通常圧密された土壌は、ロスコー表面の応力経路に沿って臨界状態になる。 臨界状態土質力学は 、飽和した再成形土の力学的挙動を 臨界状態の概念に基づいて表現する概念モデルを包含する 土質力学 の一分野です 。 臨界状態 においては、土に作用する力（ 応力 ）と、この応力によって生じる変形（ ひずみ ）との関係が一定になります。土は変形し続けますが、応力はそれ以上増加しなくなります。
土壌には、基礎工事 による荷重や 掘削 による除荷など、様々な方法で力が加わります 。臨界状態の概念は、様々な荷重条件下での土壌の挙動を予測するために用いられ、 地盤工学エンジニアは 臨界状態モデルを用いて、様々な応力下での土壌の挙動を推定します。
基本的な概念は、土壌やその他の粒状物質が摩擦流体として流動するまで継続的に変形されると、明確に定義された臨界状態に達するというものです。実際的には、臨界状態は土壌の破壊条件と考えることができます。これは、 流体 の挙動と同様に、土壌が継続的な変形を起こさずに追加の荷重に耐えられなくなる点です。
土壌の特定の特性、例えば 空隙率 、 せん断強度 、体積などは、特性値に達します。これらの特性は、土壌の種類と初期条件に固有のものです。 [1]
臨界状態土質力学の理論 臨界状態の概念は、 三軸圧縮試験 における飽和再成形粘土の観察される挙動を理想化したものであり、不撹乱土に適用されるものと仮定されている。これは、土やその他の粒状材料が摩擦流体として流動するまで継続的に変形（せん断）されると、明確に定義された臨界状態に達するというものである。臨界状態の開始時には、平均有効応力 、偏差応力 （または フォン・ミーゼス降伏条件 に基づく一軸引張における降伏応力 ）、または比容積 にそれ以上の変化がなく、せん断変形が発生する 。
ε
s
{\displaystyle \ \varepsilon _{s}}
p
′
{\displaystyle \ p'}
q
{\displaystyle \ q}
σ
y
{\displaystyle \ \sigma _{y}}
ν
{\displaystyle \ \nu }
∂
p
′
∂
ε
s
=
∂
q
∂
ε
s
=
∂
ν
∂
ε
s
=
0
{\displaystyle \ {\frac {\partial p'}{\partial \varepsilon _{s}}}={\frac {\partial q}{\partial \varepsilon _{s}}}={\frac {\partial \nu }{\partial \varepsilon _{s}}}=0}
どこ、
ν
=
1
+
e
{\displaystyle \ \nu =1+e}
p
′
=
1
3
(
σ
1
′
+
σ
2
′
+
σ
3
′
)
{\displaystyle \ p'={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}'+\sigma _{2}'+\sigma _{3}')}
q
=
(
σ
1
′
−
σ
2
′
)
2
+
(
σ
2
′
−
σ
3
′
)
2
+
(
σ
1
′
−
σ
3
′
)
2
2
{\displaystyle \ q={\sqrt {\frac {(\sigma _{1}'-\sigma _{2}')^{2}+(\sigma _{2}'-\sigma _{3}')^{2}+(\sigma _{1}'-\sigma _{3}')^{2}}{2}}}}
しかし、三軸条件では 、
σ
2
′
=
σ
3
′
{\displaystyle \ \sigma _{2}'=\sigma _{3}'}
p
′
=
1
3
(
σ
1
′
+
2
σ
3
′
)
{\displaystyle \ p'={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}'+2\sigma _{3}')}
q
=
(
σ
1
′
−
σ
3
′
)
{\displaystyle \ q=(\sigma _{1}'-\sigma _{3}')}
特定の土壌のすべての臨界状態は、 空間内で次の式によって定義される 臨界状態線 ( CSL ) と呼ばれる一意の線を形成します。
(
p
′
,
q
,
v
)
{\displaystyle \ (p',q,v)}
q
=
M
p
′
{\displaystyle \ q=Mp'}
ν
=
Γ
−
λ
ln
(
p
′
)
{\displaystyle \ \nu =\Gamma -\lambda \ln(p')}
ここで 、、、 は土壌定数です。最初の式は 、土壌の流動を維持するために必要な 偏差応力の大きさを、摩擦定数 （大文字 ）と平均有効応力の積として決定します 。2番目の式は、流動粒子の単位体積が占める比容積が、平均 有効応力 の対数が 増加するにつれて減少することを示しています。
M
{\displaystyle \ M}
Γ
{\displaystyle \ \Gamma }
λ
{\displaystyle \ \lambda }
q
{\displaystyle \ q}
M
{\displaystyle \ M}
μ
{\displaystyle \ \mu }
p
′
{\displaystyle \ p'}
ν
{\displaystyle \ \nu }
歴史 ケンブリッジ大学 の ケネス・ハリー・ロスコーは、1940年代後半から1950年代前半にかけて、 土壌試験 技術の 向上を目指して 、単純せん断試験装置を開発しました。その後、彼の弟子たちは、砂質土と粘土質土の両方におけるせん断帯の状態変化の研究に取り組みました。1958年、ケンブリッジ大学における単純せん断試験装置による試験データと、 ロンドン大学 インペリアル ・カレッジの アレック・スケンプトン 教授率いる研究による、より広範な三軸試験データに基づいた土壌の降伏に関する研究から 、臨界状態の概念が発表されました（Roscoe, Schofield & Wroth 1958）。
ロスコーは機械工学の学士号 [2] を取得しましたが、第二次世界大戦中、ナチスの捕虜として脱出のためのトンネル建設に取り組んだ経験から土質力学に着目しました。 [2] この1958年の論文の後、スコフィールドは塑性の概念を導入し、教科書に掲載しました。 [1]スコフィールドはケンブリッジ大学で、構造工学者で「塑性的に」破壊する構造物の設計を強く信奉する ジョン・ベイカー教授 に師事しました 。ベイカー教授の理論は、スコフィールドの土質せん断に関する考え方に大きな影響を与えました。ベイカー教授の見解は、戦前の鉄骨構造に関する研究から発展し、さらに、爆風で損傷した構造物の評価や、屋内に設置可能な防空壕「モリソン・シェルター」の設計といった戦時中の経験によってさらに深められました（スコフィールド 2006）。
オリジナルカムクレイモデル カムクレイという名称は、粘土質土の挙動に典型的な塑性体積変化が、小さく、粗く、摩擦を起こし、絡み合った硬質粒子の集合体の機械的安定性に起因することを示唆している。 [3]
オリジナルのカムクレイモデルは、土壌が等方性、弾塑性であり、 連続体 として変形し、クリープの影響を受けないという仮定に基づいている。カムクレイモデルの 降伏面は 、次式で表される
。
f
(
p
,
q
,
p
c
)
=
q
+
M
p
ln
[
p
p
c
]
≤
0
{\displaystyle f(p,q,p_{c})=q+M\,p\,\ln \left[{\frac {p}{p_{c}}}\right]\leq 0}
