き裂進展方程式

図1：応力強さ範囲に対するき裂進展速度の典型的なプロット。パリス・エルドアン方程式は、領域Bの中心線形領域に適合します

亀裂成長方程式は、周期的な荷重によって成長する疲労亀裂のサイズを計算するために使用されます。疲労亀裂の成長は、特に航空機の場合、壊滅的な破損につながる可能性があります。成長する疲労亀裂が多数相互に作用すると、広範囲の疲労損傷として知られています。亀裂成長方程式は、亀裂のサイズを予測することにより、設計段階と運用中の両方で安全性を確保するために使用できます。重要な構造物では、荷重を記録して亀裂のサイズを予測し、亀裂が破損する前に保守または廃棄を確実に行うことができます。疲労寿命は亀裂開始欠陥のサイズと形状に敏感であり、想定される荷重と部品が受ける実際の荷重との間の変動性があるため、安全係数を使用して予測疲労寿命を実用疲労寿命まで短縮します。

疲労寿命は、発生期間と亀裂成長期間に分けられます。^{[ 1 ]}亀裂成長方程式は、与えられた初期欠陥から亀裂の大きさを予測するために使用され、通常は定振幅疲労試験から得られた実験データに基づいています。

荷重サイクルの応力拡大係数範囲（ ）に基づく最も初期の亀裂成長方程式の1つは、パリス・エルドアン方程式^{[ 2 ]である。}${\displaystyle \Delta K}$

${\displaystyle {da \over dN}=C(\Delta K)^{m}}$

ここで、 は亀裂長さ、は単一荷重サイクルにおける疲労亀裂成長です。パリス・エルドアン方程式に類似した様々な亀裂成長方程式が、応力比、過負荷、荷重履歴効果など、亀裂成長速度に影響を与える要因を考慮するために開発されています。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\rm {d}}a/{\rm {d}}N}$ ${\displaystyle N}$

応力強度範囲は、サイクルの最大応力強度と最小応力強度から計算できます。

${\displaystyle \Delta K=K_{\text{max}}-K_{\text{min}}}$

遠距離場の応力と亀裂先端の応力強度を 関連付けるために、幾何学的係数が使用されます。${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle K=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}}}$ 。

さまざまな構成の幾何学的係数を含む標準的な参考文献があります。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

亀裂伝播方程式の歴史

予測精度の向上と様々な影響の考慮を目的として、長年にわたり多くの亀裂伝播方程式が提案されてきた。Head ^{[ 6 ]} 、 Frost and Dugdale ^{[ 7 ]} 、 McEvily and Illg ^{[ 8 ]} 、 Liu ^{[ 9 ]}による疲労亀裂伝播挙動に関する研究は、この分野の基礎を築いた。これらの亀裂伝播方程式の一般的な形は、次のように表される。

${\displaystyle {da \over dN}=f(\Delta \sigma,a,C_{i}),}$

ここで、亀裂長さは、適用される荷重のサイクル数は、応力範囲は、材料パラメータは で表されます。対称構成の場合、対称線からの亀裂の長さは と定義され、これは総亀裂長さの半分です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Delta \sigma }$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 2a}$

形式のき裂成長方程式は、荷重サイクル全体にわたって連続的にき裂成長の過程をモデル化していないため、真の微分方程式ではありません。そのため、サイクル中の最大値と最小値を特定するには、一般的に用いられるレインフローカウントアルゴリズムなどの別個のサイクルカウントまたは識別アルゴリズムが必要です。レインフローカウントは応力/ひずみ-寿命法のために開発されましたが、き裂成長にも有効であることが示されています。^{[ 10 ]}また、少数ですが真の微分疲労き裂成長方程式も開発されています。^{[ 11 ] [ 12 ]}${\displaystyle da/dN}$

亀裂成長速度に影響を与える要因

レジーム

図1は、交番応力度または亀裂先端駆動力の関数として、対数スケール上にプロットされた亀裂成長速度の典型的なプロットを示しています。交番応力度に対する亀裂成長速度の挙動は、異なるレジーム（図1参照）において以下のように説明できます ${\displaystyle \Delta K}$

領域A：成長速度が低い場合、微細構造、平均応力（または荷重比）、および環境の変化が亀裂伝播速度に大きな影響を与えます。低荷重比では、成長速度は微細構造に最も敏感であり、低強度材料では荷重比に最も敏感であることが観察されています。^{[ 13 ]}

