可算コンパクト空間

数学において、すべての可算開被覆が有限部分被覆を持つ場合、 位相空間は可算コンパクトと呼ばれます

同値な定義

位相空間Xは、以下の同値な条件のいずれかを満たす場合、 可算コンパクトと呼ばれる。 ^{[1] [2]}

(1) Xのすべての可算開被覆には有限部分被覆がある。

（２）X内の任意の無限集合 AはX内にω-集積点を持つ。

（３）X内の全てのシーケンスはX内に集積点を持つ。

(4) 交差が空であるXの閉部分集合の可算族には、交差が空である有限部分族が存在する。

同値性の証明

(1) (2):${\displaystyle \Rightarrow}$ (1) が成り立ち、Aが - 集積点を持たないXの無限部分集合であると仮定する。必要であればAの部分集合を取ることで、 Aは可算であると仮定できる。xはω-集積点でないので、すべての は有限（空の可能性もある）となるような開近傍を持つ。Aのすべての有限部分集合Fに対してを定義する。すべての はのいずれかの部分集合であるため、被覆Xとなる。それらの数は可算数個あるため、 はXの可算な開被覆を形成する。しかし、すべての は有限部分集合（つまりF ）内でA と交差するため、それらの有限数はA を覆うことはできず、ましてやX を覆うことはできない。この矛盾は (2) を証明している ${\displaystyle \omega}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle O_{x}}$ ${\displaystyle O_{x}\cap A}$ ${\displaystyle O_{F}=\cup \{O_{x}:O_{x}\cap A=F\}}$ ${\displaystyle O_{x}}$ ${\displaystyle O_{F}}$ ${\displaystyle O_{F}}$ ${\displaystyle O_{F}}$ ${\displaystyle O_{F}}$ (2) (3):${\displaystyle \Rightarrow}$ (2) が成り立ち、Xの系列をとする。系列に無限回出現する値xがある場合、その値は系列の集積点となる。そうでない場合、系列内の各値は有限回しか出現せず、集合は無限であるため、ω-集積点xが存在する。このxは系列の集積点となる。これは容易に確認できる。 ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ ${\displaystyle A=\{x_{n}:n\in \mathbb{N} \}}$ (3) (1):${\displaystyle \Rightarrow}$ (3) が成り立ち、 が有限部分被覆を持たない可算開被覆であるとする。すると、各 に対して に含まれない点を 1 つ選ぶことができる。この列には集積点xがあり、x は何らかの に含まれる。しかし、 はのいずれの も含まないxの近傍であるため、結局x は列の集積点ではない。この矛盾は (1) を証明している。 ${\displaystyle \{O_{n}:n\in \mathbb{N} \}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}\in X}$ ${\displaystyle \cup _{i=1}^{n}O_{i}}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ ${\displaystyle O_{k}}$ ${\displaystyle O_{k}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n>k}$ (4) (1):${\displaystyle \Leftrightarrow}$ 条件(1)と(4)は補語を取れば簡単に同等であることが分かる。

例

• 最初の非可算順序数（順序位相を持つ）は、コンパクトではない可算コンパクト空間の例です。^[3]

特性

• すべてのコンパクトな空間は可算コンパクトである
• 可算コンパクト空間がコンパクトであるのは、それがリンデレフである場合に限ります。
• すべての可算コンパクト空間は極限点コンパクトです。
• T1空間の場合、可算コンパクト性と極限点コンパクト性は同等です。
• 全ての順次コンパクト空間は可算コンパクトである。^[4] 逆は成り立たない。例えば、連続多閉区間と積位相の積はコンパクトであり、したがって可算コンパクトであるが、順次コンパクトではない。^[5]${\displaystyle [0,1]}$
• 第一可算空間においては、可算コンパクト性と順序コンパクト性は同値である。^{[6]より一般的には、}順序空間 についても同様のことが成り立つ。^[7]
• 計量化可能空間において、可算コンパクト性、逐次コンパクト性、極限点コンパクト性、コンパクト性はすべて同値である。第二可算 ハウスドルフ空間についても同様である。
• 標準位相を持つすべての実数の集合の例は、局所コンパクト性、σ コンパクト性、パラコンパクト性のいずれも可算コンパクト性を意味しないことを示しています。
• 可算コンパクト空間の閉部分空間は可算コンパクトである。^[8]
• 可算コンパクト空間の連続像は可算コンパクトである。^[9]
• すべての可算コンパクト空間は擬コンパクトです。
• 可算コンパクト空間では、空でない部分集合のすべての局所有限族は有限である。^{[10] [11]}
• 全ての可算コンパクトパラコンパクト空間はコンパクトである。^{[12] [11]} より一般的には、全ての可算コンパクトメタコンパクト空間はコンパクトである。^[13]
• 任意の可算コンパクトハウスドルフ 第一可算空間は正則である。^{[14] [15]}
• すべての通常の可算コンパクト空間はコレクション的に通常の空間です。
• コンパクト空間と可算コンパクト空間の積は可算コンパクトである。^{[16] [17]}
• ２つの可算コンパクト空間の積は可算コンパクトである必要はない。^[18]

参照

• 逐次コンパクト空間
• コンパクト空間
• 極限点コンパクト
• リンデレフ空間

注釈

1. Steen & Seebach、19ページ
2. 「一般位相幾何学 - 逐次コンパクト性は可算コンパクト性を意味するか？」
3. Steen & Seebach 1995、例42、68ページ。
4. スティーン＆シーバッハ、20ページ
5. スティーン＆シーバッハ、例105、125ページ
6. ウィラード、問題17G、125ページ
7. クレムサター、テリー・フィリップ（1972）、シーケンシャルスペース法（論文）、ブリティッシュコロンビア大学、doi：10.14288 / 1.0080490定理1.20
8. ウィラード、問題17F、125ページ
9. ウィラード、問題17F、125ページ
10. エンゲルキング1989、定理3.10.3(ii)
11. 「可算コンパクト パラコンパクト空間はコンパクトである」。
12. Engelking 1989、定理5.1.20。
13. Engelking 1989、定理5.3.2。
14. Steen & Seebach、図7、25ページ
15. 「可算コンパクトで最初の可算な T2 空間が正則であることを証明してください」。
16. ウィラード、問題17F、125ページ
17. 「コンパクト空間と可算コンパクト空間の積は可算コンパクトか?」
18. Engelking、例3.10.19

参考文献

• エンゲルキング、リザード（1989年）『一般位相幾何学』ヘルダーマン出版、ベルリン。ISBN 3-88538-006-4。
• ジェームズ・マンクレス（1999年）『トポロジー』（第2版）プレンティス・ホール出版ISBN 0-13-181629-2。
• スティーン、リン・アーサー、シーバッハ、J・アーサー・ジュニア(1995) [1978].位相幾何学における反例（ 1978年版のドーバー再版）。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 978-0-486-68735-3。
• ウィラード、スティーブン (2004) [1970]、『一般位相幾何学』（ 1970年版ドーバー再版）、アディソン・ウェスリー