ここで 、 は等価応力、 は圧力、 は圧密前圧力、 は空間 における臨界状態線の傾きです 。
q
{\displaystyle q}
p
{\displaystyle p}
p
c
{\displaystyle p_{c}}
M
{\displaystyle M}
p
−
q
{\displaystyle p-q}
圧密前圧力は、 土の
間隙比 （ ）（したがって比容積）の変化に応じて変化する。一般的に用いられる関係式は以下の通りである。
e
{\displaystyle e}
v
{\displaystyle v}
e
=
e
0
−
λ
ln
[
p
c
p
c
0
]
{\displaystyle e=e_{0}-\lambda \ln \left[{\frac {p_{c}}{p_{c0}}}\right]}
ここで、 は土壌の圧縮指数です。このモデルの限界は、現実的な応力値において比容積が負になる可能性があることです。
λ
{\displaystyle \lambda }
上記のモデルを改良したものが 双対数形式である。
p
c
{\displaystyle p_{c}}
ln
[
1
+
e
1
+
e
0
]
=
ln
[
v
v
0
]
=
−
λ
~
ln
[
p
c
p
c
0
]
{\displaystyle \ln \left[{\frac {1+e}{1+e_{0}}}\right]=\ln \left[{\frac {v}{v_{0}}}\right]=-{\tilde {\lambda }}\ln \left[{\frac {p_{c}}{p_{c0}}}\right]}
ここで 、土壌の適切な圧縮性指数はいくらですか。
λ
~
{\displaystyle {\tilde {\lambda }}}
pq 空間における Cam-clay 降伏面。 主応力空間におけるカム・クレイ降伏面。
修正カム・クレイモデル ロスコー教授と共に研究を行ったインペリアル・カレッジ の ジョン・バーランド 教授は 、元のモデルの修正版を開発した功績がある。カム・クレイと修正カム・クレイ [4] （MCC）の違いは、MCCの降伏曲面が楕円で表され、そのため平均有効応力の最大値に対する塑性ひずみ増分ベクトル（降伏曲面に垂直）が水平になり、したがって平均有効応力の変化に対して偏差塑性ひずみの増分が発生しない（純粋に静水圧の応力状態の場合）ことである。これは 数値解析 、特に数値安定性の問題が重要である 有限要素解析 （微分可能であるためには曲線が連続している必要があるため）における構成モデル化に非常に便利である。
修正カム・クレイモデルの降伏面は次のようになる。
f
(
p
,
q
,
p
c
)
=
[
q
M
]
2
+
p
(
p
−
p
c
)
≤
0
{\displaystyle f(p,q,p_{c})=\left[{\frac {q}{M}}\right]^{2}+p\,(p-p_{c})\leq 0}
ここで 、 は圧力、 は相当応力、 は圧密前圧力、 は 臨界状態線の傾きです。
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
p
c
{\displaystyle p_{c}}
M
{\displaystyle M}
pq 空間における修正 Cam-clay 降伏面。 主応力空間における修正カム・クレイ降伏面。
批評 弾塑性アプローチの基本概念は、 ダニエル・C・ドラッカー と ウィリアム・プラガーという 二人の数学者によって、わずか8ページの短い論文（Drucker and Prager, 1952）の中で初めて提唱されました。 [5] ドラッカーとプラガーは、この論文の中で、平面または丸太螺旋の破壊面を用いて、垂直盛土の臨界高さを計算する方法も示しました。彼らの降伏基準は、今日ではドラッカー ・プラガー 降伏基準と呼ばれています。彼らのアプローチはその後、ケンブリッジ大学土質力学教室の
ケネス・H・ロスコー らによって拡張されました。
臨界状態および弾塑性土質力学は、導入以来、批判の対象となってきました。この批判の主因は、土壌が等方性の点粒子で構成されているという暗黙の仮定です。実際の土壌は、観測される挙動を強く規定する異方性特性を持つ有限サイズの粒子で構成されています。したがって、金属をベースとした塑性理論に基づくモデルでは、異方性粒子特性に起因する土壌挙動、例えばピーク強度後のせん断強度の低下、すなわちひずみ軟化挙動をモデル化することができません。このため、弾塑性土質モデルは、等方性で通常圧密または軽度に圧密された「肥厚」粘土、すなわち非常に細粒の粒子で構成されるCL-ML型土のような「単純な応力-ひずみ曲線」しかモデル化できません。
また、一般的に体積変化は弾性の考慮によって支配されますが、この仮定は実際の土壌ではほとんど当てはまらないため、これらのモデルは体積変化や間隙水圧変化と非常に不整合です。さらに、弾塑性モデルは要素全体を全体として記述し、破壊面上の特定の条件を直接記述しません。その結果、特にピーク後にひずみ軟化を示す土壌の場合、破壊後の応力-ひずみ曲線をモデル化できません。最後に、ほとんどのモデルは静水圧応力と せん断応力 の影響を分離し、それぞれが体積変化とせん断変化のみを引き起こすと仮定しています。実際には、 土壌構造は 「トランプの家」に似ており、純粋な圧縮が加わった場合にはせん断変形が、純粋なせん断が加わった場合には体積変化が見られます。
さらなる批判としては、この理論は「記述的」に過ぎない、つまり既知の挙動のみを記述しており、一次元圧縮試験における間隙比が垂直有効応力の対数に対して直線的に変化する理由など、標準的な土質挙動を説明または予測する能力が欠けているという点が挙げられる。この挙動は、臨界状態土質力学では単に所与のものとして想定されている。
これらの理由から、臨界状態および弾塑性土質力学はスコラ哲学的だと非難されてきた。その妥当性を証明するためのテストは通常、「適合テスト」であり、単純な応力-ひずみ曲線のみが適切にモデル化されていると実証される。臨界状態とそれを取り巻く概念は「スコラ哲学的」であるという長い歴史があり、英国土質力学の「創始者」であるアレック・スケンプトン卿は、CSSMのスコラ哲学的性質をロスコーに帰し、「…彼は現場での実務はほとんど行わず、実際の工学的業務に携わったことは一度もなかったと思う」と述べている [6] 。1960年代から1970年代にかけて、インペリアル・カレッジのアラン・ビショップ教授は、これらの理論が実際の土の応力-ひずみ曲線と一致しないことを日常的に実証していた。ジョセフ（2013）は、臨界状態および弾塑性土力学は、科学哲学者 イムレ・ラカトシュ が提唱した「退化した研究プログラム」の基準を満たしていると示唆している。これは、理論が経験的データと一致しないことを正当化するために言い訳が使われている理論を指す。 [7]
応答 臨界状態土質力学は記述的なものに過ぎず、退化した研究プログラムの基準を満たしているという主張は未だ決着していない。アンドリュー・ジェニケは、彼の臨界状態理論において、圧縮試験を記述するために対数対数関係を用い、収束流中の応力の減少と発散流中の応力の増加を認めた。 [8] クリス・ザルウィンスキーは、臨界状態を固体相と流体相の両方で比容積が同じである多相状態と定義した。 [9] 彼の定義によれば、元の理論の線形対数関係とジェニケの対数対数関係は、より一般的な物理現象の特殊なケースである。
平面応力 平面ひずみ応力状態
σ
=
[
σ
x
x
0
τ
x
z
0
0
0
τ
z
x
0
σ
z
z
]
=
[
σ
x
x
τ
x
z
τ
z
x
σ
z
z
]
