収束クロスマッピング

収束クロスマッピング（CCM）は、2つの変数間の因果関係を調べる統計的検定であり、グレンジャー因果検定と同様に、相関が因果関係を意味しないという問題を解決しようとします。^{[ 1 ]}グレンジャー因果検定は、因果変数の影響が分離可能（互いに独立）な純粋に確率的なシステムに最適ですが、CCMは力学系理論に基づいており、因果変数が相乗効果を持つシステムに適用できます。そのため、CCMは、互いに無相関に見える変数間の関連性を特定することに特化しています

理論

時系列観測としてシステム変数にアクセスできる場合、 Takensの埋め込み定理を適用できます。Takensの定理は、力学系の状態空間が、システムの単一の観測時系列から再構成できることを一般的に証明しています。この再構成された多様体、つまりシャドウ多様体は、真の多様体と微分同相であり、 におけるの固有の状態空間特性を保存します${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{X}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{X}}$

^{収束交差写像（CCM）は、一般化テイケンス定理[ 2 ]}の系、すなわち、同一システムから観測された変数間の相互予測または相互写像が可能であるはずという定理を活用します。変数 と を含むある力学系において、 が発生すると仮定します。とは同じ力学系に属しているため、埋め込み と を介したそれらの再構成も、同じシステムに写像されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M_{X}}$ ${\displaystyle M_{Y}}$

因果変数は影響を受ける変数にシグネチャを残すため、 に基づいて再構成された状態はの値をクロス予測するために使用できます。CCMはこの特性を利用して、点のライブラリを用いて予測することで因果関係を推論します（因果関係の逆方向についてはその逆）。同時に、 のランダムサンプリングの規模が大きくなるにつれて、クロスマップの予測可能性が向上するかどうかを評価します。 の予測能力が全体を使用するにつれて増加し、飽和する場合、これは に因果的に影響を与えている証拠となります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{Y}}$ ${\displaystyle M_{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{Y}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

クロスマッピングは一般に非対称です。が一方向に力をかける場合、 変数 には に関する情報が含まれますが、その逆は含まれません。したがって、 の状態は から予測できますが、からは予測できません。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{Y}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M_{X}}$

アルゴリズム

長さの変数と変数の収束クロスマッピングの基本的な手順は次のとおりです ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Y}$

1. 必要であれば、状態空間多様体を作成する。${\displaystyle M_{Y}}$ ${\displaystyle Y}$
2. のごく一部から に近い値までの範囲のライブラリ サブセット サイズのシーケンスを定義します。${\displaystyle L}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$
3. 各ライブラリ サイズで評価するアンサンブルの数を定義します。${\displaystyle N_{E}}$
4. 各ライブラリのサブセットサイズ: ${\displaystyle L_{i}}$
   1. アンサンブルの場合: ${\displaystyle N_{E}}$
      1. 状態空間ベクトルをランダムに選択する${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle M_{Y}}$
      2. シンプレックス状態空間予​​測を用いたランダムサブセットからの推定${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle M_{Y}}$
      3. と間の相関関係を計算する${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle X}$
   2. アンサンブルの平均相関を計算する${\displaystyle {\bar {\rho }}}$ ${\displaystyle N_{E}}$ ${\displaystyle L_{i}}$
5. 対のスペクトルは収束を示さなければなりません。${\displaystyle {\bar {\rho }}}$ ${\displaystyle L}$
6. 有意性を評価する。一つの手法は、のランダムな実現値（代替値）から計算されたと比較することです。${\displaystyle {\bar {\rho }}}$ ${\displaystyle {\bar {\rho _{S}}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

応用

CCMは、2つの変数が同じ力学系に属しているかどうかを検出するために使用されます。例えば、過去の海面水温をイワシの個体群データから推定できるか、あるいは宇宙線と地球の気温の間に因果関係があるかどうかなどです。後者については、宇宙線が雲の形成、ひいては雲量、ひいては地球の気温に影響を与える可能性があるという仮説が立てられました。^{[ 3 ]}

拡張

CCMの拡張には以下が含まれます。

• 拡張収束交差写像^{[ 4 ]}
• 収束クロスソーティング^{[ 5 ]}

参照

• 経験的動的モデリング
• システムダイナミクス
• 複雑ダイナミクス

参考文献

1. 杉原 ジョージ、メイ ロバート、イェ ハオ、シェ チーハオ、デイル イーサン、フォガティ マイケル、ムンク ステファン (2012). 「複雑生態系における因果関係の検出」 . Science . 338 ( 6106 ): 496–500 . Bibcode : 2012Sci..338..496S . doi : 10.1126/science.1227079 . PMID  22997134. S2CID  19749064
2. Deyle, Ethan R.; Sugihara, George (2011). 「非線形状態空間再構成のための一般化定理」 . PLOS ONE . 6 (3) e18295. Bibcode : 2011PLoSO...618295D . doi : 10.1371/journal.pone.0018295 . PMC 3069082. PMID 21483839 .  
3. Tsonis, Anastasios A.; Deyle, Ethan R.; Ye, Hao; Sugihara, George (2018), Tsonis, Anastasios A. (ed.), "Convergent Cross Mapping: Theory and an Example", Advances in Nonlinear Geosciences , Cham: Springer International Publishing, pp.  587– 600, doi : 10.1007/978-3-319-58895-7_27 , ISBN 978-3-319-58895-7
4. イェ・ハオ；デイル・イーサン・R；ギラランツ・ルイス・J；杉原・ジョージ（2015）「収束クロスマッピングを用いた時間遅延因果相互作用の識別」 Scientific Reports 5 14750. Bibcode : 2015NatSR ... 514750Y . doi : 10.1038 /srep14750 . PMC 4592974. PMID 26435402  
5. ブレストン, レオ; レオナルディス, エリック J.; クイン, ラレー K.; トルストン, マイケル; ワイルズ, ジャネット; チバ, アンドレア A. (2021). 「動的カップリングの推定のための収束クロスソーティング」 . Scientific Reports . 11 (1): 20374. Bibcode : 2021NatSR..1120374B . doi : 10.1038/ s41598-021-98864-2 . PMC 8514556. PMID 34645847. S2CID 238859361 .   

さらに詳しい情報

• Chang, CW., Ushio, M. & Hsieh, Ch. (2017). 「初心者のための経験的動的モデリング」 . Ecol Res . 32 (6): 785– 796. doi : 10.1007/s11284-017-1469-9 . hdl : 2433/235326
• Stephan B Munch、Antoine Brias、George Sugihara、Tanya L Rogers (2020). 「非線形力学と経験的力学モデリングに関するよくある質問」. ICES Journal of Marine Science . 77 (4): 1463– 1479. doi : 10.1093/icesjms/fsz209 .

外部リンク

アニメーション：

• YouTubeの「状態空間再構成：時系列と動的システム」
• 状態空間の再構築：テイケンスの定理とシャドウ多様体（ YouTube）
• 状態空間再構成： YouTubeの