより強い性質を満たす。[9] C G ( c , E ) i ≥ min ( c i , E ) / n {\displaystyle CG(c,E)_{i}\geq \min(c_{i},E)/n} C G ( c , E ) i ≥ min ( c i / 2 , E / n ) {\displaystyle CG(c,E)_{i}\geq \min(c_{i}/2,E/n)}

CGは担保に関する二重の性質も満たしている。つまり、最大で総損失C- Eを請求する各エージェントiの損失は、少なくともその請求額の 1/ nである。[9] c i − C G ( c , E ) i ≥ min ( c i , C − E ) / n {\displaystyle c_{i}-CG(c,E)_{i}\geq \min(c_{i},C-E)/n}

特徴づけ

Nir Dagan [7]はCGの2つの特徴を証明した。

  • 主張者が 2 人の場合、CG は自己双対性と無関係な主張からの独立性の両方を満たす唯一のルールです。
  • 2 人の請求者にとって、CG は自己双対性と分離可能性の両方を満たす唯一のルールです。
  • 請求者が 2 人の場合、CG は、無関係な請求の独立性、同等者の平等な扱い、および分離可能性を満たす唯一のルールです。

モレノ・テルネロとビラール[9]は、CGが以下のそれぞれの組み合わせによって特徴付けられることを証明した。

  • CG は自己二重性、安全性、一貫性を満たす独自のルールです。
  • CG は、安全性、二重安全性、一貫性を満たす独自のルールです。

これらは、次のような特徴が厳密であることを示しています。

  • 比例ルールは、自己双対性と一貫性を満たしますが、担保は満たしません (たとえば、請求額が E と 2E の場合、最初の請求者は E/3 のみを取得します)。
  • 切り捨て比例ルール（すべての請求をEに切り捨てた後に比例ルールを適用する）は、担保権を満たしますが、自己双対ではなく、双対担保権を満たしません（たとえば、請求が E/2 と E の場合、最初の請求者は E/3 を取得します。これは請求額の 1/2 を超えるため、担保権は満たされます。ただし、損失は E/6 のみで、これは請求額の 1/ nではなく 1/3 です）。
  • 調整比例則[10]は自己双対であり、確保とその双対性を満たしているが、一貫性がない。
  • 制約付き平等な授与ルールは、安全性と一貫性を満たしますが、自己双対ではなく、二重安全性を満たしません。
  • 制約付き均等損失ルールは、二重のセキュリティと一貫性を満たしますが、自己二重ではなく、セキュリティを満たしません。

参照：タルムードの規則のさらなる特徴づけ。[11] [12]

平等

Ly、Zakharevich、Kosheleva、Kreinovich [13]は、2人のエージェントのCGが現状維持点からの等距離に基づく公平性の概念を満たすことを証明した。この公平性の概念に基づく他のいくつかの規則は、例えば以下の通りである。

ここで、現状維持ポイントがどの程度妥当なのかという疑問が生じます。各請求者について、現状維持ポイントの可能な範囲は、例えば以下のように、一定間隔で存在します。

  • E ≤ c 1 ≤ c 2の場合、両方のエージェントの可能な結果の範囲は [0, E ] なので、現状点は [0, E ]x[0, E ] 内の任意の点になる可能性があります。
  • c 1 ≤ E ≤ c 2の場合、エージェント1は主張額以上の金額を受け取ることができないため、可能な結果の範囲は[0, c 1 ]となります。エージェント2にとって最悪の結果は、エージェント1が c 1を受け取ることです。したがって、可能な結果の範囲は[Ec 1 , E]となります。
  • c 1 ≤ c 2 ≤ Eの場合、エージェント1の可能な結果の範囲は[Ec 2、c 1 ]であり、同様にエージェント2の範囲は[Ec 1、c 2 ]です。

エージェントは楽観的であれば区間内の最高値を見ることも、悲観的であれば区間内の最低値を見ることも、あるいは一般的には任意の中間点r *max+(1- r )*min を見ることもできます。ここでrは「楽観係数」です。任意の楽観係数rに対して、異なる現状点が得られます。

CGルールは、任意の楽観係数rに対して、両方の主張者がrに対応する現状維持点から等しく離れている結果を選択する。[13]

