いとこ同士の問題

数学において、カズン問題（Cousin problem）は、多変数複素関数における、局所データによって規定される有理型関数の存在に関する2つの問題である。1895年にピエール・カズンによって特殊なケースで導入された。現在では、任意の複素多様体Mに対して、 M上の条件を用いて提示され、解かれる。

どちらの問題でも、集合U _iによるMの開被覆が与えられ、各U _i上の有理型関数f _iも与えられます。

いとこ問題

最初のいとこ問題、あるいは加法いとこ問題は、各差が正則関数（ここで定義されている）であると仮定する。これは、 M上の有理型関数fであって、 U _i上で正則であるもの、すなわち、fが与えられた局所関数の特異な振る舞いを共有するものを求める。 上の与えられた条件は明らかにこのために必要であるので、問題はそれが十分かどうかを問うことに等しい。1変数の場合は、M が複素平面の開部分集合である場合の、極を規定するミッタク・レフラーの定理である。リーマン面理論は、 Mに対する何らかの制約が必要であることを示している。この問題は常にスタイン多様体上で解くことができる。 ${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$ ${\displaystyle f-f_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$

第一いとこ問題は、層コホモロジーの観点から次のように理解できる。KをM上の有理型関数の層、Oを正則関数の層とする。Kの大域切断は、商層K / Oの大域切断へと移る。この逆の問いが第一いとこ問題である。すなわち、K / Oの大域切断が与えられたとき、そこからKの大域切断が生じるか？という問いである。したがって、問題は写像の像を特徴付けることである。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi (f)}$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} )\,\xrightarrow {\phi } \,H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).}$

長完全コホモロジー列により、

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} )\,\xrightarrow {\phi } \,H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

は正確であり、したがって、第一コホモロジー群H ¹ ( M , O ) がゼロである限り、第一カズン問題は常に解ける。特に、カルタンの定理 Bにより、 Mがスタイン多様体 であれば、第一カズン問題は常に解ける。

いとこ問題

第二いとこ問題、あるいは乗法いとこ問題は、各比が定義される非零正則関数であると仮定します。この問題は、 M上の有理型関数fのうち、正則かつ非零となるものを求めます。第二いとこ問題は、零点が予め定められた一変数の正則関数の存在に関するワイエルシュトラスの定理の多次元一般化です。 ${\displaystyle f_{i}/f_{j}}$ ${\displaystyle f/f_{i}}$

この問題に対する対数を用いて加法問題へと還元するアプローチは、第一チャーン類（指数層列も参照）という形で障害に遭遇する。層論の観点から、をどこにも消滅しない正則関数の層とし、 を同値的に零ではない有理型関数の層とする。これらは両方ともアーベル群の層であり、商層は明確に定義される。乗法カズン問題は、商写像の像を特定しようとするものである。${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})。}$

商に付随する長完全層コホモロジー列は

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$

したがって、第二いとこ問題は、次の条件を満たすすべての場合に解ける。商層は、 M上のカルティエ因子の芽の層である。したがって、すべての大域切断が有理型関数によって生成されるかどうかという問題は、M上のすべての直線束が自明であるかどうかを判断することと同値である。 ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O}^{*})=0.}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$

上の乗法構造のコホモロジー群は、対数をとることによって、その加法構造のコホモロジー群と比較することができる。つまり、層の 正確な列が存在する。${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*}),}$ ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} {\xrightarrow {\exp }}\mathbf {O} ^{*}\to 0}$

ここで、左端の層はファイバー を持つ局所定数層である。H ¹のレベルで対数を定義する際の障害は、長完全コホモロジー列から に ある。${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} ).}$

Mがスタイン多様体であるとき、中央の矢印は同型である。なぜなら、この場合、第2いとこ問題が常に解けるための必要十分条件は、${\displaystyle H^{q}(M,\mathbf {O} )=0}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0.}$

参照

• カルタンの定理AとB

参考文献

• カルタン、アンリ (1950)。「変数複合体の機能分析とモジュールのアイデア」。フランス数学協会紀要。2 : 29–64 .土井: 10.24033/bsmf.1409。
• Chirka, EM (2001) [1994]、「いとこ問題」、数学百科事典、EMSプレス。
• Cousin, P. (1895)、「Sur les fonctions de n variables」、Acta Math。、19 : 1–62、土井: 10.1007/BF02402869。
• 『ヒトツマツ、罪』（1951年）。「理想と規則性の領域のいとこ問題」。古代数学セミナーレポート。3 ( 1–2 ): 26–32 .土井: 10.2996/kmj/1138843066。
• 岡清（1936年）。「変数の機能分析に関する詳細。I. 機能合理性と信頼関係の凸凹領域」。広島大学 科学雑誌。6 : 245–255。土井: 10.32917/hmj/1558749869。
• 岡清（1937年）。"Sur les fonctions Analytiques de plusieurs variables. II – Domaines d'holomorphie"。広島大学 科学雑誌。7 : 115–130 .土井: 10.32917/hmj/1558576819。
• 岡清（1939年）。「Sur les fonctions Analytiques de plusieurs variables. III–Deuxième problème de Cousin」(PDF)。広島大学 科学雑誌。9 : 7–19 .土井: 10.32917/hmj/1558490525。
• ガンニング、ロバート C.; ロッシ、ヒューゴ (1965)、『複素変数の解析関数』、プレンティス・ホール。
• Chorlay, Renaud (2010年1月). 「問題から構造へ：いとこ問題と層概念の出現」.正確科学史アーカイブ. 64 (1): 1– 73. doi : 10.1007/s00407-009-0052-3 . JSTOR  41342411. S2CID  73633995 .