相互相関行列

2つのランダムベクトルの相互相関行列は、ランダムベクトルのすべての要素のペアの相互相関を要素として含む行列です。相互相関行列は、様々なデジタル信号処理アルゴリズムで使用されます。

意味

2つのランダムベクトル とに対して、それぞれが期待値と分散を持つランダム要素を含む場合、ととの相互相関行列は次のように定義される^{[ 1 ]：p.337。} ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]}$

次元は です。成分ごとに書くと次​​のようになります。 ${\displaystyle m\times n}$

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\\\\\end{bmatrix}}}$

ランダム ベクトルとは同じ次元である必要はなく、どちらもスカラー値である可能性があります。 ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

例

たとえば、と がランダムベクトルである場合、 は 番目の要素が である行列になります。 ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$ ${\displaystyle 3\times 2}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]}$

複素ランダムベクトル

とが複素乱数ベクトルで、それぞれが期待値と分散を持つ乱数変数を含む場合、と の相互相関行列は次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]}$

ここで はエルミート転置を表します。 ${\displaystyle {}^{\rm {H}}}$

非相関性

2つのランダムベクトルとが無相関であると言われるのは、 ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}.}$

相互共分散行列がゼロの場合にのみ、それらは無相関となります。 ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$

2つの複素ランダムベクトル の場合、それらは相関がないと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}$

そして

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {T}}.}$

プロパティ

相互共分散行列との関係

相互相関は、相互共分散行列と次のように関連しています。

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\rm {T}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}}$

複素ランダムベクトルの場合：

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])^{\rm {H}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}$

参照

• 自己相関
• 相関関係は因果関係を意味するものではない
• 共分散関数
• ピアソン積率相関係数
• 相関関数（天文学）
• 相関関数（統計力学）
• 相関関数（量子場理論）
• 相互情報
• レート歪み理論
• 放射分布関数

参考文献

1. グブナー、ジョン・A. (2006). 『電気・コンピュータエンジニアのための確率とランダムプロセス』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-86470-1。

さらに読む

• Hayes, Monson H., Statistical Digital Signal Processing and Modeling , John Wiley & Sons, Inc., 1996. ISBN 0-471-59431-8。
• Solomon W. Golomb、Guang Gong著『良好な相関のための信号設計：無線通信、暗号化、レーダー用』ケンブリッジ大学出版局、2005年。
• M. ソルタナリアン.アクティブセンシングと通信のための信号設計. ウプサラ大学理工学部学位論文集（Elanders Sverige AB社発行）, 2014年.