継続返済型住宅ローン
初期投資1,000ドルに対して、様々な複利率で年間20%の利息を得る効果

継続複利に類似した継続年金[ 1 ]は、支払間隔が無期限に短縮される通常の年金です。（理論上の）継続返済型住宅ローンは、継続年金によって支払われる住宅ローンです。

住宅ローン（すなわち、住宅ローン）は、一般的に年金と呼ばれる一連の固定支払いによって、数年にわたって返済されます。各支払いは、預入時から住宅ローン期間の終了時まで複利で積み立てられます。住宅ローン期間の終了時点で、支払い額と累積利息の合計は、全期間にわたる複利計算によるローンの金額と等しくなります。ローン額P 0、期間ごとの金利 i、期間数n、期間ごとの固定支払い額xを仮定すると、期間終了時の残高調整式は次のようになります。

P0（1+私）n＝∑け＝1n×（1+私）n−け＝×[（1+私）n−1]私{\displaystyle P_{0}(1+i)^{n}=\sum _{k=1}^{n}x(1+i)^{nk}={\frac {x[(1+i)^{n}-1]}{i}}}

和は等比数列の和の標準公式を使用して計算できます。

（理論上の）継続返済型住宅ローンでは、返済間隔は無期限に狭められ、離散的な返済間隔が連続的になるまで、固定返済間隔は実質的に固定年利による文字通りのキャッシュ「フロー」となります。この場合、ローン額P 0、年利r、ローン期間T（年）、年利M aを仮定すると、微小キャッシュフロー要素M a δtは、時点 t からローン期間終了時まで、連続的に複利計算されます。この時点で、バランス方程式は次のようになります。

P0erT＝∫0TM1つのer（T−t）dt＝M1つの（erT−1）r。{\displaystyle P_{0}e^{rT}=\int \limits _{0}^{T}M_{a}e^{r(Tt)}\,dt={\frac {M_{a}(e^{rT}-1)}{r}}.}

キャッシュフロー要素と累積利息の合計は、図に示すように積分によって算出されます。複利計算期間と支払期間は等しいと仮定します。つまり、利息の複利計算は常に支払額の控除と同時に発生します。[ 2 ]

ローンの期間中、時間連続住宅ローン残高関数は1次線形微分方程式（LDE）[ 3 ]に従い、ラプラス変換法を使用してLDEを解くことによってその代替導出を得ることができる。

この式を適用すると、それが示す金融プロセスに関連する多くの結果が得られます。本稿は主に住宅ローンに焦点を当てていますが、ここで用いる手法は、定期的な一定間隔の支払い（年金）によって支払いまたは貯蓄が行われるあらゆる状況に当てはまります。

時間連続方程式の導出

月利i % で投資されたn回の固定月額支払い額xの現在価値を求める古典的な式は次のとおりです。

Pv（n）＝×（1−（1+私）−n）私{\displaystyle P_{v}(n)={\frac {x(1-(1+i)^{-n})}{i}}}

この式を変形すると、月利 i % でn か月間借り入れた金額P 0のローンの月々の支払額xを計算できます。

×＝P0⋅私1−（1+私）−n{\displaystyle x={\frac {P_{0}\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}}}

まず、式を少し調整します。iをr / Nに置き換えます。ここで、rは年利、Nは複利計算の年間頻度（月払いの場合はN = 12）です。また、 nをNTに置き換えます。ここで、Tは総ローン期間（年）です。このより一般的な式では、頻度Nに対応する固定支払額としてx ( N )を計算します。例えば、N  = 365の場合、xは日払いの固定支払額に相当します。Nが増加するとx ( N )は減少しますが、積N · x ( N )は次に示すように限界値に近づきます。

×（北）＝P0⋅r北（1−（1+r北）−北T）{\displaystyle x(N)={\frac {P_{0}\cdot r}{N(1-(1+{\frac {r}{N}})^{-NT})}}}
北⋅×（北）＝P0⋅r1−（1+r北）−北T{\displaystyle N\cdot x(N)={\frac {P_{0}\cdot r}{1-(1+{\frac {r}{N}})^{-NT}}}}

