費用分担の仕組み
Design concept in economics

経済学とメカニズム設計において、費用分担メカニズムとは、複数の主体が公共製品またはサービスの範囲と、各主体がそれに対して支払うべき金額を決定するプロセスです。限界費用が一定の場合、費用分担は容易です。この場合、サービスを希望する各主体は、それぞれの限界費用を支払うだけです。限界費用が一定でない場合、費用分担はより重要になります。限界費用が増加すると、主体は互いに負の外部性を課し、限界費用が減少すると、主体は互いに正の外部性を課します（以下の例を参照）。費用分担メカニズムの目的は、この外部性を主体間で分配することです。

製品/サービスの種類とコスト関数の種類に応じて、さまざまなコスト共有メカニズムが存在します。

分割可能な製品、限界費用の増加

この設定[1]では、複数の主体が生産技術を共有します。彼らは生産量と生産コストの分担方法を決定する必要があります。この技術には限界費用が逓増する性質があり、生産量が増えるほど、より多くのユニットを生産することが困難になります（つまり、費用は需要の凸関数です）。

コスト関数の例は次のとおりです。

  • 最初の 10 ユニットについては 1 ユニットあたり 1 ドル。
  • 追加ユニットごとに 1 ユニットあたり 10 ドル。

したがって、要求が 3、6、10 であるエージェントが 3 人いる場合は、合計コストは 100 ドルになります。

定義

コスト共有問題は次の関数によって定義されます。ここで、iはエージェント、Q は製品の量です。

  • 需要( i ) = エージェントiが受け取りたい量。
  • コスト( Q ) =製品のQ単位を生産するためのコスト。

コスト共有問題の解決策は、サービスを受けるエージェントごとに支払う金額によって定義され、合計支払額が合計コストと等しくなります。 Pay ( i ) {\displaystyle {\text{Pay}}(i)}

∑ i Pay ( i ) = Cost ( D ) {\displaystyle \sum _{i}{\text{Pay}}(i)={\text{Cost}}{\big (}D{\big )}} ;

ここで、Dは総需要です。

D := ∑ i Demand ( i ) {\displaystyle D:=\sum _{i}{\text{Demand}}(i)}

いくつかの費用分担の解決策が提案されています。

平均費用分担

規制独占企業のコスト価格設定に関する文献[2] [3]では、各エージェントが平均コストを支払うと仮定するのが一般的です。つまり、

Pay ( i ) = Cost ( D ) ⋅ Demand ( i ) / D {\displaystyle {\text{Pay}}(i)={\text{Cost}}(D)\cdot {\text{Demand}}(i)/D}

上記の例では、支払額は 15.8 (需要 3 の場合)、31.6 (需要 6 の場合)、52.6 (需要 10 の場合) となります。

この費用分担方法にはいくつかの利点があります。

  • この方法は、2つのエージェントが公然と需要を1つのスーパーエージェントに統合したり、1つのエージェントが公然と需要を2つのサブエージェントに分割したりするような操作の影響を受けません。実際、このような操作の影響を受けない唯一の方法です。[4] [5]
  • 2 人のエージェントが秘密裏にコストと製品を相互に転送する操作の影響を受けません。
  • 各主体は、少なくとも自身の独立費用、つまり他の主体が存在しなかった場合に支払っていたであろう費用を支払う。これは連帯の尺度であり、いかなる主体も負の外部性から利益を得るべきではない。

ただし、欠点もあります。

  • エージェントは、全会一致のコスト（他のすべてのエージェントが同じ需要を持っていた場合に支払うはずだったコスト）よりも高い金額を支払う場合があります。

これは公平性の尺度です。どのエージェントも負の外部効果によって過度に苦しむべきではありません。上記の例では、需要3のエージェントは、もし他のすべてのエージェントが自分と同じくらい控えめであれば、負の外部効果は発生せず、各エージェントは1単位あたり1ドルしか支払わなかったはずなので、これ以上の金額を支払う必要はないと主張することができます。

限界費用分担

限界費用分担では、各エージェントの支払いは、そのエージェントの需要と現在の生産状態における限界費用によって決まります。

Pay ( i ) = Demand ( i ) ⋅ Cost ′ ( D ) + 1 n ( Cost ( D ) − D ⋅ C o s t ′ ( D ) ) {\displaystyle {\text{Pay}}(i)={\text{Demand}}(i)\cdot {\text{Cost}}'(D)+{1 \over n}{\big (}{\text{Cost}}(D)-D\cdot Cost'(D){\big )}}