{\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&0&\tau _{xz}\\0&0&0\\\tau _{zx}&0&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]}
[10]
排水された状態
平面ひずみ応力状態 平面ひずみ応力状態マトリックスの歪み部分と体積部分への分離 ：
σ
=
[
σ
x
x
0
τ
x
z
0
0
0
τ
z
x
0
σ
z
z
]
=
[
σ
x
x
τ
x
z
τ
z
x
σ
z
z
]
=
[
σ
x
x
−
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
τ
x
z
τ
z
x
σ
z
z
−
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
]
+
[
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
0
0
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
]
{\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&0&\tau _{xz}\\0&0&0\\\tau _{zx}&0&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
=
p
m
e
a
n
=
σ
x
x
+
σ
z
z
2
{\displaystyle \sigma _{hydrostatic}=p_{mean}={\frac {\sigma _{xx}+\sigma _{zz}}{2}}}
ロード
後
δ
σ
z
{\displaystyle \delta \sigma _{z}}
[
σ
x
x
−
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
τ
x
z
τ
z
x
σ
z
z
−
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
]
+
[
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
0
0
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
]
+
[
0
0
0
σ
z
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\sigma _{z}\ \\\end{matrix}}\right]}
ストレスによる消耗状態
[
σ
x
x
−
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
τ
x
z
τ
z
x
σ
z
z
−
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
]
+
[
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
0
0
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}
+
[
0
0
0
δ
z
]
=
[
σ
x
x
−
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
τ
x
z
τ
z
x
σ
z
z
−
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
]
+
[
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
0
0
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
]
{\displaystyle +\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\mathbf {\delta z} \ \\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}
+
[
−
δ
p
w
2
0
0
σ
z
−
δ
p
w
2
]
{\displaystyle +\left[{\begin{matrix}{\frac {-{\delta p}_{w}}{2}}\ &0\\0&\sigma _{z}-{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}\ \\\end{matrix}}\right]}
+
[
δ
p
w
2
0
0
δ
p
w
2
]
{\displaystyle +\left[{\begin{matrix}{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}&0\\0&{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}\ \\\end{matrix}}\right]}
排水平面ひずみ状態 排水平面ひずみ状態
ε
z
=
Δ
h
h
0
{\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {\Delta h}{h_{0}}}}
;
ε
x
=
ε
y
=
0
{\displaystyle \ \varepsilon _{x}=\varepsilon _{y}=0}
ε
z
=
1
E
(
σ
z
−
ν
)
(
σ
x
+
σ
z
)
=
1
E
σ
z
(
1
−
2
ν
ε
)
{\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}(\sigma _{z}-\nu )(\sigma _{x}+\sigma _{z})={\frac {1}{E}}\sigma _{z}(1-2\nu \varepsilon )}
;
ε
=
ν
1
−
ν
;
ν
=
ε
1
+
ε
{\displaystyle \varepsilon ={\frac {\nu }{1-\nu }};\ \nu ={\frac {\varepsilon }{1+\varepsilon }}}
マトリックス別:
ε
z
=
1
E
(
1
−
2
ν
ε
)
[
[
σ
x
x
−
ρ
w
τ
x
z
τ
z
x
σ
z
z
−
ρ
w
]
+
[
ρ
w
0
0
ρ
w
]
]
{\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}(1-2\nu \varepsilon )\ \left[\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]\right]}
;
排水されていない状態
ストレスが解消されていない状態
[
σ
x
x
−
ρ
w
τ
x
z
τ
z
x
σ
z
z
−
ρ
w
]
+
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+}
[
ρ
w
0
0
ρ
w
]
+
[
0
0
0
δ
σ
z
]
=
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\delta \sigma _{z}\ \\\end{matrix}}\right]=}
=
[
σ
x
x
−
ρ
w
τ
x
z
τ
z
x
σ
z
z