N · x ( N ) は単に年間に支払われる金額、つまり実質的には年間返済率M a であることに注意してください。

次のことはよく知られています。

リム北→∞（1+r北）北t＝ert{\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {r}{N}}\right)^{Nt}=e^{rt}}[ 4 ] [ 5 ]

同じ原則を年間返済額の計算式に適用すると、制限値を決定できます。

M1つの＝リム北→∞北⋅×（北）＝リム北→∞P0⋅r1−（1+r北）−北T＝P0⋅r1−e−rT。{\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)=\lim _{N\to \infty }{\frac {P_{0}\cdot r}{1-(1+{\frac {r}{N}})^{-NT}}}={\frac {P_{0}\cdot r}{1-e^{-rT}}}.}[ 6 ]

この時点で、現在価値の正統的な公式は、年次複利頻度Nと時間 tの関数としてより適切に表されます。

Pv（北、t）＝北⋅×（北）（1−（1+r北）−北t）r{\displaystyle P_{v}(N,t)={\frac {N\cdot x(N)(1-(1+{\frac {r}{N}})^{-Nt})}{r}}}

上で述べた制限式を適用すると、現在価値を純粋に時間に依存する関数として表すことができます。

Pv（t）＝リム北→∞Pv（北、t）＝M1つのr（1−e−rt）{\displaystyle P_{v}(t)=\lim _{N\to \infty }P_{v}(N,t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt})}[ 7 ]
図1

ローン開始からt年後のローン残高P ( t )は、残存期間（つまりT  −  t）の拠出金の現在価値に過ぎないことに注目して、次のように決定します。

P（t）＝M1つのr（1−e−r（T−t））＝P0（1−e−r（T−t））1−e−rT{\displaystyle P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-r(Tt)})={\frac {P_{0}(1-e^{-r(Tt)})}{1-e^{-rT}}}}[ 8 ]

図のグラフは、住宅ローン（100万ドル、20年、利率10%）の残高を、上記の時間連続モデルとExcelのPV関数を用いて計算した結果を比較したものです。ご覧のとおり、曲線はほとんど区別がつきません。モデルを用いた計算結果とExcelのPV関数を用いた計算結果の差は、わずか0.3%（最大）です。グラフの元となったデータは、こちらからご覧いただけます。

類似の物理システムとの比較

「逆時間」変数z = T  −  tを定義する（t  = 0, z  =  Tおよびt  =  T , z  = 0）。すると、次のようになる。

システムの時定数（それぞれτ = 1/ r年およびτ =  RC秒）に正規化された時間軸上にプロットすると、CRM の住宅ローン残高関数（緑）は、RC 回路のステップ応答曲線（青）の鏡像になります。垂直軸は、システムの漸近線、つまりCRM の永久値 M a /r とRC 回路の印加電圧 V 0に正規化されます。
P（z）＝M1つのr（1−e−rz）。{\displaystyle P(z)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rz})。}

これは「逆時間」微分方程式の解として認識されるかもしれません。

M1つのr＝1rdP（z）dz+P（z）。{\displaystyle {\frac {M_{a}}{r}}={\frac {1}{r}}{\frac {dP(z)}{dz}}+P(z).}

電気/電子技術者や物理学者なら、この種の方程式はよくご存知でしょう。これは、たとえば RC 回路内のコンデンサの充電を支配する微分方程式の正確な類似体です。

V0＝RCdV（t）dt+V（t）。{\displaystyle V_{0}=RC{\frac {dV(t)}{dt}}+V(t).}

このような方程式の主要な特性については、 RC回路で詳しく説明されています。住宅ローンを抱える住宅所有者にとって、留意すべき重要なパラメータは、方程式の時定数です。これは、単に年利率 rの逆数です。例えば、金利が10%の場合、時定数は10年です。住宅ローンの期間は、返済能力の範囲内で、この値の最小倍数として決定する必要があります。これは、ローンの支払利息を最小限に抑えることが目的です。

住宅ローンの差額と微分方程式

住宅ローンの従来の差分方程式は、比較的簡単に導出できます。つまり、各期間の未払い残高は、前の残高に期間ごとの利息を加算し、期間ごとの固定支払額を差し引いたものになります。

年利rと、年間支払い能力M N （Δ tの時間間隔で行われるN回の均等な支払いに分割され、Δ t  = 1 / N年）を持つ借り手を考えると 、次のように記述できます。