領域 B:成長速度が中程度の場合、微細構造、平均応力 (または荷重比)、厚さ、環境の変化は、亀裂伝播速度に大きな影響を与えません。

領域C：進展速度が高い場合、亀裂の伝播は微細構造、平均応力（または荷重比）、および板厚の変化に非常に敏感になります。環境要因の影響は比較的小さくなります。

応力比効果

応力比の高いサイクルでは、き裂進展速度が増大する。^{[ 14 ]}この効果は、しばしばき裂閉口概念を用いて説明される。これは、ゼロを超える荷重でもき裂面が互いに接触し続けるという観察結果に基づく。これにより、有効応力拡大係数の範囲と疲労き裂進展速度が減少する。^{[ 15 ]}${\displaystyle R=K_{\text{min}}}/{K_{\text{max}}\equiv P_{\text{min}}/{P_{\text{max}}}}$

シーケンス効果

1サイクルの成長速度は方程式で与えられますが、荷重が一定振幅でない場合、荷重の変化によって成長速度が一時的に増加または減少する可能性があります。これらのケースのいくつかに対処するために、追加の方程式が開発されています。荷重シーケンス中に過負荷が発生すると、成長速度は遅くなります。これらの荷重は、成長速度を遅らせる可能性のある塑性領域を生成します。き裂が過負荷領域を成長する際に発生する遅延をモデル化するための2つの注目すべき方程式は次のとおりです。^{[ 16 ]}${\displaystyle da/dN}$

ウィーラーモデル（1972年）

${\displaystyle \left({\frac {da}{dN}}\right)_{\text{VA}}=\beta \left({\frac {da}{dN}}\right)_{\text{CA}}}$ と${\displaystyle \beta =\left({\frac {r_{\text{pi}}}{r_{\text{max}}}}\right)^{k}}$

ここで、は過負荷後に発生するi番目のサイクルに対応する塑性領域であり、は過負荷時の塑性領域の範囲と亀裂との間の距離です ${\displaystyle r_{\text{pi}}}$ ${\displaystyle r_{\text{max}}}$

ウィレンボルグモデル

亀裂成長方程式

閾値方程式

閾値近傍領域における亀裂成長速度を予測するために、以下の関係式が用いられている^{[ 17 ]。}

${\displaystyle {da \over dN}=A\left(\Delta K-\Delta K_{\text{th}}\right)^{p}.}$

パリス・エルドアンの式

中間状態における亀裂成長速度を予測するために、パリス・エルドアンの式が使用されます^{[ 2 ]}

${\displaystyle {da \over dN}=C\left(\Delta K\right)^{m}.}$

フォルマンの式

1967年、フォルマンは、応力比と破壊靭性 に近づくにつれて増加する成長率を説明するために、次の関係式を提案しました^{[ 18 ]}${\displaystyle K_{\text{c}}}$

${\displaystyle {da \over dN}={\frac {C(\Delta K)^{n}}{(1-R)K_{\text{c}}-\Delta K}}}$

マケビリー・グローガー方程式

マケビリーとグローガー^{[ 19 ]}は、高い値と低い値の両方の影響を考慮した次のべき乗法則を提案しました${\displaystyle \Delta K}$

${\displaystyle {da \over dN}=A(\Delta K-\Delta K_{\text{th}})^{2}{\Big [}1+{\frac {\Delta K}{K_{\text{Ic}}-K_{\text{max}}}}{\Big ]}}$ 。

NASGRO方程式

NASGRO方程式は、亀裂成長プログラムAFGROW、FASTRAN、NASGROソフトウェアで使用されます。^{[ 20 ]}これは、閾値付近での成長速度の低下と破壊靭性に近づくにつれて成長速度が増加することをカバーする一般的な方程式であり、応力比を含めることで平均応力の影響も考慮します。NASGRO方程式は ${\displaystyle \Delta K_{\text{th}}}$ ${\displaystyle K_{\text{crit}}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {da}{dN}}=C\left[\left({\frac {1-f}{1-R}}\right)\Delta K\right]^{n}{\left(1-{\frac {\Delta K_{\text{th}}}{\Delta K}}\right)^{p} \over \left(1-{\frac {K_{\max }}{K_{\text{crit}}}}\right)^{q}}}$

ここで、、、、、、は方程式の 係数です。${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \Delta K_{\text{th}}}$ ${\displaystyle K_{\text{crit}}}$