上記の例では、支払額は 0 (需要 3 の場合)、30 (需要 6 の場合)、70 (需要 10 の場合) です。

この方法は、エージェントが最大で全員一致のコスト、つまり他のすべてのエージェントが同じ需要を持っていた場合に支払うはずだったコストを支払うことを保証します。

しかし、エージェントが支払う金額は、その単独費用よりも少ない場合があります。上記の例では、需要3のエージェントは何も支払いません（場合によっては、エージェントが負の値を支払うことさえあります）。

連続費用分担

連続費用分担[1]は次のようなプロセスの結果として説明できる。

  • 時刻 0 に、すべてのエージェントが部屋に入ります。
  • 機械は1分間に1ユニットの生産を開始します。
  • 生産されたユニットとそのコストは、部屋内のすべてのエージェント間で均等に分割されます。
  • エージェントは自分の要求が満たされたと感じると、部屋から退出します。

したがって、エージェントを需要の昇順で並べると次のようになります。

  • エージェント1（需要が最も低い）は以下を支払います。
C o s t ( n ⋅ Demand ( 1 ) ) n {\displaystyle {Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n}} ;
  • エージェント2が支払う金額:
C o s t ( n ⋅ Demand ( 1 ) ) n {\displaystyle {Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n}} プラス ; C o s t ( Demand ( 1 ) + ( n − 1 ) Demand ( 2 ) ) − C o s t ( n ⋅ Demand ( 1 ) ) n − 1 {\displaystyle {Cost({\text{Demand}}(1)+(n-1){\text{Demand}}(2))-Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n-1}}

等々。

この方法は、各エージェントが少なくともそのスタンドアロンコストを支払い、最大でその全員一致コストを支払うことを保証します。

しかし、エージェントの分割や統合、あるいはエージェント間の入出力の転送の影響を受けないわけではありません。したがって、そのような転送が不可能な場合（例えば、ケーブルテレビや電話サービスなど）にのみ意味を持ちます。

バイナリサービス、限界費用の減少

この設定[6]では、 二者択一のサービス、つまり各エージェントがサービスを受けるか受けないかのどちらかが存在します。サービスの費用は、より多くのエージェントにサービスを提供すると高くなりますが、各エージェントに個別にサービスを提供する場合よりも限界費用は小さくなります（つまり、費用はサブモジュラー集合関数です）。典型的な例として、水源の近くに住み、次の距離にある2人のエージェント、アリスとジョージを考えてみましょう。

  • ソース-アリス：8 km
  • ソースジョージ：7 km
  • アリス・ジョージ：2 km

水道管1キロメートルあたりの費用が1,000ドルだと仮定します。次のような選択肢があります。

  • 誰も接続されていないため、コストは 0 です。
  • ジョージだけが接続されています。コストは 7000 ドルです。
  • Alice のみが接続されています。コストは 8000 ドルです。
  • アリスとジョージは両方とも接続されています。パイプはソースからジョージへ、そしてアリスへ向かうため、コストは9000ドルです。これは、ジョージとアリスのコストの合計よりもはるかに安価であることに注意してください。

これら 4 つのオプションの選択は、エージェントの評価、つまり各エージェントが水源への接続に対して支払う意思のある金額によって決まります。

目標は、エージェントが本当の支払い意思を明らかにするように誘導する 誠実なメカニズムを見つけることです。

定義

コスト共有問題は次の関数によって定義されます。ここで、iはエージェント、Sはエージェントのサブセットです。

  • 価値( i ) = エージェントiがサービスを享受するために支払ってもよいと思う金額。
  • Cost( S ) = S内のすべてのエージェントのみにサービスを提供するコスト。例えば、上記の例ではCost({Alice,George})=9000となります。

コスト共有問題の解決策は次のように定義されます。

  • サービスを受けるべきエージェントのサブセットS。
  • サービスを受けたエージェントごとに支払われます。 Pay ( i ) {\displaystyle {\text{Pay}}(i)}