Pt+Δt＝Pt+（rPt−M北）ΔtPt+Δt−PtΔt＝rPt−M北{\displaystyle {\begin{aligned}P_{t+\Delta t}&=P_{t}+(rP_{t}-M_{N})\Delta t\\[12pt]{\dfrac {P_{t+\Delta t}-P_{t}}{\Delta t}}&=rP_{t}-M_{N}\end{aligned}}}

Nを無限に増加させてΔt→0とすると、連続 時間微分方程式が得られます。

d⁡P（t）d⁡t＝rP（t）−M1つの{\displaystyle {\operatorname {d} P(t) \over \operatorname {d} t}=rP(t)-M_{a}}[ 9 ] [ 10 ]

住宅ローンの残高が継続的に減少するためには、次の不等式が成立する必要があることに注意してください。

P0⩽M1つのr{\displaystyle P_{0}\leqslant {\frac {M_{a}}{r}}}[ 11 ]

P 0はP (0) （t = 0の時点の元の融資額または融資残高） と同じです 。

差分方程式を解く

まず差分方程式を再帰形式で書き直します。

Pt+Δt＝Pt（1+rΔt）−M北Δt{\displaystyle P_{t+\Delta t}=P_{t}(1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t\;}

P nという表記を使ってn期間後の住宅ローン残高を示すと、再帰関係を反復的に適用してP 1とP 2を決定することができます。

P1＝P0（1+rΔt）−M北Δt{\displaystyle P_{1}=P_{0}(1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t\;}
P2＝[P0（1+rΔt）−M北Δt]（1+rΔt）−M北Δt＝P0（1+rΔt）2−M北Δt（1+rΔt）−M北Δt{\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}&=[P_{0}(1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t](1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t\\&=P_{0}(1+r\Delta t)^{2}-M_{N}\Delta t(1+r\Delta t)-M_{N}\Delta t\end{aligned}}}

M Nを含む項は、公比 1 + r Δ  tを持つ等比級数を形成すること が既に示されています。これにより、 P nの一般的な式を書くことができます。

Pn=P0(1+rΔt)n−∑k=1nMNΔt(1+rΔt)n−k=P0(1+rΔt)n−MNΔt[(1+rΔt)n−1]rΔt{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&=P_{0}(1+r\Delta t)^{n}-\sum _{k=1}^{n}M_{N}\Delta t(1+r\Delta t)^{n-k}\\&=P_{0}(1+r\Delta t)^{n}-{\dfrac {M_{N}\Delta t[(1+r\Delta t)^{n}-1]}{r\Delta t}}\end{aligned}}}

最後に、r  Δ  t  =  i が期間ごとの利子率と期間ごとの支払額であることに注目すると、式は従来の形式で次のように表すことができます。 MNΔt=x{\displaystyle M_{N}\Delta t=x}

Pn=P0(1+i)n−x[(1+i)n−1]i{\displaystyle P_{n}=P_{0}(1+i)^{n}-{\dfrac {x[(1+i)^{n}-1]}{i}}}

ローン期間がm期間の場合、P m  = 0となり、標準的な現在価値の式が得られます。

P0=x[1−(1+i)−m]i{\displaystyle P_{0}={\dfrac {x[1-(1+i)^{-m}]}{i}}}

微分方程式を解く

d⁡P(t)d⁡t=rP(t)−Ma{\displaystyle {\operatorname {d} P(t) \over \operatorname {d} t}=rP(t)-M_{a}}

この方程式を解く1つの方法は、ラプラス変換P ( s ) を得ることです。

P(s)=Mas(r−s)=Mar×(−r)s(s−r).{\displaystyle P(s)={\frac {M_{a}}{s(r-s)}}={\frac {M_{a}}{r}}\times {\frac {(-r)}{s(s-r)}}.}

ラプラス変換とそれに対応する時間領域の表を使用して、 P ( t ) を決定できます。

P(t)=Mar(1−ert).{\displaystyle P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{rt}).}

このソリューションを住宅ローン関数の特定の開始点と終了点に適合させるには、ローン期間の終了時に関数がゼロになることを保証するために、 T年 ( T = ローン期間) の時間シフトを導入する必要があります。