−
ρ
w
]
+
{\displaystyle =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+}
[
ρ
w
0
0
ρ
w
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]}
+
[
−
p
w
/
2
0
0
σ
z
−
p
w
/
2
]
+
[
δ
p
w
/
2
0
0
δ
p
w
/
2
]
=
{\displaystyle +\ \ \left[{\begin{matrix}-{p}_{w}\ /\mathbf {2} &0\\0&\sigma _{z}-{p}_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\delta p_{w}/2&0\\0&\delta p_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]=}
=
[
σ
x
x
−
ρ
w
τ
x
z
τ
z
x
σ
z
z
−
ρ
w
]
+
{\displaystyle =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+}
[
ρ
w
0
0
ρ
w
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]}
+
[
−
p
w
/
2
0
0
σ
z
−
p
w
/
2
]
+
[
δ
p
w
/
2
0
0
δ
p
w
/
2
]
+
{\displaystyle +\ \ \left[{\begin{matrix}-{p}_{w}\ /\mathbf {2} &0\\0&\sigma _{z}-{p}_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\delta p_{w}/2&0\\0&\delta p_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+}
[
0
τ
x
z
τ
z
x
0
]
−
[
0
δ
p
w
,
i
n
t
δ
p
w
,
i
n
t
0
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&\tau _{xz}\\{\tau }_{zx}&0\\\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}0&{\delta p}_{w,int}\\{\delta p}_{w,int}&0\\\end{matrix}}\right]}
非排水緊張状態
平面ひずみ状態の非排水状態
ε
z
=
1
E
(
1
−
2
ν
ε
)
=
{\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}\left(1-2\nu \varepsilon \right)=}
=
[
[
σ
x
x
−
ρ
w
τ
x
z
τ
z
x
σ
z
z
−
ρ
w
]
+
[
ρ
w
0
0
ρ
w
]
+
[
0
δ
τ
x
z
δ
τ
z
x
0
]
−
[
0
δ
p
w
,
i
n
t
δ
p
w
,
i
n
t
0
]
]
=
{\displaystyle =\left[\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&\delta \tau _{xz}\\{\delta \tau }_{zx}&0\\\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}0&{\delta p}_{w,int}\\{\delta p}_{w,int}&0\\\end{matrix}}\right]\right]=}
=
1
E
(
1
−
2
ν
ε
)
[
ρ
u
+
ρ
w
+
p
]
{\displaystyle ={\frac {1}{E}}\left(1-2\nu \varepsilon \right)\left[\rho _{u}+\rho _{w}+p\right]}
ρ
u
=
K
u
Δ
ε
z
;
ρ
w
=
K
w
n
Δ
ε
z
;
ρ
=
K
Δ
ε
z
;
{\displaystyle \rho _{u}=K_{u}\Delta \varepsilon _{z};\ \ \rho _{w}={\frac {K_{w}}{n}}\Delta \varepsilon _{z};\ \ \rho _{=}K_{\Delta }\varepsilon _{z};}
三軸応力状態 三軸応力状態 歪み部分と体積部分への分離マトリックス ：
σ
=
[
σ
r
0
0
0
σ
r
0
0
0
σ
z
]
=
[
σ
r
−
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
0
0
0
σ
r
−
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
0
0
0
σ
z
−
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
]
+
[
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
0
0
0
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
0
0
0
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
]
{\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}&0&0\\0&\sigma _{r}&0\\0&0&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{z}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}
三軸応力の非排水状態
[
σ
r
−
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
0
0
0
σ
r
−
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
0
0
0
σ
z
−
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{z}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}
+
[
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
0
0
0
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
0
0
0
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
]
{\displaystyle +\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}
+
[
−
(
r
2
H
∗
3
)
p
w
0
0
0
−
(
r
2
H
∗
3
)
(
p
w
0
0
0
(
σ
z
−
(
r
2
H
∗
3
)
∗
p
w
]
