反調和平均

数学において、反調和平均（または反調和平均^{[1] ）は}調和平均の補完関数である。反調和平均はレーマー平均の特殊なケースであり、p = 2である。 ${\displaystyle L_{p}}$

意味

正の実数集合の反調和平均^[2]は、その数の二乗の 算術平均をその数の算術平均で割ったものとして定義される。$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {C} \left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)&={{1 \over n}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right) \over {1 \over n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)},\\[3pt]&={{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} \over {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}}.\end{aligned}}}$$

2変数式

2 つの変数の算術平均と調和平均の式から次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {A} (a,b)&={{a+b} \over 2}\\\operatorname {H} (a,b)&={1 \over {{1 \over 2}\cdot {\left({1 \over a}+{1 \over b}\right)}}}={{2ab} \over {a+b}}\\\operatorname {C} (a,b)&=2\cdot A(a,b)-H(a,b)\\&=a+b-{{2ab} \over {a+b}}={{(a+b)^{2}-2ab} \over {a+b}}\\&={{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}\end{aligned}}}$$

2 つの変数の場合、調和平均と反調和平均の平均は算術平均と正確に等しいことに注意してください。

A ( H ( a , b ) , C ( a , b ) ) = A ( a , b )

a が0 に近づくと、 H ( a ,  b ) も 0 に近づきます。調和平均は低い値に非常に敏感です。一方、反調和平均は高い値に敏感です。つまり、a が0 に近づくと、 C ( a ,  b )はbに近づきます（したがって、それらの平均は A ( a ,  b ) のままです）。

2変数平均の間には、他に2つの注目すべき関係があります。まず、算術平均と調和平均の幾何平均は、2つの値の幾何平均に等しくなります。 $${\displaystyle \operatorname {G} (\operatorname {A} (a,b),\operatorname {H} (a,b))=\operatorname {G} \left({{a+b} \over 2},{{2ab} \over {a+b}}\right)={\sqrt {{{a+b} \over 2}\cdot {{2ab} \over {a+b}}}}={\sqrt {ab}}=\operatorname {G} (a,b)}$$

2 番目の関係は、算術平均と反調和平均の幾何平均が二乗平均平方根であるということです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {G} \left(\operatorname {A} (a,b),\operatorname {C} (a,b)\right)={}\operatorname {G} \left({{a+b} \over 2},{{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}\right)\\={}&{\sqrt {{{a+b} \over 2}\cdot {{a^{2}+b^{2}} \over {a+b}}}}={}{\sqrt {{a^{2}+b^{2}} \over 2}}\\[2pt]={}&\operatorname {R} (a,b)\end{aligned}}}$$

2つの変数の反調和平均は台形を使って幾何学的に構成することができます。^[3]

追加の建設

反調和平均は、2つの変数のピタゴラス平均が構築されるのと同様の方法で円上に構築できます。 ^[4]反調和平均は、調和平均が存在する直径の残りの部分です。^[5]

歴史

反調和平均は紀元前4世紀にギリシャの数学者エウドクソスによって発見されました。 ^[6]

プロパティ

反調和平均は、正の値のリストの平均の特性を満たします。 ${\textstyle \mathbf {x} }$

• $${\displaystyle \min \left(\mathbf {x} \right)\leq \operatorname {C} \left(\mathbf {x} \right)\leq \max \left(\mathbf {x} \right)}$$
• $${\displaystyle \operatorname {C} \left(t\cdot \mathbf {x} _{1},t\cdot \mathbf {x} _{2},\,\dots ,\,t\cdot \mathbf {x} _{n}\right)=t\cdot C\left(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\,\dots ,\,\mathbf {x} _{n}\right){\text{ }}t>0 の場合}$$

最初の性質は、すべてのk > 0 に対して、

C ( k , k , ..., k ) = k

これは単調ではありません。 の値を増加させると、反調和平均の値は減少する可能性があります。例えば、C(1, 4) > C(2, 4) です。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$

反調和平均は算術平均よりも値が高く、また二乗平均平方根よりも値が大きくなります。 ここで、 xは値のリスト、Hは調和平均、Gは幾何平均、Lは対数平均、Aは算術平均、Rは二乗平均平方根、Cは反調和平均です。xのすべての値が同じでない限り、上記の≤記号は<に置き換えることができます。 $${\displaystyle \min(\mathbf {x} )\leq \operatorname {H} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {G} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {L} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {A} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {R} (\mathbf {x} )\leq \operatorname {C} (\mathbf {x} )\leq \max(\mathbf {x} )}$$

反調和平均という名前は、2 つの変数のみの平均を取る場合、反調和平均が算術平均より高く、算術平均が調和平均より高くなる (つまり、2 つの変数の算術平均が、その調和平均と反調和平均の算術平均に等しくなる) という事実に由来していると考えられます。

算術平均と分散との関係

確率変数の反調和平均は、算術平均と分散の合計を算術平均で割ったものに等しい。^[7]

$${\displaystyle \operatorname {C} (\mathbf {x} )=\operatorname {A} (\mathbf {x} )+{\frac {\operatorname {Var} (\mathbf {x} )}{\operatorname {A} (\mathbf {x} )}}}$$

分散と算術平均の比は、クラパムによって検定統計量として提案された。^[8]