P(t)=Mar(1−er(t−T))P0=Mar(1−e−rT)⇒Mar=P01−e−rT⇒P(t)=P0(1−e−r(T−t))1−e−rT{\displaystyle {\begin{aligned}&P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{r(t-T)})\\[8pt]&P_{0}={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rT})\Rightarrow {\frac {M_{a}}{r}}={\frac {P_{0}}{1-e^{-rT}}}\\[8pt]\Rightarrow &P(t)={\frac {P_{0}(1-e^{-r(T-t)})}{1-e^{-rT}}}\end{aligned}}}

元の解と「時間シフト」バージョンの両方が、両方が導出された元の微分方程式を満たしていることに注意してください。

差分方程式のP nに対して上で導出された式と同様に、 P ( t )の式は次のように代数的に等価な形式で表すことができます。

P(t)=P0ert−Mar(ert−1){\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}-{\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1)}

累積利息と元本支払額の計算

元の微分方程式を整理すると次のようになります。

Ma=rP(t)−dP(t)dt{\displaystyle M_{a}=rP(t)-{\frac {dP(t)}{dt}}}

方程式の両辺を積分すると次のようになります。

Ma.t=∫0trP(t)dt−∫0tdP(t)dtdt{\displaystyle M_{a}.t=\int _{0}^{t}rP(t)\,dt\,-\int _{0}^{t}{\frac {dP(t)}{dt}}\,dt\,}

右辺の最初の積分は、開始時点からt時点までの累積利息支払額を決定し、2番目の積分は、同じ期間の累積元本支払額を決定します。これらの利息支払額と元本支払額の合計は、t時点における累積固定支払額、すなわちM a tと等しくなければなりません。右辺の最初の積分を評価すると、支払利息 I ( t )の式が得られます。

I(t)=Mat−Ma(ert−1)rerT{\displaystyle I(t)=M_{a}t-{\frac {M_{a}(e^{rt}-1)}{re^{rT}}}}

当然のことながら、2番目の積分はP 0  −  P ( t )となり、したがって次のようになります。

I(t)=Mat−P0+P(t){\displaystyle I(t)=M_{a}t-P_{0}+P(t)\,}

読者は、この表現が代数的に上記の表現と同一であることを簡単に確認できます。

ローンコスト要因

ローンのコストは、単純に年利率とローン期間を掛け合わせたものです。

C=MaT=P0rT1−e−rT{\displaystyle C=M_{a}T={\frac {P_{0}rT}{1-e^{-rT}}}}

s  =  rTとします。すると、貸出コスト係数C ( s )をC = P 0 C ( s ) と定義できます。つまり、C ( s ) は貸出通貨単位あたりのコストです。

C(s)=rT1−e−rT=s1−e−s{\displaystyle C(s)={\frac {rT}{1-e^{-rT}}}={\frac {s}{1-e^{-s}}}}

関数C ( s ) は、 s がゼロに近い場合、極限値が 1 になることで特徴付けられます。これは、 sが小さい場合、 exp(− s ) ≈ 1 −  sとなり、分母が sに簡略化されるためです。また、sが非常に大きい場合、 exp(− s ) は小さいため、C ( s ) ≈  sとなり、ローンコストC  ≈  P 0 rT ( rT  >> 0 ) となります。

例として、1000000円を10%の利率で20年間返済するローンを考えてみましょう。この場合、s  = 0.1 × 20 = 2となります。

C=1000000×21−e−2≈2.313×106{\displaystyle C=1000000\times {\frac {2}{1-e^{-2}}}\approx 2.313\times 10^{6}}

積rTは、式C=P 0 xC(s)に従って融資コストを決定する上で、容易に得られるものの重要なパラメータです。これは、領域[0;5]におけるs値に対するコスト係数関数をプロットすることで最もよく示されます。sの値が大きい場合、関数が線形に挙動することは明らかです。

等価単利コスト係数

t年の固定期間ローンの場合、上記のローンコスト係数を同等の単利コスト係数1+s eと比較することができます。ここで、s e =r e tであり、r eは同等の単利率です。

s1−e−s=1+se{\displaystyle {\frac {s}{1-e^{-s}}}=1+s_{e}}

s e をs で決定するのは簡単です。これをローン期間 t で割ると、等価の単利率が得られます。より難しいのは、s eを与えられた場合に s を逆に決定することです。