ゲーム理論的分析

競争ゲームのナッシュ均衡

オニール[14]は次のようなゲームについて説明しています。

  • 遺産は小さな単位に分割されます (たとえば、すべての請求が整数の場合、遺産はサイズ 1 のE単位に分割できます)。
  • 各請求者iはいくつかのユニットを選択します。 c i {\displaystyle c_{i}}
  • 各ユニットは、それを要求するすべてのエージェント間で均等に分配されます。

当然のことながら、エージェントは異なるエージェント間の重複が最小となるようにユニットを選択しようとする。このゲームにはナッシュ均衡が存在する。任意のナッシュ均衡において、各ユニットがk人またはk +1人の請求者によって請求されるような整数kが存在する。請求者が2人の場合、均衡利得ベクトルは一意であり、それはCGによって返されるものと同一である。[14]

協力ゲームの核小体

CGルールは、主張に基づいて定義された特定の協力ゲームの核小体として独立に導出することができる。 [15]

事前寄付による操作

Sertel [16]は、2人の請求者がいる状況において、保有資産Eが大きい方の請求額と等しい（E = c 2 ≥ c 1）という特殊なケースを考察している。この特殊なケースは、実現可能集合が頂点(0,0)、(c 1 ,0)、(0,c 2 )を持つ三角形であり、不一致点が(0,0)である協力的交渉問題に対応する。利得はナッシュ交渉解を用いて計算される。請求者は、他の請求者に請求額の一部を事前に寄付することで操作することができる。均衡状態では、両方の請求者はCGによって規定された利得を受け取る。

ピニレスの法則

19世紀のユダヤ人学者ツヴィ・メナヘム・ピニレスは、ケトゥボット事件を説明するために別のルールを提示した。[17]彼のルールはCGルールに似ているが、請求者が2人いる場合のCGルールとは矛盾する。そのルールは以下のように機能する。[2]

  • 請求の合計が 2 Eより大きい場合、請求の半分に CEA ルールを適用します。つまり、 を返します。 C E A ( c 1 / 2 , … , c n / 2 ; E ) {\displaystyle CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)}
  • それ以外の場合は、各エージェントに請求額の半分を与え、残りに CEA を適用します。つまり、 を返します。 ( c 1 / 2 , … , c n / 2 ) + C E A ( c 1 / 2 , … , c n / 2 ; E − ∑ j = 1 n c j / 2 ) {\displaystyle (c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2)+CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j=1}^{n}c_{j}/2)}

請求者が 2 人の場合の例:

  • P I N I ( 60 , 90 ; 100 ) = ( 42.5 , 57.5 ) {\displaystyle PINI(60,90;100)=(42.5,57.5)} 当初、請求者は(30,45)を受け取ります。残りの請求額は(30,45)で、残りの財産は25なので、均等に分割されます。
  • P I N I ( 50 , 100 ; 100 ) = ( 37.5 , 62.5 ) {\displaystyle PINI(50,100;100)=(37.5,62.5)} 当初、請求者は(25,50)を受け取ります。残りの請求額は(25,50)で、残りの財産は25であるため、均等に分割されます。
  • P I N I ( 50 , 100 ; 100 ) = ( 37.5 , 62.5 ) {\displaystyle PINI(50,100;100)=(37.5,62.5)} 当初、請求者は(25,50)を受け取ります。残りの請求額は(25,50)で、残りの財産は25であるため、均等に分割されます。

請求者が 3 人の場合の例:

  • P I N I ( 100 , 200 , 300 ; 100 ) = ( 33.333 , 33.333 , 33.333 ) {\displaystyle PINI(100,200,300;100)=(33.333,33.333,33.333)} ここでは請求額の合計が遺産の2倍を超えるため、結果は となります。 C E A ( 50 , 100 , 150 ; 100 ) = ( 33.333 , 33.333 , 33.333 ) {\displaystyle CEA(50,100,150;100)=(33.333,33.333,33.333)}
  • P I N I ( 100 , 200 , 300 ; 200 ) = ( 50 , 75 , 75 ) {\displaystyle PINI(100,200,300;200)=(50,75,75)} 請求額の合計は再び遺産の2倍を超えるので、結果は となります。 C E A ( 50 , 100 , 150 ; 200 ) = ( 50 , 75 , 75 ) {\displaystyle CEA(50,100,150;200)=(50,75,75)}
  • P I N I ( 100 , 200 , 300 ; 300 ) = ( 50 , 100 , 150 ) {\displaystyle PINI(100,200,300;300)=(50,100,150)} 請求額の合計は再び遺産の2倍を超えるので、結果は となります。 C E A ( 50 , 100 , 150 ; 300 ) = ( 50 , 100 , 150 ) {\displaystyle CEA(50,100,150;300)=(50,100,150)}