{\displaystyle +\left[{\begin{matrix}-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){p}_{w}&0&0\\0&-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){(p}_{w}&0\\0&0&(\sigma _{z}-{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)\ast \ p}_{w}\\\end{matrix}}\right]}
−
[
(
r
2
H
∗
3
)
p
w
0
0
0
(
r
2
H
∗
3
)
p
w
0
0
0
(
r
2
H
∗
3
)
p
w
]
+
{\displaystyle -\ \ \left[{\begin{matrix}{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0&0\\0&{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0\\0&0&\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p_{w}\\\end{matrix}}\right]+}
[
0
0
δ
τ
x
z
0
0
0
δ
τ
δ
z
x
0
0
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&0&{\delta \tau _{xz}}\\0&0&0\\\delta {\tau }_{\delta {zx}}&0&0\\\end{matrix}}\right]}
+
[
δ
p
w
,
i
n
t
0
0
0
δ
p
w
,
i
n
t
0
0
0
δ
p
w
,
i
n
t
]
+
{\displaystyle +\left[{\begin{matrix}{\delta p_{w,int}}&0&0\\0&{\delta p_{w,int}}&0\\0&0&{\delta p_{w,int}}\\\end{matrix}}\right]+}
[
−
δ
p
w
,
i
n
t
0
0
0
−
δ
p
w
,
i
n
t
0
0
0
−
δ
p
w
,
i
n
t
]
+
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}{-\delta p_{w,int}}&0&0\\0&{-\delta p_{w,int}}&0\\0&0&{-\delta p_{w,int}}\\\end{matrix}}\right]+}
[
0
0
−
δ
τ
x
z
0
0
0
−
δ
τ
δ
z
x
0
0
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&0&{-\delta \tau _{xz}}\\0&0&0\\-\delta {\tau }_{\delta {zx}}&0&0\\\end{matrix}}\right]}
三軸応力の排水状態 排水の場合は容積のみ：
[
σ
r
−
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
0
0
0
σ
r
−
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
0
0
0
σ
z
−
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{z}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}
+
[
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
0
0
0
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
0
0
0
σ
h
y
d
r
o
s
t
a
t
i
c
]
{\displaystyle +\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}
+
[
−
(
r
2
H
∗
3
)
p
w
0
0
0
−
(
r
2
H
∗
3
)
(
p
w
0
0
0
(
σ
z
−
(
r
2
H
∗
3
)
∗
p
w
]
{\displaystyle +\left[{\begin{matrix}-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){p}_{w}&0&0\\0&-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){(p}_{w}&0\\0&0&(\sigma _{z}-{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)\ast \ p}_{w}\\\end{matrix}}\right]}
−
[
(
r
2
H
∗
3
)
p
w
0
0
0
(
r
2
H
∗
3
)
p
w
0
0
0
(
r
2
H
∗
3
)
p
w
]
+
{\displaystyle -\ \ \left[{\begin{matrix}{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0&0\\0&{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0\\0&0&\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p_{w}\\\end{matrix}}\right]+}
以下のデータは、飽和（B=1）で正規圧密された単純粘土（Ladd, 1964）を用いた従来の三軸圧縮試験から得られたものである。セル圧力は10 kPaで一定に保たれ、軸応力は破壊に至るまで増加した（軸圧縮試験）。 [ 11] [12]
ステップ /ε 軸方向
δ
{\displaystyle \delta }
σ
δ
{\displaystyle \delta }
あなた
0 0 0 0
1 1 3,5 1,9
2 2 4,5 2,8
3 4 5,2 3,5
4 6 5,4 3,9
5 8 5,6 4.1
6 10 5,7 4,3
7 12 5,8 4,4
初期段階:
σ
=
[
σ
r
0
0
0
σ
r
0
0
0
σ
z
]
=
[
0
0
0
0
10
0
0
0
10
]
{\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}&0&0\\0&\sigma _{r}&0\\0&0&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]}
ステップ 1:
σ
1
=
[
0
0
0
0
10
0
0
0
10
]
+
σ
=
[
0
0
0
0
10
0
0
0
10
]
+
[
1
0
0
0
0
3.5
0
−
1
0
]
{\displaystyle \sigma _{1}=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]+\mathbf {\sigma } =\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&0&3.5\\0&-1&0\\\end{matrix}}\right]}
[
1
−
1.9
0
0
0
10
−
1.9
3.5
0
−
1
10
−
1.9
]