BD・ハーン博士は著書『Problem Solving with True Basic』 [ 12 ]の中で、特定の「割賦購入」スキームについて短いセクションを設けています。これらのスキームでは、利息が事前に一括で計算され、元金に加算され、返済期間にわたって均等に分割されます。しかし、購入者は、利息が減少する残高に基づいて計算されているという印象を抱きがちです。

上記の例は、ハーン博士の著書に掲載されている例を改変したものです。ハーン博士は、ニュートン・ラプソン法を用いて、同じ期間（3年間）の離散区間（つまり月払い）返済ローンについて、同じ問題を解いています。多くの類似例と同様に、離散区間問題とその解は、連続返済モデルに基づく計算によってほぼ近似されます。ハーン博士の解は金利40.8%ですが、上記で計算した41.6%と比較すると、この解はより正確です。

融資期間

借り手が年間返済率M a を支払う余裕がある場合、 M a を計算する式を変形して、特定のローンP 0の期間Tを表す式を得ることができます。

Ma=P0r1−e−rT⇒T=1rln⁡MaMa−P0r=−1rln⁡(1−P0rMa){\displaystyle {\begin{aligned}&M_{a}={\frac {P_{0}r}{1-e^{-rT}}}\\[8pt]\Rightarrow &T={\frac {1}{r}}\ln {\frac {M_{a}}{M_{a}-P_{0}r}}=-{\frac {1}{r}}\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right)\end{aligned}}}

最低支払比率

ローンの最低支払比率とは、最低可能支払率と実際の支払率の比率です。最低可能支払率は、ローン利息をちょうどカバーする水準です。借り手は理論上、ローン元本が減少することはないため、この金額を永久に支払うことになります。以下では、最低支払比率を表すために文字「k」を使用します。

k=MminMa=P0rMa{\displaystyle k={\frac {M_{\min }}{M_{a}}}={\frac {P_{0}r}{M_{a}}}}

ここで、ローン期間Tの式を少し変形して考えてみましょう 。

T=−1rln⁡(1−P0rMa){\displaystyle T=-{\frac {1}{r}}\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right)}
rT=s(k)=−ln⁡(1−k){\displaystyle rT=s(k)=-\ln(1-k)\;}

s ( k ) をkに対してプロットすると、k値をk = 1の漸近線より十分に下に保つことがなぜ良いアイデアなのかが非常にわかりやすく示されます。 漸近線の近くではs ( k ) が急激に増加し、したがって、パラメータs ( rT積)の増加関数であるローン コストも増加するためです。

ローンの「半減期」

住宅ローンモデルの有用なパラメータの一つに、ローンの「半減期」があります。これは、ローン残高が当初の価値の半分になるまでの時間です。「半減期」を求めるには、次のように記述します。

P(t)P0=12=1−e−r(T−t)1−e−rT{\displaystyle {\frac {P(t)}{P_{0}}}={\frac {1}{2}}={\frac {1-e^{-r(T-t)}}{1-e^{-rT}}}}

tについて解くと次のようになります。

t12=1rln⁡(1+erT2){\displaystyle t_{\frac {1}{2}}={\frac {1}{r}}\ln \left({\frac {1+e^{rT}}{2}}\right)}[ 13 ]

例えば、この式をテストデータ（100万ドル、金利10%、20年ローン）に適用すると、半減期は14.34年となります。実際にローンを月賦で返済する場合、小数点以下の数字を月数に変換して四捨五入すると、この答えは172か月となります。

金利の計算

離散時間間隔モデルでは、残りのパラメータを与えられた住宅ローン金利を分析的手法で計算することは不可能でした。Excelの「rate」関数などの実装では、数値的な「試行錯誤」手法を用いて金利を算出しています。一見すると、連続返済モデルでも同様であるように思われます。以下の式が成り立つと仮定します。

P0=Mar(1−e−rT){\displaystyle P_{0}={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rT})}

次のように書くこともできる。

rP0=Ma(1−e−rT){\displaystyle rP_{0}=M_{a}(1-e^{-rT})\,}
⇒rP0−Ma+Mae−rT=0{\displaystyle \Rightarrow rP_{0}-M_{a}+M_{a}e^{-rT}=0}
図1