ソリューションは次のような特徴を持ちます。

  • 解決策の予算余剰は、総支払額から総費用を差し引いたものです。予算が均衡することを目指します。つまり、余剰はちょうど0になるはずです。 S u r p l u s := ∑ i ∈ S Pay ( i ) − Cost ( S ) {\displaystyle Surplus:=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}}(S)}
  • 解決策の社会的厚生は、総効用から総費用を差し引いたものです。私たちは、社会的厚生が最大化されることを意味する効率性を実現したいと考えています。 W e l f a r e := ∑ i ∈ S Value ( i ) − Cost ( S ) {\displaystyle Welfare:=\sum _{i\in S}{\text{Value}}(i)-{\text{Cost}}(S)}

真実性、予算の均衡、効率性を同時に達成することは不可能であるため、真実性メカニズムには 2 つの種類があります。

償還メカニズム - 予算は均衡しているが効率的ではない

予算均衡型費用分担メカニズムは、関数Payment( i , S )によって定義できます。これは、サービス提供対象エージェントのサブセットがSである場合に、エージェントi が支払うべき支払額です。この関数は、以下の2つの特性を満たす必要があります。

  • 予算均衡：任意のサブセットによる総支払額は、そのサブセットへのサービス提供にかかる総費用に等しい：。したがって、単一のエージェントにサービス提供する場合、そのエージェントは自身の費用をすべて支払う必要があるが、2人以上のエージェントにサービス提供する場合、サブモジュラリティにより、各エージェントは個々の費用よりも少ない金額を支払う可能性がある。 ∀ S : ∑ i ∈ S Payment ( i , S ) = Cost ( S ) {\displaystyle \forall S:\sum _{i\in S}{\text{Payment}}(i,S)={\text{Cost}}(S)}
  • 人口の単調性: サービスを受けるエージェントのサブセットが縮小すると、エージェントの支払いは弱く増加します。 T ⊇ S ⟹ Payment ( i , T ) ≤ Payment ( i , S ) {\displaystyle T\supseteq S\implies {\text{Payment}}(i,T)\leq {\text{Payment}}(i,S)}

このような関数に対して、サブモジュラコストを伴うコストシェアリング問題は、次のようなタトネメントプロセスによって解くことができる。[6]

  1. 最初に、S をすべてのエージェントの集合とします。
  2. 各エージェントiにPayment( i , S )を支払うように指示します。
  3. 価格を支払う意思のないエージェントはそれぞれSを離れます。
  4. いずれかのエージェントがSを離れた場合は、手順 2 に戻ります。
  5. それ以外の場合は、 Sに残っているエージェントを終了してサービスします。

人口単調性により、人々がSを離れると価格は必ず上昇することに注意してください。したがって、エージェントはSに戻りたがらないため、このメカニズムは真実性を有します（このプロセスはイングリッシュオークションに似ています）。真実性に加えて、このメカニズムには以下の利点があります。

  • グループ戦略耐性- エージェントのグループは、虚偽の報告によって利益を得ることはできません。
  • 積極的な譲渡はありません。サービスを受けるためにエージェントに金銭が支払われることはありません。
  • 個人的合理性- 参加によって価値を失うエージェントはいない（特に、サービスを受けていないエージェントは何も支払わず、サービスを受けているエージェントは最大で自分の評価額を支払う）。
  • 消費者主権- 支払い意思が十分に大きい場合、すべての主体はサービスを受けることを選択できます。

さらに、適切な支払い関数を用いることで、予算均衡、非正の移転、個人合理性、消費者主権、集団戦略耐性を満たすあらゆるメカニズムを導くことができる。 [6] ：命題1 

メカニズムは、公平性や効率性といった目標を達成するために、支払い関数を選択することができます。エージェントが平等な事前権利を有する場合、合理的な支払い関数には以下のようなものがあります。

  • Shapley値では、たとえば 2 人のエージェントの場合、両方のエージェントにサービスが提供されたときの支払いは次のようになります: Payment(Alice、Both) = [Cost(Both)+Cost(Alice)-Cost(George)]/2、Payment(George、Both) = [Cost(Both)+Cost(George)-Cost(Alice)]/2。
  • 平等主義的解決法[7] 、例えば、Payment(Alice,Both) = median[Cost(Alice), Cost(Both)/2, Cost(Both)-Cost(George)]、Payment(George,Both) = median[Cost(George), Cost(Both)/2, Cost(Both)-Cost(Alice)]。
  • エージェントが異なる権利を有する場合（例えば、一部のエージェントが他のエージェントよりも上位である場合）、最上位のエージェントに限界費用のみを請求することが可能です。例えば、ジョージが上位の場合、ジョージを含まないすべてのサブセットSについて、Payment(George,S+George) = Cost(S+George)−Cost(S)となります。同様に、次に上位のエージェントは自身の限界費用のみを支払うことができ、以下同様に続きます。

