クーロン波動関数

Mathematica 13.1 で、反発相互作用と引力相互作用を持つ 0 から 20 までの不規則クーロン波動関数 G をプロットしました。

通常のクーロン波動関数の複素プロットの画像を追加しました

数学において、クーロン波動関数はクーロン波動方程式の解であり、シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンにちなんで名付けられました。クーロン波動関数はクーロンポテンシャル中の荷電粒子の挙動を記述するために用いられ、合流型超幾何関数または虚数偏角のウィテカー関数で表すことができます。

クーロン波動方程式

質量を持つ単一の荷電粒子に対するクーロン波動方程式は、クーロンポテンシャルを持つシュレーディンガー方程式である^{[ 1 ]}${\displaystyle m}$

${\displaystyle \left(-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\frac {Z\hbar c\alpha }{r}}\right)\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})\,,}$

ここで、は粒子の電荷と電場源の電荷の積（水素原子の素電荷を単位とする）、は微細構造定数、は粒子のエネルギーである。この方程式を放物座標系で解くことで、クーロン波動関数が得られる。 ${\displaystyle Z=Z_{1}Z_{2}}$ ${\displaystyle Z=-1}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \hbar ^{2}k^{2}/(2m)}$

${\displaystyle \xi =r+{\vec {r}}\cdot {\hat {k}},\quad \zeta =r-{\vec {r}}\cdot {\hat {k}}\qquad ({\hat {k}}={\vec {k}}/k)\,.}$

選択された境界条件に応じて、解は異なる形をとる。2つの解は^{[ 2 ] [ 3 ]である。}

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})=\Gamma (1\pm i\eta )e^{-\pi \eta /2}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}M(\mp i\eta ,1,\pm ikr-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})\,,}$

ここでは合流型超幾何関数、はガンマ関数である。ここで用いられる2つの境界条件は以下の通りである。 ${\displaystyle M(a,b,z)\equiv {}_{1}\!F_{1}(a;b;z)}$ ${\displaystyle \eta =Zmc\alpha /(\hbar k)}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})\rightarrow e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\qquad ({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\rightarrow \pm \infty )\,,}$

これらはそれぞれ、原点における場の源への接近前と接近後の、 -方向の平面波の漸近状態に対応する。これらの関数は、次の式によって互いに関連している 。${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}}$

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}=\psi _{-{\vec {k}}}^{(-)*}\,.}$

部分波の拡大

波動関数は部分波（つまり角度基底に関して）に展開され、角度に依存しないラジアル関数が得られる。ここで。 ${\displaystyle \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})}$ ${\displaystyle w_{\ell }(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle \rho =kr}$

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,.}$

展開の単一の項は、特定の球面調和関数とのスカラー積によって分離することができる。

${\displaystyle \psi _{k\ell m}({\vec {r}})=\int \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})Y_{\ell }^{m}({\hat {k}})d{\hat {k}}=R_{k\ell }(r)Y_{\ell }^{m}({\hat {r}}),\qquad R_{k\ell }(r)=4\pi i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )/r.}$

単一部分波の方程式は、クーロン波動方程式のラプラシアンを球座標系で書き直し、その方程式を特定の球面調和関数に投影することによって得られる。${\displaystyle w_{\ell }(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}w_{\ell }}{d\rho ^{2}}}+\left(1-{\frac {2\eta }{\rho }}-{\frac {\ell (\ell +1)}{\rho ^{2}}}\right)w_{\ell }=0\,.}$

これらの解は、クーロン（部分）波動関数または球状クーロン関数とも呼ばれる。 をおくと、クーロン波動方程式はホイッタカー方程式に変換されるため、クーロン波動関数は虚引数およびを持つホイッタカー関数で表すことができる。後者は、合流型超幾何関数およびで表される。 に対して、特殊解^{[ 4 ]を定義する。}${\displaystyle z=-2i\rho }$ ${\displaystyle M_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )}$ ${\displaystyle W_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )=\mp 2i(-2)^{\ell }e^{\pi \eta /2}e^{\pm i\sigma _{\ell }}\rho ^{\ell +1}e^{\pm i\rho }U(\ell +1\pm i\eta ,2\ell +2,\mp 2i\rho )\,,}$

どこ

${\displaystyle \sigma _{\ell }=\arg \Gamma (\ell +1+i\eta )}$

はクーロン位相シフトと呼ばれる。また、実関数も定義される。

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2i}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )-H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,,}$

Mathematica 13.1で反発相互作用と引力相互作用を持つ0から20までの正則クーロン波動関数Fをプロットした図

${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )+H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,.}$

特に、

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {2^{\ell }e^{-\pi \eta /2}|\Gamma (\ell +1+i\eta )|}{(2\ell +1)!}}\rho ^{\ell +1}e^{i\rho }M(\ell +1+i\eta ,2\ell +2,-2i\rho )\,.}$

球状クーロン関数、、の漸近的挙動は、大体において、 ${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )\sim e^{\pm i\theta _{\ell }(\rho )}\,,}$