上記をrの関数（零点を求めたい）として視覚化するには、 P 0、M a、Tの値をそれぞれ10000、6000、3として右図のようにプロットすると分かりやすい。この関数には最小値があり、これは微分によって次のように求められる。

f′(r)=0{\displaystyle f'(r)=0\,}
⇒P0−MaTe−rT=0{\displaystyle \Rightarrow P_{0}-M_{a}Te^{-rT}=0}
⇒r=1Tln⁡MaTP0{\displaystyle \Rightarrow r={\frac {1}{T}}\ln {\frac {M_{a}T}{P_{0}}}}

この関数はr = 0での根 と求める値の間でほぼ放物線状なので、必要な根は次のように推定できます。

r≈2Tln⁡MaTP0{\displaystyle r\approx {\frac {2}{T}}\ln {\frac {M_{a}T}{P_{0}}}}

これを出発点として、ニュートン・ラプソン法を繰り返し実行することで、より正確な根の値を求めることができる。[ 14 ]

r1=r0−f(r0)f′(r0).{\displaystyle r_{1}=r_{0}-{\frac {f(r_{0})}{f'(r_{0})}}.\,\!}

Wolfram Alphaでいくつかの実験を行った結果、 Lambert-W関数、すなわち「積対数」関数を用いた正確な解析解が得られることが分かりました。s = M a T / P 0と設定すると、以下の式が得られます 。

r=1T(W(−se−s)+s){\displaystyle r={\frac {1}{T}}\left(W(-se^{-s})+s\right)}

関心領域において、W (− se − s ) は二価関数です。最初の値は − sであり、自明な解r  = 0 を与えます。2番目の値は、上記の式の文脈で評価され、必要な金利を与えます。

以下の表は、ニュートン・ラプソン法による初期金利推定値の計算結果と、それに続くニュートン・ラプソン法の反復計算結果を示しています。Wolfram Alphaの Lambert W関数または「productlog」関数を用いた解析解と一致するように、小数点以下数桁の精度で解に急速に収束します。

ローン（P） 期間（T） 年間支払率（Ma） 初期推定値: 2 ln( MaT / P )/ T
100003600039.185778%

ニュートン・ラプソン反復法

nr ( n ) f [ r ( n )] f '[ r ( n )]
039.185778%−229.574444.44
144.351111%21.135241.95
243.948044%0.125184.06
343.945798%05183.74

現在価値と将来価値の計算式

一連の固定月額支払いの現在価値の標準的な式に対応して、時間連続の類似物をすでに確立しています。

Pv(t)=Mar(1−e−rt).{\displaystyle P_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt}).}

同様の方法で、将来価値の式を決定することができます。

Fv(t)=Mar(ert−1).{\displaystyle F_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1).}[ 15 ]

この場合、年利率M a は、指定された（将来の）貯蓄または減債基金目標P Tから次のように決定されます。

Ma=limN→∞N⋅x(N)=limN→∞PT⋅r(1+rN)NT−1=PT⋅rerT−1.{\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)=\lim _{N\to \infty }{\frac {P_{T}\cdot r}{(1+{\frac {r}{N}})^{NT}-1}}={\frac {P_{T}\cdot r}{e^{rT}-1}}.}[ 16 ]

予想通り、次の点に留意してください。

Fv(t)=Pv(t)×ert.{\displaystyle F_{v}(t)=P_{v}(t)\times e^{rt}.\,}

継続返済型ローンの未払い残高P ( t )を計算する別の方法は、ローンの将来価値(同じく t時点)から支払いストリームの将来価値 ( t時点)を差し引くことです。

P(t)=P0ert−Mar(ert−1).{\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}-{\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1).}[ 17 ]

例

学校の教科書[ 18 ]に掲載されている次の例は、離散的な時間間隔（この場合は月単位）に基づく貯蓄年金と、上記の将来価値の式を用いた継続的な支払いに基づく貯蓄年金の概念的な違いを示しています。

ある投資家は30歳の誕生日に、40歳までに50万ランドを貯めたいと決意しました。1ヶ月後から、年利12%、月複利の利息が付く口座に毎月同額を積み立てることにしました。毎月の返済額はいくらになるでしょうか？