+
[
1.9
0
0
0
1.9
0
0
0
1.9
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}1-1.9&0&0\\0&10-1.9&3.5\\0&-1\ &10-1.9\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}1.9&0&0\\0&1.9&0\\0&0&1.9\\\end{matrix}}\right]}
ステップ 2 ～ 9 はステップ 1 と同じです。
ステップ7： [13]
σ
7
=
[
12
−
4.4
0
0
0
10
−
4.4
2.9
0
−
2
10
−
4.4
]
+
[
4.4
0
0
0
4.4
0
0
0
4.4
]
{\displaystyle \sigma _{7}=\left[{\begin{matrix}12-4.4\ \ \ &0&0\\0&10-4.4&2.9\\0&-2\ &10-4.4\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}4.4&0&0\\0&4.4&0\\0&0&4.4\\\end{matrix}}\right]}
注記
^ ab Schofield, AN; Wroth, P. (1968). 臨界状態土質力学. McGraw-Hill. ISBN 978-0-641-94048-4 . 2023年 12月16日 閲覧 。 ^ オックスフォード国立人名辞典、1961-1970、ロスコー、ケネス・ハリーの項目、pp 894-896 ^ K. H Roscoe、Andrew Schofield、C. P Wroth、1958、「土壌の降伏について」、Géotechnique 8(1)、22-53 ^ Roscoe KHとBurland JB, 1968, 「湿潤粘土の一般化された応力-ひずみ挙動について」, Eng. plasticity, Cambridge Univ. Press, 535-609 ^ Drucker, DC; Prager, W. (1958)「限界設計のための土質力学と塑性解析」 応用数学季刊誌 、第10巻第2号、 157～ 165頁 ^ Niechcial, J. (2002)、 「粘土の粒子：土木技師アレック・スケンプトンの伝記」 、Whittles Publishing ^ Joseph, PG (2013)「Deconstructing Critical State Soil Mechanics」 、 2017年 5月14日 閲覧。
^ Jenike, AW (1987)、「円錐降伏関数に基づく収束および発散チャネルにおける微粒子固体の流れ理論」、 Powder Technology 、第50巻、第3号、pp. 229– 236、 doi :10.1016/0032-5910(87)80068-2 ^ Szalwinski, CM (2017)、「粒状材料の臨界状態、破断状態、および連結強度について」、 Materials 、vol. 10、no. 8、p. 865、 Bibcode :2017Mate...10..865S、 doi : 10.3390/ma10080865 、 PMC 5578231 、 PMID 28773226 ^ せん断面における主有効応力はモール円の作図から計算できる。
{
σ
1
,
σ
3
,
}
=
σ
x
x
,
+
σ
z
z
,
2
±
(
σ
x
x
,
−
σ
z
z
,
2
)
2
+
σ
z
x
2
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\sigma _{1}^{,}\\\sigma _{3}^{,}\\\end{matrix}}\right\}={\frac {\sigma _{xx}^{,}+\sigma _{zz}^{,}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{xx}^{,}{\ -\ \sigma }_{zz}^{,}}{2}}\right)^{2}+\sigma _{zx}^{2}}}}
^ 問題54P ^ 土質工学入門。第2版。 ^ 「毛穴」が増えると「効果」は減ります。
参考文献
Roscoe, KH; Schofield, AN; Wroth, CP (1958)「土壌の降伏について」『 地盤工学』 第8巻、pp. 22– 53、 doi :10.1680/geot.1958.8.1.22 スコフィールド, AN; ロス, CP (1968), 臨界状態土質力学, マグロウヒル, p. 310, ISBN 978-0641940484 Schofield, AN (2006), 「撹乱土壌の特性と地盤工学設計」 、Thomas Telford、p. 216、 ISBN 978-0727729828
![{\displaystyle f(p,q,p_{c})=q+M\,p\,\ln \left[{\frac {p}{p_{c}}}\right]\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71295851d48842f27be4d7ab5876a63049b1938)
![{\displaystyle e=e_{0}-\lambda \ln \left[{\frac {p_{c}}{p_{c0}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac4edbb7d6ddae6d6738fddd0034b4c14655768b)
![{\displaystyle \ln \left[{\frac {1+e}{1+e_{0}}}\right]=\ln \left[{\frac {v}{v_{0}}}\right]=-{\tilde {\lambda }}\ln \left[{\frac {p_{c}}{p_{c0}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b3f4a65263aa374e88ed5d7a90a9d8280d5d34f)
![{\displaystyle f(p,q,p_{c})=\left[{\frac {q}{M}}\right]^{2}+p\,(p-p_{c})\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1da84c96a69f3982558888fcc86b089cd1444c3)
![{\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&0&\tau _{xz}\\0&0&0\\\tau _{zx}&0&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578d8c64a1d2439a0dc41426eb3deb5def56fe3e)
![{\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&0&\tau _{xz}\\0&0&0\\\tau _{zx}&0&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e030fcfc29c1201b12c6befe058b4fc69343fce)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\sigma _{z}\ \\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4388097b6fc3388c86b78f567e7ab34f66874e)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43813293b05030e259a2b4e0862a5b3cac15ceca)