マクリントックの式

1967年、マクリントックは繰返し亀裂先端開口変位 に基づいて、亀裂成長の上限に関する式を開発しました^{[ 21 ]}${\displaystyle \Delta {\text{CTOD}}}$

${\displaystyle {da \over dN}\propto \Delta {\text{CTOD}}\approx \beta {(\Delta K)^{2} \over {2\sigma _{0}E'}}}$

ここで 、は流動応力、はヤング率、は一般に 0.1～0.5 の範囲の定数です。 ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle \beta }$

ウォーカー方程式

応力比の影響を考慮するために、ウォーカーはパリス・エルドアンの方程式の修正形を提案した^{[ 22 ]}

${\displaystyle {da \over dN}=C{\Big (}{\overline {\Delta K}}{\Big )}^{m}=C{\bigg (}{\frac {\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma }}}{\bigg )}^{m}=C{\big (}K_{\text{max}}(1-R)^{\gamma }{\big )}^{m}}$

ここで、は応力比が疲労き裂進展速度に与える影響を表す材料パラメータである。通常、は約 の値を取るが、 の間で変化する。一般に、 を考慮すると、荷重サイクルの圧縮部分はき裂進展に影響を与えないと仮定され、次の式が得られる。これは、き裂がゼロ荷重で閉じ、圧縮荷重下ではき裂のようには振舞わないと考えることで物理的に説明できる。マンテン鋼のような非常に延性の高い材料では、 によると、圧縮荷重はき裂進展に寄与する。^{[ 23 ]}${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle 0.3-1.0}$ ${\displaystyle {\big (}R<0{\big )}}$ ${\displaystyle \gamma =0,}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta K}}=K_{\text{max}}.}$ ${\displaystyle \gamma =0.22}$

エルバーの式

エルバーは、接触が発生する開口応力度レベルを導入することで、亀裂の閉口を考慮に入れるためにパリス・エルドアンの式を修正しました。このレベル以下では、亀裂先端の動きはなく、したがって亀裂の成長もありません。この効果は、応力比効果と短い亀裂で観察される成長速度の増加を説明するために使用されてきました。エルバーの式は^{[ 16 ]です}${\displaystyle K_{\text{op}}}$

${\displaystyle \Delta K_{\text{eff}}=K_{\text{max}}-K_{\text{op}}}$

${\displaystyle {da \over dN}=C(\Delta K_{\text{eff}})^{m}}$

延性材料と脆性材料の方程式

延性材料および脆性材料における疲労き裂成長速度の一般的な形は^{[ 21 ]}で与えられる。

${\displaystyle {da \over dN}\propto (K_{\text{max}})^{n}(\Delta K)^{p},}$

ここで、、およびは材料パラメータです。金属、セラミックス、金属間化合物における異なる亀裂進展機構および亀裂先端遮蔽機構に基づき、金属の疲労亀裂成長速度は項に大きく依存し、セラミックスは項に、金属間化合物は項および項にほぼ同様に依存することが観察されています。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Delta K}$ ${\displaystyle K_{\text{max}}}$ ${\displaystyle \Delta K}$ ${\displaystyle K_{\text{max}}}$

疲労寿命の予測

コンピュータプログラム

Nasgro、^{[ 24 ]} 、 AFGROW、Fastranなど、亀裂成長方程式を実装したコンピュータプログラムは数多くあります。さらに、部品の寿命全体にわたる破損確率を計算する、亀裂成長に対する確率的アプローチを実装したプログラムもあります。^{[ 25 ] [ 26 ]}

亀裂成長プログラムは、亀裂を初期の欠陥サイズから成長させ、材料の破壊靭性を超えて破壊に至らせます。破壊靭性は境界条件に依存するため、半円形の表面亀裂の平面ひずみ条件から貫通亀裂の平面応力条件へと変化する可能性があります。平面応力条件における破壊靭性は、通常、平面ひずみ条件における破壊靭性の2倍です。しかし、亀裂の寿命末期においては、亀裂の成長速度が急速であるため、破壊靭性の変化が部品の寿命に大きな影響を与えることはありません。

亀裂成長プログラムでは通常、次の選択肢が提供されます。

• サイクルの極値を抽出するサイクルカウント法
• 亀裂の形状と適用される荷重を選択する幾何学的要因
• 亀裂成長方程式
• 加速／減速モデル
• 降伏強度や破壊靭性などの材料特性