簡潔にするために、Excel PMT 関数を使用して「離散間隔」問題を解決します。

x(12)=PMT(1%,120,500000)=2173.55{\displaystyle x(12)=PMT(1\%,120,500000)=2173.55}

したがって、年間支払われる金額は 26082.57 になります。

理論上の継続支払貯蓄年金の場合、年間支払 率のみを計算できます。

Ma=500000×12%e0.12⋅10−1=25860.77{\displaystyle M_{a}={\frac {500000\times 12\%}{e^{0.12\cdot 10}-1}}=25860.77}

この時点で、単純に12で割って月々の支払額を算出したくなるかもしれません。しかし、これは「継続支払」モデルの根底にある前提、つまり年間支払率が以下のように定義されるという前提に反します。

Ma=limN→∞N⋅x(N){\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)\,}

投資家が年間に無限回、無限に小額の支払いを行うことは当然不可能であるため、「継続支払い型」年金や住宅ローンを提供したい銀行などの貸出機関は、実際には、継続時間計算式が常に事前に設定された最小限の誤差範囲内で正確となるように、 N（年間支払い頻度）を大きいながらも有限の値に設定する必要があります。例えば、この例では、時間ごとの固定支払い（従来の計算式で計算）は年間25861.07となり、誤差は0.02%未満となります。誤差が許容範囲内であれば、時間ごとの支払い率はM a を365×24で割ることでより簡単に算出できます。この場合、（仮想の）貸出機関は、（必要に応じて）顧客口座から時間ごとに引き落としを行うのに十分な計算リソースを確保する必要があります。つまり、継続支払い型年金におけるキャッシュ「フロー」は、文字通りの意味において理解されるべきです。

金融の世界では、ファンドに支払われる資金は、暦上の特定の時点、通常は等間隔で支払われます。連続的なプロセスでは、ある容器から別の容器に液体を注ぐように、支払いは継続的に行われ、支払い率が基本的な量となります。[ 19 ]

以下の表は、 N（年間複利計算頻度）が増加するにつれて、年間支払額が年間支払率M aの限界値に近づく様子を示しています。年間支払額と限界値との差（誤差）を計算し、限界値に対するパーセンテージで表します。

複利期間 周波数（N） 期間ごとの金利 期間ごとの支払い x(N) 年払い ％ エラー
半年ごと26.000000%13,592.2827,184.565.118918%
四半期ごと43.000000%6,631.1926,524.762.567558%
毎月121.000000%2,173.5526,082.570.857683%
毎日3650.032877%70.8725,868.070.028227%
時間単位87600.001370%2.9525,861.070.001176%

[ 20 ] [ 21 ]

上記から、「継続返済型」住宅ローンという概念は、やや理論的な概念であることが明らかです。それが実用的価値を持つかどうかは、経済学者や保険数理士が慎重に検討する必要がある問題です。特に、上記の例で示した年間返済率の意味を明確に理解する必要があります。

しかしながら、「継続的支払い」モデルは、離散的住宅ローン残高関数の挙動について、いくつかの有意義な知見を提供しています。特に、この関数は名目年利率rの逆数に等しい時定数によって大きく左右されるという点が顕著です。また、住宅ローンが日割りで定額返済される場合、このモデルを用いた残高計算は、一般的に1%未満のわずかな誤差の範囲内で正確です。最後に、このモデルは、住宅ローン保有者にとって、実用上可能な限り支払い頻度を増やすことが、ある程度有利であることを示しています。

計算式とオンライン計算機の概要

年間返済額（住宅ローン）       Ma=limN→∞N⋅x(N)=P0⋅r1−e−rT{\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)={\frac {P_{0}\cdot r}{1-e^{-rT}}}}

年間支払率（積立金）:       Ma=limN→∞N⋅x(N)=PT⋅rerT−1{\displaystyle M_{a}=\lim _{N\to \infty }N\cdot x(N)={\frac {P_{T}\cdot r}{e^{rT}-1}}}

将来価値:       Fv(t)=Mar(ert−1){\displaystyle F_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(e^{rt}-1)}

現在の価値:       Pv(t)=Mar(1−e−rt){\displaystyle P_{v}(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-rt})}