![{\displaystyle +\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\mathbf {\delta z} \ \\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\sigma _{hydrostatic}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0\\0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22399796f3e41664cf593a2c281d147346be8126)
![{\displaystyle +\left[{\begin{matrix}{\frac {-{\delta p}_{w}}{2}}\ &0\\0&\sigma _{z}-{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}\ \\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11702ca6cacbc51b2f9bdd9d27a872a6ff0623c3)
![{\displaystyle +\left[{\begin{matrix}{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}&0\\0&{\frac {{\delta p}_{w}}{2}}\ \\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6503344af4bddf5dc824a7ee244b1a6dcb2c19)
![{\displaystyle \varepsilon_{z}={\frac{1}{E}}(1-2\nu \varepsilon)\ \left[\left[{\begin{matrix}\sigma_{xx}-\rho_{w}&\tau_{xz}\\\tau_{zx}&\sigma_{zz}-\rho_{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\rho_{w}&0\\0&\rho_{w}\\\end{matrix}}\right]\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b2b32455b70a655f44bb3d3d924602d63583fd)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c416a663fd1298b56b2d021d227f6d62f80ed45f)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&0\\0&\delta \sigma _{z}\ \\\end{matrix}}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cbaeb62dd986a61101a44e236e852cc13fba2b1)
![{\displaystyle =\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63cb9435492472f4e376aef9dda57bf3419cec34)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae8b414b6ddd893d99b4f107111901421fff486)
![{\displaystyle +\ \ \left[{\begin{matrix}-{p}_{w}\ /\mathbf {2} &0\\0&\sigma _{z}-{p}_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\delta p_{w}/2&0\\0&\delta p_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0badd23bad490a4169c9b78a30b3a316169dd26f)
![{\displaystyle +\ \ \left[{\begin{matrix}-{p}_{w}\ /\mathbf {2} &0\\0&\sigma _{z}-{p}_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\delta p_{w}/2&0\\0&\delta p_{w}/\mathbf {2} \ \\\end{matrix}}\right]+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c4b1c358769375fe2be294e9a05c2d00d33042)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&\tau _{xz}\\{\tau }_{zx}&0\\\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}0&{\delta p}_{w,int}\\{\delta p}_{w,int}&0\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef97000936a141ca23a535f38a7a4b19fa40900)
![{\displaystyle =\left[\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{w}&\tau _{xz}\\\tau _{zx}&\sigma _{zz}-\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\rho _{w}&0\\0&\rho _{w}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0&\delta \tau _{xz}\\{\delta \tau }_{zx}&0\\\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}0&{\delta p}_{w,int}\\{\delta p}_{w,int}&0\\\end{matrix}}\right]\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0461824fe12d65f1bfb6705c2976837914fc58fd)
![{\displaystyle ={\frac {1}{E}}\left(1-2\nu \varepsilon \right)\left[\rho _{u}+\rho _{w}+p\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7a514bc0b4f5f70375f3d676c188838729f7e3)