分散は常に ≥ 0 であるため、反調和平均は常に算術平均以上になります。

その他の関係

2つの異なる正の整数の任意の整数反調和平均はピタゴラス数列の斜辺であり、ピタゴラス数列の任意の斜辺は2つの異なる正の整数の反調和平均である。^[1]

これはKatzの統計量^[9] とも関連しており 、mは平均、s2^は分散、nはサンプルサイズです。 $${\displaystyle J_{n}={\sqrt {\frac {n}{2}}}{\frac {s^{2}-m}{m}}}$$

J _{n は}、平均が 0、分散が 1 の漸近正規分布します。

統計における用途

サイズバイアスのある標本の問題は、1969年にCoxによって繊維のサンプリング問題において議論されました。サイズバイアスのある標本の期待値は、その反調和平均に等しく^{[10] 、また、反調和平均は、}加法モデルで使用される算術平均ではなく、乗法モデルにおけるバイアス場の推定にも使用されます^[11]。

反調和平均は、グラフ化の際に隣接するピクセルの強度値を平均化するために使用することができ、画像のノイズを減らして視覚的に鮮明にします。^[12]

繊維がサンプリングされる確率は、その長さに比例します。そのため、通常の標本平均（算術平均）は真の平均の偏った推定値となります。これを理解するために、 f ( x )が真の母集団分布、 g ( x )が長さで重み付けされた分布、mが標本平均であることを考えてみましょう。ここで、通常の平均期待値を取ると、標本の通常の（算術）平均ではなく、反調和平均が得られます。^{[13]この問題は、代わりに調和平均（1/} x ）の期待値を取ることで克服できます。1/ xの期待値と分散はであり 、分散はあります 。 ここでEは期待値演算子です。漸近的にE[1/ x ]は正規分布します。 $${\displaystyle g(x)={\frac {xf(x)}{m}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {1}{x}}\right]={\frac {1}{m}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {mE\left[{\frac {1}{x}}-1\right]}{nm^{2}}}}$$

長さバイアスサンプリングの漸近的効率は、ランダムサンプリングと比較して、基礎となる分布に依存する。f ( x )が対数正規分布に従う場合、効率は1であるが、母集団が指数bのガンマ分布に従う場合、効率はb /( b − 1)となる。この分布は、消費者行動モデル^[14]や品質サンプリング にも用いられている。

交通計画においては指数分布の逆分布として指数分布と並んで用いられてきた。 ^[15]

参照

• 調和平均
• レーマーの平均
• ピタゴラスとは

参考文献

1. Pahikkala, Jussi (2010). 「反調和平均とピタゴラス数列について」. Elemente der Mathematik . 65 (2): 62– 67. doi :10.4171/em/141.
2. 「複素数の平均」（PDF）を参照。Texas College Mathematics Journal 1 (1) . 2005年1月1日。2006年9月9日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。
3. アンバーガー、シャノン. 「台形における反調和平均の構築」.ジョージア大学.
4. ネルセン、ロジャー・B.（1997年8月7日）『言葉を使わない証明／視覚的思考の練習』アメリカ数学会、p.56、ISBN 0-88385-700-6。
5. Slaev, Valery A.; Chunovkina, Anna G.; Mironovsky, Leonid A. (2019). 『計量学と測定理論』De Gruyter . p. 217. ISBN 9783110652505。
6. アントワーヌ、C. (1998)。レ・モイエンヌ。パリ: フランス大学出版局。
7. Kingley, Michael CS (1989). 「引き上げられたワモンアザラシの分布：テイラーの法則の解釈」. Oecologia . 79 (79): 106– 110. Bibcode :1989Oecol..79..106K. doi :10.1007/BF00378246. PMID  28312819.
8. クラパム、アーサー・ロイ(1936). 「草地群集における過剰分散と植物生態学における統計的手法の利用」.生態学ジャーナル. 24 (14): 232– 251. Bibcode :1936JEcol..24..232C. doi :10.2307/2256277. JSTOR  2256277.
9. Katz, L. (1965).離散確率分布の広範なクラスの統一的取り扱い. 離散分布に関する国際シンポジウム議事録.モントリオール.
10. Zelen, Marvin (1972).長さバイアスサンプリングと生物医学的問題. バイオメトリクス学会.ダラス,テキサス州.
11. Banerjee, Abhirup; Maji, Pradipta (2013).反調和平均と定量的指標を用いたMR画像におけるバイアス場補正のためのラフセット. IEEE Transactions on Medical Imaging.
12. ミトラ、サブリー (2021年10月). 「反調和平均フィルター」。カジアン・イルミア・インフォマティカ・ダン・コンピューター。2 (2)：75～ 79。
13. Sudman, Seymour (1980).頻度バイアスを補正するための割当サンプリング手法と重み付け手順.
14. Keillor, Bruce D.; D'Amico, Michael; Horton, Veronica (2001). 「世界の消費者動向」.心理学とマーケティング. 18 (1): 1– 19. doi :10.1002/1520-6793(200101)18:1<1::AID-MAR1>3.0.CO;2-U.
15. アムリーン、モハメッド；ベンカテスワル、バンディ（2024）「指数分布と反調和平均に基づく交通問題の新たな解決法」応用数学情報学ジャーナル42 （ 3）：647-661。

外部リンク

• PlanetMathの反調和比例。