一般化

モレノ＝テルネロとヴィラール[18]は、タルムードのルールを一般化したTALファミリーと呼ばれるルール群を定義している。これは、制約付き均等分配と制約付き均等損失のルールも含んでいる。TALファミリーの各ルールは、[0,1]の範囲のパラメータtによってパラメータ化される。TAL_tルールは、遺産を以下のように分割する。

  • の場合、結果は となり、各請求者i は最大で を受け取ります。 E ≤ t ⋅ c N {\displaystyle E\leq t\cdot c_{N}} C E A ( t c 1 , … , t c n ; E ) {\displaystyle CEA(tc_{1},\ldots ,tc_{n};E)} t ⋅ c i {\displaystyle t\cdot c_{i}}
  • の場合、各請求者i はちょうど を受け取ります。 E = t ⋅ c N {\displaystyle E=t\cdot c_{N}} t ⋅ c i {\displaystyle t\cdot c_{i}}
  • の場合、結果は となり、各請求者i は少なくとも を受け取ります。 E ≥ t ⋅ c N {\displaystyle E\geq t\cdot c_{N}} ( t c 1 , … , t c n ) + C E L ( ( 1 − t ) c 1 , … , ( 1 − t ) c n ; E − t c N ) {\displaystyle (tc_{1},\ldots ,tc_{n})+CEL((1-t)c_{1},\ldots ,(1-t)c_{n};E-tc_{N})} t ⋅ c i {\displaystyle t\cdot c_{i}}

同様の説明は次のようになります。請求者は、最も低い請求者（1）がt*c 1を受け取るまで、均等な割合でお金を受け取ります。その後、最も低い請求者が退出し、他の請求者は、2番目に低い請求者（2）がt*c 2を受け取るまで続けます。これは、すべての請求者が受け取るまで続きます。残額がある場合、請求者は最も高い請求者から最も低い請求者へと再び参加し、損失が等しくなるまでお金を受け取ります。 t ⋅ c i {\displaystyle t\cdot c_{i}}

この族では、TAL-0はCEL、TAL-1/2はCG、TAL-1はCEAです。TAL_tの双対はTAL_(1-t)です。この族のすべての規則は以下の性質を持ちます。

  • これらはパラメトリックです。エージェントiの報酬はc iと、 Eに依存するいくつかのパラメータにのみ依存します。
  • 彼らは同等の者に対する同等の扱いを満たしています。
  • それらは連続的です。
  • それらは一貫しています。
  • これらは秩序を維持するものです。つまり、より高い請求額を持つエージェントはより高い報酬を得るが、より大きな損失を被ることになります。
  • これらは請求単調性を満たします。請求が弱く増加すると、授与額も増加します。
  • これらは同質です。請求額と基金額を同じ正の数で乗算すると、結果も同じ数で乗算されます。
  • これらはリソースの単調性を満たします。

いくつかのプロパティは、TAL ファミリーのサブセットによってのみ満たされます。

  • tが[1/2,1]にあるすべてのTAL- tルールのみが無関係なクレームから独立しており（Eより大きいクレームは結果に影響を与えずにEに切り捨てられる）、セキュリティ要件を満たしています。
  • tが[0,1/2]にあるすべてのTAL- t規則のみが分離可能（最小独立からの構成を満たす）であり、確保の双対性を満たします。
  • CEA と CEL のみが構成アップと構成ダウンを満たします。
  • t 1 ≥ t 2の場合、ローレンツ順序付けにおいて、TAL-t 1の結果は常に TAL-t 2の結果よりも優位になります（直感的には、より平等主義的であることを意味します）。

さらに読む

参考文献

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