局所的にコンパクトな空間の中心

位相幾何学において、局所コンパクト空間の核は局所コンパクト空間の基数不変量であり、 と表記される。可算核を持つ局所コンパクト空間は、σ-コンパクト局所コンパクト空間を一般化する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cor} (X)}$

この概念はアレクサンダー・アルハンゲルスキーによって提唱された。^{[ 1 ] [ 2 ]}

局所的にコンパクトな空間の中心

を局所コンパクトかつハウスドルフ空間とする。部分集合が飽和であるとは、それが に閉じており、任意の閉非コンパクト部分集合 に対してを満たすことを 意味する。^{[ 3 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\cap P\neq \emptyset }$ ${\displaystyle P\subseteq X}$

核とは、次 を満たす の飽和部分集合の族が存在するような最小の基数である。^{[ 3 ]}${\displaystyle \operatorname {cor} (X)}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \gamma =(\gamma _{j})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |\gamma |\leq \tau }$ ${\displaystyle \bigcap _{j}\gamma _{j}=\emptyset }$

コアが可算であるとは、 のときである。離散空間のコアが可算なのは、 が可算なときのみである。 ${\displaystyle \operatorname {cor} (X)\leq \omega }$ ${\displaystyle X}$

プロパティ

• 任意の局所コンパクト リンデレフ空間のコアは可算です。
• が可算核を持つ局所コンパクトである場合、の任意の閉離散部分集合は可算である。これは${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle e(X)=\{Y:Y{\text{ は }}X\}} の閉じた離散部分集合である$

可算名詞です。

• 可算核を持つ局所コンパクト空間は、広い範囲の条件下でσコンパクトである。^{[ 4 ]}
• のサブセットが内側からコンパクトであるとは、そのサブセットが閉じているすべてのサブセットがコンパクトであることを意味します。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
• 局所コンパクト空間が可算コアを持つとは、内部からコンパクトである集合の可算な開被覆が存在することを意味する。^{[ 5 ]}${\displaystyle X}$

参考文献

1. Arhangel'skii, Alexander (2007). 「可算核の局所コンパクト空間とアレクサンドロフコンパクト化」.トポロジーとその応用. 154 (3): 625– 634. doi : 10.1016/j.topol.2005.05.011 . ISSN  0166-8641 .
2. Tall, Franklin D. (2010). 「Arhangel'skiĭの中核概念について」.位相幾何学とその応用. 157 (8): 1541– 1547. doi : 10.1016/j.topol.2009.05.018 .
3. Arhangel'skii 2007、626ページ。
4. Arhangel'skii 2007、627–628頁。
5. Tall 2010、1541ページ。