上記の費用分担メカニズムは効率的ではない。必ずしも社会厚生が最も高い配分が選択されるわけではない。しかし、支払い関数をシャプレー値に選択すれば、厚生の損失は最小化される。[6] ：命題2 

VCGメカニズム - 効率的だが予算のバランスが取れていない

費用分担メカニズムの別のクラスとして、VCGメカニズムがあります。VCGメカニズムは常に社会的に最適な配分、つまりサービスを受けるエージェントの総効用からサービス提供コストを差し引いたものを最大化する配分を選択します。そして、各エージェントは他のエージェントの厚生を受け取り、他のエージェントの評価のみに依存する金額を支払います。さらに、すべてのVCGメカニズムは消費者主権という性質を満たしています。

非正の移転と個人合理性の要件も満たす単一のVCGメカニズムが存在します。それは限界費用価格設定メカニズムです。[6] ：命題3 これは、サービスを受けていない各エージェントが何も支払わず、サービスを受けている各エージェントが支払う特別なVCGメカニズムです。

P a y ( i ) = V a l u e ( i ) − [ W e l f a r e ( A l l ) − W e l f a r e ( A l l ∖ { i } ) ] {\displaystyle Pay(i)=Value(i)-[Welfare(All)-Welfare(All\setminus \{i\})]}

つまり、各エージェントは自身の価値を支払う一方で、その存在によってもたらされる福祉を享受する。したがって、エージェントの利益は社会の利益（社会福祉の最大化）と一致するため、このメカニズムは真実であると言える。

このメカニズムの問題点は、予算が均衡していない、つまり赤字であることです。上記の水道管の例を考えてみましょう。アリスとジョージの両方がサービスを10,000ドルと評価しているとします。アリスだけがサービスを受けている場合、福祉は10,000-8,000=2,000です。ジョージだけがサービスを受けている場合、福祉は10,000-7,000=3,000です。両方がサービスを受けている場合、福祉は10,000+10,000-9,000=11,000です。したがって、限界費用価格設定メカニズムは両方のエージェントにサービスを提供することを選択します。ジョージは10,000-(11,000-2,000)=1,000を支払い、アリスは10,000-(11,000-3,000)=2,000を支払います。合計支払額はわずか3,000で、総費用9,000を下回ります。

さらに、VCGメカニズムはグループ戦略耐性がない。エージェントは自分自身に害を及ぼすことなく、自分の評価を高めることで他のエージェントを助けることができる。[6]

参照

参考文献

  1. ^ ab Moulin, Herve; Shenker, Scott (1992). 「Serial Cost Sharing」. Econometrica . 60 (5): 1009. doi :10.2307/2951537. JSTOR  2951537.
  2. ^ ウィリアム・S・シャーキー（1982年）『自然独占の理論』ISBN 9780521243940。
  3. ^ ヤイル・タウマン、「オーマン・シャプレー価格：概観」、シャプレー価値：ロイド・S・シャプレーを称えるエッセイ集、第18章。1988年。ISBN 9781107714892。
  4. ^ Moulin, H. (1987). 「剰余金の均等割または比例割、およびその他の方法」.国際ゲーム理論ジャーナル. 16 (3): 161– 186. doi :10.1007/BF01756289.、備考2、168ページ
  5. ^ オニール、バリー (1982). 「タルムードにおける権利仲裁の問題」.数学社会科学. 2 (4): 345– 371. CiteSeerX 10.1.1.709.7342 . doi :10.1016/0165-4896(82)90029-4. 
  6. ^ abcdef ムーラン、エルヴェ；シェンカー、スコット (2001). 「サブモジュラー費用の戦略的証明に基づく共有：予算均衡と効率性」経済理論. 18 (3): 511. CiteSeerX 10.1.1.25.4285 . doi :10.1007/PL00004200. 
  7. ^ Dutta, Bhaskar; Ray, Debraj (1989). 「参加制約下における平等主義の概念」. Econometrica . 57 (3): 615. doi :10.2307/1911055. JSTOR  1911055.
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