![{\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}&0&0\\0&\sigma _{r}&0\\0&0&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{z}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{静水力学}\\\end{マトリックス}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0afbfae6fba4ead06d2190e5d7a460dc25bf4d3)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{r}-\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{z}-\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e900db6e4f650e8cf02cbe002bfe0b2ed908005d)
![{\displaystyle +\left[{\begin{matrix}\sigma _{hydrostatic}&0&0\\0&\sigma _{hydrostatic}&0\\0&0&\sigma _{hydrostatic}\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/188b84d6bad573fc8de1a7b96244b49cd7a1de68)
![{\displaystyle +\left[{\begin{matrix}-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){p}_{w}&0&0\\0&-\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right){(p}_{w}&0\\0&0&(\sigma _{z}-{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)\ast \ p}_{w}\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03f2b74e4a15a598c8384aa2b286a8b8264a1a7)
![{\displaystyle -\ \ \left[{\begin{matrix}{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0&0\\0&{\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p}_{w}&0\\0&0&\left({\frac {r}{2H\ast 3}}\right)p_{w}\\\end{matrix}}\right]+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8834dde6ae7a8e58b658085680c818f7b83c18)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&0&{\delta \tau _{xz}}\\0&0&0\\\delta {\tau }_{\delta {zx}}&0&0\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac98a39e3bec928b582c856448307cfe5e43fc13)
![{\displaystyle +\left[{\begin{matrix}{\delta p_{w,int}}&0&0\\0&{\delta p_{w,int}}&0\\0&0&{\delta p_{w,int}}\\\end{matrix}}\right]+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef4342740cab28ae8e7df9a3875ef34e4b1b0bcf)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}{-\delta p_{w,int}}&0&0\\0&{-\delta p_{w,int}}&0\\0&0&{-\delta p_{w,int}}\\\end{matrix}}\right]+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672a7fd76678a1c1e09614535cdfd20252b57d23)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&0&{-\delta \tau _{xz}}\\0&0&0\\-\delta {\tau }_{\delta {zx}}&0&0\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0a68e928aae6775be863fe75cc5b0881080b7d)
![{\displaystyle \sigma =\left[{\begin{matrix}\sigma _{r}&0&0\\0&\sigma _{r}&0\\0&0&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc44133b5b3534cbfc0fdb3a8cd9f86601a457b)
![{\displaystyle \sigma _{1}=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]+\mathbf {\sigma } =\left[{\begin{matrix}0&0&0\\0&10&0\\0&0&10\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&0&3.5\\0&-1&0\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3ca7d2632040c74c36ea0439ff2e95b1763f1e)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}1-1.9&0&0\\0&10-1.9&3.5\\0&-1\ &10-1.9\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}1.9&0&0\\0&1.9&0\\0&0&1.9\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375f185eb6faf0b990368ce3a6317c943d4d6bbb)
![{\displaystyle \sigma _{7}=\left[{\begin{matrix}12-4.4\ \ \ &0&0\\0&10-4.4&2.9\\0&-2\ &10-4.4\\\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}4.4&0&0\\0&4.4&0\\0&0&4.4\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f755af8a6001395387d56d44ad988572f4f1319d)