ローン残高:       P(t)=Mar(1−e−r(T−t)){\displaystyle P(t)={\frac {M_{a}}{r}}(1-e^{-r(T-t)})}

貸出期間:              T=−1rln⁡(1−P0rMa){\displaystyle T=-{\frac {1}{r}}\ln \left(1-{\frac {P_{0}r}{M_{a}}}\right)}

ローンの半減期:       t12=1rln⁡(1+erT2){\displaystyle t_{\frac {1}{2}}={\frac {1}{r}}\ln \left({\frac {1+e^{rT}}{2}}\right)}

金利：           r≈2Tln⁡MaTP0{\displaystyle r\approx {\frac {2}{T}}\ln {\frac {M_{a}T}{P_{0}}}}              r=1T(W(−se−s)+s) with s=MatP0{\displaystyle r={\frac {1}{T}}\left(W(-se^{-s})+s\right){\text{ with }}s={\frac {M_{a}t}{P_{0}}}}

ユニバーサル住宅ローン計算機。4つの変数のうち3つを指定すると、4番目の（未知の）値が計算されます。

住宅ローングラフ。これは、特定のローン期間における住宅ローン残高と時間の関係を示す特性曲線です。ローン金額とローン金利（年利）も指定できます。離散間隔ローンも非常に似た特性を示します。

注記

  1. ^ジェームズ、ロバート・C. ; ジェームズ、グレン (1992).数学辞典. チャップマン＆ホール. ISBN 9780412990410。-継続年金に関する記載、86ページ
  2. ^厳密に言えば、複利は支払いが差し引かれる前に瞬間的に発生するため、利息は期間支払いの差し引き前の残高に対して計算されます。
  3. ^ Beckwith p. 116：「技術的に言えば、基礎となる方程式は、境界条件を持つ通常の、線形の、一次の、非同次な、スカラー微分方程式として知られています。」
  4. ^ベックウィズp.115
  5. ^ムネムとフーリスp.273
  6. ^ベックウィズ：式（29）p.123。
  7. ^参照： Wisdom, John C.、Hasselback, James R. (2008). US Master Accounting Guide 2008 . CCH Inc 2008. ISBN 9780808018667。詩篇470–471
  8. ^ベックウィズ：式（31）p.124。
  9. ^ベックウィズ：式（25）p.123
  10. ^ハックマン：式（2）p.1
  11. ^平等が保たれる場合、抵当権は永久に存続する。
  12. ^ハーンp. 247
  13. ^ベックウィズ：式（23）p.122。ベックウィズはこの式を減債基金に関連して使用しているが、償却プロセスの場合も式は同じであると述べている（p.124）。
  14. ^ベックウィズ: (p.125):「与えられた連続的な支払いスケジュールにおける利率の決定には、超越関数の根を決定することがしばしば必要となる。」ベックウィズは、逐次置換法とニュートン・ラプソン法という2つの手法を詳述している。(ps. 126–127)
  15. ^キング、ジョージ（1898年）『ファイナンス理論：利子と年金の理論に関する小論文』（チャールズ・アンド・エドウィン・レイトン著）も参照。ロンドン：チャールズ・アンド・エドウィン・レイトン。2010年3月再版、ナブ・プレス。ISBN 1-146-31870-7。{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)p. 22。古い保険数理の教科書では、継続年金について論じる際に「利息は即時変換可能」や「支払いは即時」という言葉が使われています。
  16. ^ベックウィズ：式（19）p.121。
  17. ^ベックウィズ：式（27）p.123。
  18. ^グレンクロスp. 67
  19. ^ベックウィズp.114。
  20. ^詳細な例題と解答付きの問題は、ハックマン教授の講義ノートに記載されています。参考文献セクションをご覧ください。
  21. ^ベックウィズ（128～129ページ）は、金利計算を含むより複雑な例を示しています。興味のある読者は、結果として得られる超越方程式をWolfram Alphaに入力することで計算結果を検証できます。注：ベックウィズの論文では、式(38)の前の行に括弧が2つ欠けています。

参考文献

参考文献

  • クレイジグ、エルウィン『Advanced Engineering Mathematics』（1998年、Wiley Publishers、米国）、ISBN 0-471-15496-2。
「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Continuous-repayment_mortgage&oldid=1332594977」より取得