数学の基礎において、被覆補題は、ある大きな基数が存在しないことから、コアモデルと呼ばれる標準的な内部モデルが存在することが証明される。このコアモデルはある意味で最大であり、フォン・ノイマン宇宙Vの構造を近似する。被覆補題は、ある特定の反大きな基数の仮定の下で、コアモデルが存在し、選択された大きな基数に依存する意味で最大であることを主張する。このような結果が最初に証明されたのは、0 #が存在しないと仮定した構成可能宇宙に対してロナルド・ジェンセンが証明したもので、現在ではジェンセンの被覆定理として知られている。
例
たとえば、測定可能な基数の内部モデルが存在しない場合は、Dodd–Jensen コアモデルK DJ がコアモデルとなり、被覆特性を満たします。つまり、順序数の非可算集合xに対して、y ⊃ x、yの基数がxと同じ、y ∈ K DJとなるようなyが存在します。( 0 #が存在しない場合は、K DJ = Lです。)
バージョン
コアモデルKが存在する場合（そしてウッドイン基数を持たない場合）、
- K に ω 1 -エルデシュ基数がない場合、特定の可算（K 内）かつ K で定義可能な順序数から順序数への関数のシーケンスに対して、これらの関数によって閉じた順序数のすべての集合は、K 内の可算数の集合の和集合になります。L = K の場合、これらは単に原始再帰関数です。
- K に測定可能な基数がない場合、順序数の非可算集合xごとに、 x ⊂ y かつ |x| = |y| となるようなy ∈ Kが存在します。
- K が測定可能な基数 κ を一つだけ持つ場合、順序数の非可算集合x に対して、 x ⊂ y かつ |x| = |y| を満たす y ∈ K[C] が存在する。ここで C は空であるか、K 上 Prikry ジェネリック（したがって順序型 ω を持ち、κ において共終）であり、有限の初期セグメントを除いて一意である。
- K に可測基数の到達不可能な極限がなく、可測基数の適切な類もない場合、K に対して最大かつ唯一の（順序数の有限集合を除く）集合 C（識別不能集合と呼ばれる）が存在し、K のすべての測度列 S に対して、各可測基数ごとに 1 つの集合からなる 1 つの集合が存在するため、C マイナス ∪S は有限となる。κ より下の可測基数より下の C の要素を除き、すべての κ \ C は有限であるか、κ において K の Prikry ジェネリックであるかのいずれかである点に注意する。すべての順序数の無数集合 x に対して、x ⊂ y かつ |x| = |y| となる y ∈ K[C] が存在する。
- 順序数のあらゆる不可算集合 x に対して、K 上の全拡張元に対する識別不能集合 C が存在し、y ∈ K[C] かつ x ⊂ y かつ |x| = |y| が成り立ちます。
- Kは特異基数および弱コンパクト基数の次数を正しく計算します（弱被覆性）。さらに、|κ| > ω 1ならば、共終性((κ + ) K ) ≥ |κ|が成り立ちます。
エクステンダーと判別不能なもの
重複する全拡張子を持たないコアモデルの場合、識別不能なシステムがよく理解されています。(K が測定可能な基数のアクセス不可能な極限を持つ場合) システムはカバーされるセットに依存する可能性がありますが、弱い意味で明確に決定され一意です。カバーの 1 つの応用は、識別不能な数 (のシーケンス) を数えることであり、これにより、特異基数仮説のさまざまな失敗に対する最適な下限が得られます。たとえば、K に重複する全拡張子がなく、κ が特異な強い極限で、2 κ = κ ++の場合、κ は K で少なくとも κ ++ のミッチェル順序を持ちます。逆に、特異基数仮説の失敗は、(一般的な拡張で) κ から o(κ) = κ ++で取得できます。
重複する全エクステンダーを持つコアモデル（つまり、測定可能なものまで基数が強い）の場合、識別不能なシステムの理解が不十分で、アプリケーション（弱い被覆など）では、識別不能な部分を分析するのではなく、回避する傾向があります。
追加のプロパティ
K が存在する場合、すべての正則なJónsson 基数は K の Ramsey 基数です。K で正則なすべての特異基数は K で測定可能です。
また、コアモデル K(X) が順序数の集合 X の上に存在する場合、それは X の上方で上で説明した被覆特性を持ちます。
参考文献
- ミッチェル、ウィリアム（2010）、「被覆補題」、集合論ハンドブック、シュプリンガー、pp. 1497– 1594、doi :10.1007/978-1-4020-5764-9_19、ISBN 978-1-4020-4843-2
