フィン（拡張表面）

いくつかのフィン要素

熱伝達の研究では、フィンとは物体から伸びる表面のことで、対流を増加させることで環境への熱伝達率、または環境からの熱伝達率を高めます。物体の伝導、対流、または放射の量によって、物体が伝達する熱量が決まります。物体と環境間の温度勾配を大きくする、対流熱伝達係数を大きくする、または物体の表面積を増やすと、熱伝達率は向上します。最初の2つの選択肢を変えることが、現実的または経済的でない場合があります。そのため、物体にフィンを追加すると表面積が増加し、熱伝達の問題に対する経済的な解決策となる場合があります。

一体型フィン付きヒートシンクは、押し出し、鋳造、スカイビング、​​またはフライス加工によって製造されます。

一般的なケース

フィンの熱伝達に関する扱いやすい方程式を作成するには、多くの仮定を行う必要があります。

1. 定常状態
2. 一定の材料特性（温度に依存しない）
3. 内部発熱なし
4. 一次元伝導
5. 均一な断面積
6. 表面積全体にわたる均一な対流

これらの仮定のもと、エネルギー保存則を用いてフィンの微分断面積に対するエネルギーバランスを求めることができる。^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\dot {Q}}(x+dx)={\dot {Q}}(x)+d{\dot {Q}}_{conv}.}$

フーリエの法則によれば

${\displaystyle {\dot {Q}}(x)=-kA_{c}\left({\frac {dT}{dx}}\right),}$

ここで、は微分要素の断面積である。さらに、対流熱流束は熱伝達係数hの定義によって決定される。 ${\displaystyle A_{c}}$

${\displaystyle q''=h\left(T-T_{\infty }\right),}$

ここで、周囲温度である。対流熱流束差はフィン断面積Pの周囲長から求められる。 ${\displaystyle T_{\infty}}$

${\displaystyle d{\dot {Q}}_{conv}=Ph\left(T-T_{\infty }\right)dx.}$

エネルギー保存の式は温度で表すことができる。

${\displaystyle -kA_{c}\left.\left({\frac {dT}{dx}}\right)\right\vert _{x+dx}=-kA_{c}\left.\left({\frac {dT}{dx}}\right)\right\vert _{x}+Ph\left(T-T_{\infty }\right)dx.}$

この式を整理し、導関数の定義を用いると、温度に関する次の微分方程式が得られる。

${\displaystyle k{\frac {d}{dx}}\left(A_{c}{\frac {dT}{dx}}\right)-Ph\left(T-T_{\infty }\right)=0}$ ;

左辺の導関数はフィン方程式の最も一般的な形に展開できる。

${\displaystyle kA_{c}{\frac {d^{2}T}{dx^{2}}}+k{\frac {dA_{c}}{dx}}{\frac {dT}{dx}}-Ph\left(T-T_{\infty }\right)=0.}$

断面積、周囲長、温度はすべて x の関数になります。

均一な断面積

フィンの長さに沿って断面積が一定であれば、面積と周囲長は一定となり、温度に関する微分方程式は次のように大幅に簡略化される。

${\displaystyle {\frac {d^{2}T}{dx^{2}}}={\frac {hP}{kA_{c}}}\left(T-T_{\infty }\right).}$

ここで、 および です。定数および は、適切な境界条件を適用することで見つけることができます。 ${\displaystyle m^{2}={\frac {hP}{kA_{c}}}}$ ${\displaystyle \theta (x)=T(x)-T_{\infty}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

ソリューション

フィンの基部は通常、一定の基準温度 に設定されます。しかし、フィン先端（ ）には、一般的に4つの状態が考えられます。先端は対流熱伝達にさらされる場合、断熱されている場合、一定温度に保たれている場合、または基部から十分に離れているため周囲温度に達する場合です。 ${\displaystyle \theta_{b}(x=0)=T_{b}-T_{\infty}}$ ${\displaystyle x=L}$

最初のケースでは、2番目の境界条件は先端に自由対流があることである。したがって、

${\displaystyle hA_{c}\left(T(L)-T_{\infty }\right)=-kA_{c}\left.\left({\frac {dT}{dx}}\right)\right\vert _{x=L},}$

これは次のように単純化される

${\displaystyle h\theta (L)=-k\left.{\frac {d\theta }{dx}}\right\vert _{x=L}.}$

2つの境界条件を組み合わせると、

${\displaystyle h\left(C_{1}e^{mL}+C_{2}e^{-mL}\right)=km\left(C_{2}e^{-mL}-C_{1}e^{mL}\right).}$

この方程式を定数について解くと、温度分布がわかります。温度分布は以下の表のとおりです。 ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

同様のアプローチを用いて、残りのケースの積分定数を求めることができます。2番目のケースでは、先端は断熱されている、つまり熱流束がゼロであると仮定します。したがって、