解析解

応力拡大係数は次のように表されます

${\displaystyle K=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}},}$

ここで、は試験片に亀裂面に対して垂直方向に作用する均一な引張応力、は亀裂長さ、は試験片の形状に依存する無次元パラメータです。交番応力拡大係数は次のようになります ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K&={\begin{cases}\beta (\sigma _{\text{max}}-\sigma _{\text{min}}){\sqrt {\pi a}}=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}},\qquad R\geq 0\\\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a}},\qquad R<0\end{cases}},\end{aligned}}}$

ここで、周期的応力振幅の範囲です。 ${\displaystyle \Delta \sigma }$

初期亀裂サイズを と仮定すると、試験片が破損する前の臨界亀裂サイズは次のよう に計算できる。${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{c}}$ ${\displaystyle {\big (}K=K_{\text{max}}=K_{\text{Ic}}{\big )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{Ic}}&=\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a_{c}}},\\\Rightarrow a_{c}&={\frac {1}{\pi }}{\bigg (}{\frac {K_{\text{Ic}}}{\beta \sigma _{\text{max}}}}{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}}$

上記の方程式は本質的に暗黙的であり、必要に応じて数値的に解くことができます。 ${\displaystyle a_{c}}$

ケースI

き裂閉口はき裂成長速度にほとんど影響を与えないため^{[ 27 ]} 、パリス・エルドガンの式は、試験片が臨界き裂寸法 に達する前の疲労寿命を計算するために使用できる${\displaystyle R\geq 0.7,}$ ${\displaystyle a_{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{da \over dN}&=C(\Delta K)^{m}=C{\bigg (}\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}{\bigg )}^{m},\\\Rightarrow N_{f}&={\frac {1}{({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{(C{\sqrt {a}}\beta )^{m}}}.\end{aligned}}}$

定数𝛽およびR = 0の亀裂成長モデル

図2：センタークラック引張試験片の幾何学的表現

図2に示すような無限板における長さ のグリフィス・アーウィン亀裂成長モデル、すなわち中心亀裂の場合、 が成り立ち、 は亀裂長さに依存しません。また、 は 亀裂長さに依存しないと考えることもできます。上記の積分を次のように簡略化します。 ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \beta ={\text{constant}},}$

${\displaystyle N_{f}={\frac {1}{C({\sqrt {\pi }}\beta \Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{({\sqrt {a}})^{m}}},}$

上記の式をとの場合について積分すると、負荷サイクルの総数は次のように表される。 ${\displaystyle m\neq 2}$ ${\displaystyle m=2}$ ${\displaystyle N_{f}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{f}&={\frac {2}{(m-2)C({\sqrt {\pi }}\beta \Delta \sigma )^{m}}}{\Bigg [}{\frac {1}{(a_{0})^{\frac {m-2}{2}}}}-{\frac {1}{(a_{c})^{\frac {m-2}{2}}}}{\Bigg ]},\qquad m\neq 2,\\N_{f}&={\frac {1}{\pi C(\beta \Delta \sigma )^{2}}}\ln {\frac {a_{c}}{a_{0}}},\qquad m=2.\end{aligned}}}$

さて、初期亀裂サイズと比較して臨界亀裂サイズが非常に大きい場合、 ${\displaystyle m>2}$ ${\displaystyle {\big (}a_{c}>>a_{0}{\big )}}$

${\displaystyle N_{f}={\frac {2}{(m-2)C({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma \beta )^{m}}}(a_{0})^{\frac {2-m}{2}}.}$

破断に至るまでの総荷重サイクル数に関する上記の解析式は、を仮定して得られます。シングルエッジノッチ張力（SENT）やセンタークラック張力（CCT）形状のように、 がクラックサイズに依存する場合には、数値積分を用いて を計算できます。 ${\displaystyle {\big (}N_{f}{\big )}}$ ${\displaystyle Y={\text{constant}}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle N_{f}}$

ケースII

き裂閉口現象はき裂成長速度に影響を与え、ウォーカー方程式を用いて、試験片が臨界き裂サイズに達する前の疲労寿命を次のように 計算することができます${\displaystyle R<0.7,}$ ${\displaystyle a_{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{da \over dN}&=C{\bigg (}{\frac {\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma }}}{\bigg )}^{m}={\frac {C}{(1-R)^{m(1-\gamma )}}}{\bigg (}\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}{\bigg )}^{m},\\\Rightarrow N_{f}&={\frac {(1-R)^{m(1-\gamma )}}{({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{(C{\sqrt {a}}\beta )^{m}}}.\end{aligned}}}$