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \sin \theta _{\ell }(\rho )\,,}$

${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \cos \theta _{\ell }(\rho )\,,}$

どこ

${\displaystyle \theta _{\ell }(\rho )=\rho -\eta \log(2\rho )-{\frac {1}{2}}\ell \pi +\sigma _{\ell }\,.}$

解は入射球面波と出射球面波に対応する。解とは実数であり、正則クーロン波動関数と不規則クーロン波動関数と呼ばれる。特に、波動関数には次のような部分波動展開が存在する^{[ 5 ]。}${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})}$

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{\rho }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }e^{i\sigma _{\ell }}F_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,,}$

極限では、正則/不規則クーロン波動関数は球面ベッセル関数に比例し、球面クーロン関数は球面ハンケル関数に比例する。${\displaystyle \eta \to 0}$ ${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )}$

${\displaystyle F_{\ell }(0,\rho )/\rho =j_{\ell }(\rho )}$

${\displaystyle G_{\ell }(0,\rho )/\rho =-y_{\ell }(\rho )}$

${\displaystyle H_{\ell }^{(+)}(0,\rho )/\rho =i\,h_{\ell }^{(1)}(\rho )}$

${\displaystyle H_{\ell }^{(-)}(0,\rho )/\rho =-i\,h_{\ell }^{(2)}(\rho )}$

球面ベッセル関数と同様に正規化される

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }j_{l}(k\,r)j_{l}(k'r)\,r^{2}dr=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {F_{\ell }\left(\pm {\frac {1}{a_{0}k}},k\,r\right)}{k\,r}}{\frac {F_{\ell }\left(\pm {\frac {1}{a_{0}k'}},k'r\right)}{k'r}}\,r^{2}dr={\frac {\pi }{2k^{2}}}\delta (k-k')}$

他の 3 つについても同様です。

クーロン関数の性質

与えられた角運動量に対する動径方向の部分は直交する。波数スケール（kスケール）で正規化すると、連続動径波動関数は^{[ 6 ] [ 7 ]を満たす。}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (k-k')}$

連続波動関数の他の一般的な正規化は、縮約波数スケール（-スケール）である。 ${\displaystyle k/2\pi }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=2\pi \delta (k-k')\,,}$

そしてエネルギースケールにおいて

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{E\ell }^{\ast }(r)R_{E'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (E-E')\,.}$

前の節で定義した動径波動関数は次のように正規化される。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr={\frac {(2\pi )^{3}}{k^{2}}}\delta (k-k')}$

正常化の結果として

${\displaystyle \int \psi _{\vec {k}}^{\ast }({\vec {r}})\psi _{{\vec {k}}'}({\vec {r}})d^{3}r=(2\pi )^{3}\delta ({\vec {k}}-{\vec {k}}')\,.}$

連続（または散乱）クーロン波動関数もすべてのクーロン束縛状態と直交する^{[ 8 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{n\ell }(r)r^{2}dr=0}$

異なる固有値を持つ 同じエルミート演算子（ハミルトニアン）の固有状態であるためです。

さらに読む

• ベイトマン、ハリー（1953）、高等超越関数（PDF）、第1巻、マグロウヒル、2011年8月11日にオリジナル（PDF）からアーカイブ、 2011年7月30日取得。
• イェーガー, JC; ヒューム, HR (1935)、「γ線の内部転換による電子と陽電子の生成」、ロンドン王立協会紀要、シリーズA、数学・物理科学、148 (865): 708– 728、Bibcode : 1935RSPSA.148..708J、doi : 10.1098/rspa.1935.0043、ISSN  0080-4630、JSTOR  96298
• スレーター、ルーシー・ジョーン（1960）『合流型超幾何関数』ケンブリッジ大学出版局、MR  0107026。

参考文献

1. Hill, Robert N. (2006), Drake, Gordon (ed.), Handbook of atomic, molecular and optical physics , Springer New York, pp.  153– 155, doi : 10.1007/978-0-387-26308-3 , ISBN 978-0-387-20802-2
2. Landau, LD; Lifshitz, EM (1977), Course of theory physics III: Quantum mechanics, Non-relativistic theory (3rd ed.), Pergamon Press, p. 569
3. メサイア、アルバート（1961年）、量子力学、ノースホランド出版、485ページ
4. ガスパール、デイヴィッド（2018）、「クーロン波動関数間の接続式」、J. Math. Phys.、59（11）：112104、arXiv：1804.10976、doi：10.1063 / 1.5054368
5. メサイア、アルバート（1961年）、量子力学、ノースホランド出版、426ページ
6. Formánek、Jiří ( 2004)、量子論入門 I (チェコ語) (第 2 版)、プラハ: アカデミア、 128–130ページ 
7. Landau, LD; Lifshitz, EM (1977), Course of theory physics III: Quantum mechanics, Non-relativistic theory (3rd ed.), Pergamon Press, p. 121
8. Landau, LD; Lifshitz, EM (1977), Course of theory physics III: Quantum mechanics, Non-relativistic theory (3rd ed.), Pergamon Press, pp.  668– 669