${\displaystyle \left.{\frac {d\theta }{dx}}\right\vert _{x=L}=0.}$

3番目のケースでは、先端の温度は一定に保たれます。したがって、境界条件は次のようになります。

${\displaystyle \theta (L)=\theta _{L}}$

4番目で最後のケースでは、フィンは無限に長いと仮定します。したがって、境界条件は次のようになります。

${\displaystyle \lim _{L\rightarrow \infty }\theta _{L}=0\,}$

最後に、フィンの根元における温度分布とフーリエの法則を用いて、全体的な熱伝達率を決定することができる。

${\displaystyle {\dot {Q}}_{\text{total}}={\sqrt {hPkA_{c}}}(C_{2}-C_{1}).}$

解決プロセスの結果は、以下の表にまとめられています。

均一断面積フィンの温度分布と熱伝達率

場合	先端条件（x=L）	温度分布	フィンの熱伝達率
あ	対流熱伝達	${\displaystyle {\frac {\theta }{\theta _{b}}}={\frac {\cosh {m(L-x)}+\left({\frac {h}{mk}}\right)\sinh {m(L-x)}}{\cosh {mL}+\left({\frac {h}{mk}}\right)\sinh {mL}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {hPkA_{c}}}\theta _{b}{\frac {\sinh {mL}+{\frac {h}{mk}}\cosh {mL}}{\cosh {mL}+{\frac {h}{mk}}\sinh {mL}}}}$
B	断熱	${\displaystyle {\frac {\theta }{\theta _{b}}}={\frac {\cosh {m(L-x)}}{\cosh {mL}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {hPkA_{c}}}\theta _{b}\tanh {mL}}$
C	一定温度	${\displaystyle {\frac {\theta }{\theta _{b}}}={\frac {{\frac {\theta _{L}}{\theta _{b}}}\sinh {mx}+\sinh {m(L-x)}}{\sinh {mL}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {hPkA_{c}}}\theta _{b}{\frac {\cosh {mL}-{\frac {\theta _{L}}{\theta _{b}}}}{\sinh {mL}}}}$
D	無限のフィンの長さ	${\displaystyle {\frac {\theta }{\theta _{b}}}=e^{-mx}}$	${\displaystyle {\sqrt {hPkA_{c}}}\theta _{b}}$

パフォーマンス

フィンの性能は3つの異なる方法で説明できます。1つ目はフィン効率です。これは、フィンの熱伝達率（ ）と、フィンがない場合の物体の熱伝達率の比です。計算式は次のとおりです。 ${\displaystyle {\dot {Q}}_{f}}$

${\displaystyle \epsilon _{f}={\frac {{\dot {Q}}_{f}}{hA_{c,b}\theta _{b}}},}$

ここで、はフィンの基部における断面積です。フィンの性能はフィン効率によっても特徴付けられます。これは、フィン全体が基部温度にある場合のフィンの熱伝達率に対するフィン全体の熱伝達率の比です。 ${\displaystyle A_{c,b}}$

${\displaystyle \eta _{f}={\frac {{\dot {Q}}_{f}}{hA_{f}\theta _{b}}}.}$

${\displaystyle A_{f}}$ この式における はフィンの表面積に等しい。フィン全体の温度がベース温度にあると仮定すると熱伝達率が増加するため、フィン効率は常に1未満となる。

フィンの性能を表す3つ目の方法は、全体の表面効率です。

${\displaystyle \eta _{o}={\frac {{\dot {Q}}_{t}}{hA_{t}\theta _{b}}},}$

ここで、 は総面積、はフィンのないベース面積とすべてのフィンからの熱伝達の合計です。これはフィンアレイの効率です。 ${\displaystyle A_{t}}$ ${\displaystyle {\dot {Q}}_{t}}$

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  低効率冷却フィンを備えたアルミニウムヒートシンク
• 
  高効率の冷却フィンを備えたアルミニウム ヒートシンク。

逆フィン（空洞）

開放空洞とは、隣接するフィンの間に形成される領域であり、核沸騰または凝縮を促進する重要な役割を担います。これらの空洞は通常、様々な発熱体から熱を抽出するために利用されます。2004年から現在に至るまで、多くの研究者が空洞の最適設計の探求に取り組んできました。^{[ 2 ]}

用途

フィンは、自動車のラジエーター、コンピュータのCPUヒートシンク、発電所の熱交換器などの熱交換装置に最も一般的に使用されています。^{[ 3 ] [ 4 ]}また、水素燃料電池などの新しい技術にも使用されています。^{[ 5 ]}自然界でもフィンの現象が利用されています。ジャックウサギやフェネックギツネの耳は、フィンとして機能し、そこを流れる血液から熱を放出します。^{[ 6 ]}

参考文献

1. リーンハルト、ジョン H. IV;ジョン HV リーンハルト (2019)。伝熱教科書（第5版）。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバーパブ。
2. Lorenzini, G.; Biserni, C.; Rocha, LAO (2011). 「ベジャン理論による等温空洞の形状最適化」. International Journal of Heat and Mass Transfer . 54 ( 17–18 ): 3868– 3873. Bibcode : 2011IJHMT..54.3868L . doi : 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2011.04.042 .
3. 「ラジエーターフィン機械」 FinTool International . 2006年9月18日閲覧。
4. 「チャート熱交換器の設計」チャート。2006年10月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006年9月16日閲覧。
5. 「VII.H.4 PEM燃料電池用熱・水管理システムの開発」（PDF） Guillermo Pont . 2006年9月17日閲覧。
6. Hill, R.; Veghte, J. (1976). 「ジャックラビットの耳：表面温度と血管反応」. Science . 194 (4263): 436– 438. Bibcode : 1976Sci...194..436H . doi : 10.1126/science.982027 . PMID 982027 . 

• インクロペラ, フランク; デウィット, デイビッド P.; バーグマン, セオドア L.;ラヴィーン, アドリエンヌ S. (2007). 『熱と物質移動の基礎』（第6版）. ニューヨーク: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp.  2-168 . ISBN 978-0-471-45728-2。