数値計算

図3：疲労寿命予測プロセスの概略図^{[ 28 ]}

この方式は、が亀裂サイズ に依存する場合に役立ちます。初期の亀裂サイズは とみなされます。現在の亀裂サイズにおける応力拡大係数は、最大印加応力を用いて次のように計算されます。 ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{max}}&=\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a}}.\end{aligned}}}$ が破壊靭性より小さい場合、亀裂は臨界サイズに達しておらず、現在の亀裂サイズでシミュレーションが続行され、交番応力強度が次のように計算されます。${\displaystyle K_{\text{max}}}$ ${\displaystyle K_{\text{Ic}}}$ ${\displaystyle a_{c}}$

${\displaystyle \Delta K=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}.}$

ここで、パリス・エルドアンの式に応力拡大係数を代入すると、亀裂の大きさの増分は次のように計算される。 ${\displaystyle \Delta a}$

${\displaystyle \Delta a=C(\Delta K)^{m}\Delta N,}$

ここでサイクルステップサイズは、新しい亀裂サイズは ${\displaystyle \Delta N}$

${\displaystyle a_{i+1}=a_{i}+\Delta a,}$

ここで、indexは現在の反復ステップを表します。新しい亀裂サイズは、次の反復における最大応力時の応力強度を計算するために使用されます。この反復プロセスは、 ${\displaystyle i}$

${\displaystyle K_{\text{max}}\geq K_{\text{Ic}}.}$

この失敗基準が満たされると、シミュレーションは停止します。

疲労寿命予測プロセスの概略図を図 3 に示します。

例

図4：片端ノッチ引張試験片の幾何学的表現

SENT試験片（図4参照）の疲労き裂成長中の応力拡大係数は^{[ 5 ]で与えられる。}

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{I}&=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}{\Bigg [}0.265{\bigg [}1-{\frac {a}{W}}{\bigg ]}^{4}+{\frac {0.857+0.265{\frac {a}{W}}}{{\big [}1-{\frac {a}{W}}{\big ]}^{\frac {3}{2}}}}{\Bigg ]},\\\Delta K_{I}&=K_{\text{max}}-K_{\text{min}}=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}.\end{aligned}}}$

計算には以下のパラメータが考慮される

${\displaystyle a_{0}=5}$ んん、んん、んん、、、${\displaystyle W=100}$ ${\displaystyle h=200}$ ${\displaystyle K_{\text{Ic}}=30{\text{ MPa}}{\sqrt {\text{m}}}}$ ${\displaystyle R={\frac {K_{\text{min}}}{K_{\text{max}}}}=0.7}$

${\displaystyle \Delta \sigma =20}$ MPa 、、。 ${\displaystyle C=4.6774\times 10^{-11}{\frac {\text{m}}{\text{cycle}}}{\frac {1}{({\text{MPa}}{\sqrt {\text{m}}})^{m}}}}$ ${\displaystyle m=3.874}$

臨界亀裂長さは、次のよう に計算できる。${\displaystyle a=a_{c}}$ ${\displaystyle K_{\text{max}}=K_{\text{Ic}}}$

${\displaystyle a_{c}={\frac {1}{\pi }}{\Bigg (}{\frac {0.45}{\beta }}{\Bigg )}^{2}.}$

上記の式を解くと、臨界亀裂長さは として得られます。 ${\displaystyle a_{c}=26.7{\text{mm}}}$

さて、パリ＝エルドアンの方程式を適用すると、

${\displaystyle N_{f}={\frac {1}{C(\Delta \sigma )^{m}({\sqrt {\pi }})^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{a^{\frac {m}{2}}{\Bigg [}0.265{\bigg [}1-{\frac {a}{W}}{\bigg ]}^{4}+{\frac {0.857+0.265{\frac {a}{W}}}{{\big [}1-{\frac {a}{W}}{\big ]}^{\frac {3}{2}}}}{\Bigg ]}^{m}}}}$

上記の式を数値積分すると、破損までの総荷重サイクル数は として得られます。 ${\displaystyle N_{f}=1.2085\times 10^{6}{\text{ cycles}}}$

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