いとこプライム

数論では、いとこ素数とは4差の素数のことである。^{[ 1 ]} これを双子素数（2差の素数のペア）やセクシー素数（6差の素数のペア）と比較してみてほしい。

1000 未満のいとこ素数 ( OEISのシーケンスOEIS : A023200とOEIS : A046132 ) は次のとおりです。

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 443), (457, 461), (463, 467), (487, 491), (499, 503)、(613, 617)、(643, 647)、(673, 677)、(739, 743)、(757, 761)、(769, 773)、(823, 827)、(853, 857)、(859, 863)、(877, 881)、(883, 887)、(907, 911)、(937, 941)、(967, 971)

プロパティ

2 組のいとこ素数に属する唯一の素数は 7 です。数 $n 、 n + 4、 n + 8$ のいずれか 1 つは常に 3 で割り切れるので、 3 つすべてが素数となるのは $n = 3 の$ 場合のみです。

証明された大きないとこ素数ペアの例としては、 $(p, p + 4 )$ がある。

p=4111286921397\times 2^{66420}+1

これは20008桁です。実は、 $pは$ 双子素数でもあるので（ $p$ $- 2$ も証明済みの素数であるため）、これは素数三つ組の一部です。

2024年12月現在、S. Batalov によって発見された最大のいとこ素数ペアは、86,138桁です。これらの素数は以下のとおりです。

p=(29571282950\times (2^{190738}-1)+4)\times 2^{95369}-1

p+4=(29571282950\times (2^{190738}-1)+4)\times 2^{95369}+3

^{[ 2 ]}

ハーディ・リトルウッド予想が成り立つならば、いとこ素数は双子素数と同じ漸近密度を持つ。双子素数に対するブルン定数の類似物は、いとこ素数に対しても定義でき、これはいとこ素数に対するブルン定数と呼ばれ、最初の項(3, 7)を収束和によって省略したものである：^{[ 3 ]}

B_{4}=\left({\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}\right)+\left({\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}\right)+\left({\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}\right)+\cdots .

^{2 42}までのいとこ素数を用いて、 $B 4$ の値は1996年にマレク・ウルフによって次のように推定された。

B_{4}\approx 1.1970449

^{[ 4 ]}

この定数は、素数四つ子のブルン定数( $B 4$ とも表記)と混同しないでください。

いとこ素数のSkewes数は5206837である（Tóth （2019））。

注記

^ワイスタイン、エリック・W. 「カズン・プライムズ」。マスワールド。
^ Batalov, S. 「大きなセクシーな素数ペアを見つけよう」mersenneforum.org . 2022年9月17日閲覧。
^シーガル、B. (1930)。「ブランの理論の一般化」。CRアカデミー。科学。 URSS (ロシア語)。1930 : 501–507 . JFM 57.1363.06。
^ Marek Wolf (1996)、「双子素数といとこ素数について」。

参考文献

ウェルズ、デイビッド（2011年）『素数：数学における最も神秘的な数字』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、33ページ。ISBN 978-1118045718。
ファイン、ベンジャミン、ローゼンベルガー、ゲルハルト (2007).整数論：素数分布による入門. ビルクハウザー. pp. 206. ISBN 978-0817644727。
Tóth, László (2019)、「素数k組の漸近密度とハーディとリトルウッドの予想について」(PDF)、科学技術計算手法、25 (3)、arXiv : 1910.02636、doi : 10.12921/cmst.2019.0000033。
ウルフ, マレク (1998年2月). 「素数上のランダムウォーク」. Physica A: 統計力学とその応用. 250 ( 1–4 ): 335–344 . Bibcode : 1998PhyA..250..335W . doi : 10.1016/s0378-4371(97)00661-4 .

[1] ワイスタイン、エリック・W. 「カズン・プライムズ」。マスワールド。

[2] Batalov, S. 「大きなセクシーな素数ペアを見つけよう」mersenneforum.org . 2022年9月17日閲覧。

[3] シーガル、B. (1930)。「ブランの理論の一般化」。CRアカデミー。科学。 URSS (ロシア語)。1930 : 501–507 . JFM 57.1363.06。

[4] Marek Wolf (1996)、「双子素数といとこ素数について」。

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