共振器の結合係数

共振器の結合係数は、2つの共振器の相互作用を特徴付ける無次元値です。結合係数は共振器フィルタ理論で用いられます。共振器は電磁共振器と音響共振器の両方に使用できます。結合係数は、共振周波数および共振器の外部品質係数とともに、フィルタの一般化パラメータです。フィルタの周波数応答を調整するには、これらの一般化パラメータを最適化するだけで十分です。

用語の進化

この用語は、フィルタ理論においてM Dishalによって初めて導入されました。^{[1] [非一次資料が必要]}ある程度、これは結合インダクタの結合係数の類似物です。この用語の意味は、結合共振器およびフィルタ理論の進歩に伴い、何度も改良されてきました。結合係数の後のほうの定義は、以前の定義の一般化または改良です。

結合係数は正の定数として扱われる

共振器の結合係数に関する以前のよく知られた定義は、G. Matthaeiらによるモノグラフ^[2]に示されている。これらの定義は、共振器間の結合が十分に小さいという仮定のもとで定式化されているため、近似値であることに注意されたい。2つの等しい共振器の場合の 結合係数は、式${\displaystyle k}$

${\displaystyle k=|f_{o}-f_{e}|/f_{0},}$ （1）

ここで、共振器の無負荷ペアの偶数および奇数結合振動の周波数であり、式（2）で定義される結合係数は、共振周波数における共振器の相互作用を特徴付ける正の定数であることは明らかである。${\displaystyle f_{e},}$ ${\displaystyle f_{o}}$ ${\displaystyle f_{0}={\sqrt {f_{e}f_{o}}}.}$ ${\displaystyle f_{0}.}$

インピーダンスまたはアドミタンスインバータを両ポートに負荷した適切な等価ネットワークを、共振1ポートネットワークと等しい共振周波数を持つ結合共振器のペアと整合させることができる場合、結合係数は次式で定義される。 ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {K_{12}}{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}}$ （2）

直列型共振器の場合、式

${\displaystyle k={\frac {J_{12}}{\sqrt {b_{1}b_{2}}}}}$ （3）

並列型共振器の場合。ここで、はインピーダンス・インバータおよびアドミタンス・インバータパラメータ、は共振周波数における第1および第2の直列型共振回路網のリアクタンス勾配パラメータ、は第1および第2の並列型共振回路網の サセプタンス勾配パラメータです。${\displaystyle K_{12},}$ ${\displaystyle J_{12}}$ ${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle f_{0},}$ ${\displaystyle b_{1},}$ ${\displaystyle b_{2}}$

共振器が共振LC回路である場合、結合係数は（2）と（3）に従って次の値を取る。

${\displaystyle k_{L}={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}}$ （4）

誘導結合回路とその値

${\displaystyle k_{C}={\frac {C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}.}$ （5）

容量結合回路の場合。ここで、は第1回路のインダクタンスと静電容量、は第2回路のインダクタンスと静電容量、は相互インダクタンスと相互静電容量です。式(4)と(5)は、電気回路理論において古くから知られています。これらは、結合共振LC回路の誘導性結合係数と容量性結合係数の値を表しています。 ${\displaystyle L_{1},}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle L_{2},}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle L_{m},}$ ${\displaystyle C_{m}}$

結合係数は符号付き定数として扱われる

近似式（１）の改良は^[3]で達成された。正確な式は次のようになる。

${\displaystyle k={\frac {f_{o}^{2}-f_{e}^{2}}{f_{o}^{2}+f_{e}^{2}}}.}$ （6）

この式を導出する際には、式(4)と式(5)が用いられました。現在では式(6)は広く認知されており、JS. Hongによる引用数の多い論文^[4]に掲載されています。結合係数は、${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{o}<f_{e}.}$

新しい定義(6)によれば、共振LC回路の誘導結合係数の値は、以前と同様に式(4)で表される。これは、${\displaystyle k_{L}}$ ${\displaystyle L_{m}>0}$ ${\displaystyle L_{m}<0.}$

一方、共振LC回路の容量結合係数の値は常に負である。(6)に従って、共振回路の容量結合係数の式(5)は異なる形をとる。 ${\displaystyle k_{C}}$

${\displaystyle k_{C}={\frac {-C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}.}$ （7）

電磁共振器間の結合は、磁場または電場によって実現される。磁場による結合は誘導結合係数によって特徴付けられ、電場による結合は容量結合係数によって特徴付けられる。通常、共振器間の距離が増加すると、と の絶対値は単調に減少する。それらの減少率は異なる場合がある。しかし、それらの和の絶対値は、距離範囲全体にわたって減少することも、ある距離範囲で増加することもある。^[5]${\displaystyle k_{L}}$ ${\displaystyle k_{C}.}$ ${\displaystyle k_{L}}$ ${\displaystyle k_{C}}$

^{誘導結合係数と容量結合係数の和は式[3]}によって求められる。

${\displaystyle k={\frac {k_{L}+k_{C}}{1+k_{L}k_{C}}}.}$ （8）

この式は定義(6)と式(4)および式(7)から導かれる。

結合係数自体の符号は重要ではないことに注意してください。すべての結合係数の符号を同時に切り替えても、フィルタの周波数応答は変化しません。ただし、2つの結合係数の照合、特に誘導性結合係数と容量性結合係数の加算においては、符号が重要になります。 ${\displaystyle k}$

強制振動周波数の関数として考慮される結合係数

結合した2つの共振器は、共振周波数以外でも相互作用する可能性があります。これは、一方の共振器からもう一方の共振器へ強制振動のエネルギーを伝達する能力によって裏付けられます。したがって、共振器の相互作用を、共振の次数を表す 定数の集合ではなく、強制振動周波数の連続関数で特徴付ける方がより正確です。${\displaystyle k(f)}$ ${\displaystyle k_{p}}$ ${\displaystyle p}$

関数が条件を満たさなければならない ことは明らかである${\displaystyle k(f)}$

${\displaystyle k(f)|_{f=f_{p}}=k_{p}.}$ （9）

さらに、この関数は、1つの共振器から別の共振器への高周波電力の伝達が存在しない 周波数ではゼロになる必要がある、つまり2番目の条件を満たす必要がある。${\displaystyle k(f)}$ ${\displaystyle f_{z}}$

${\displaystyle k(f)|_{f=f_{z}}=0.}$ （10）

伝送零点は、特に誘導性・容量性結合が混在する共振回路において、次の式で表されるときに発生する。その周波数は^[6]式で表される。${\displaystyle L_{m}>0.}$ ${\displaystyle k(f)}$

${\displaystyle f_{z}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {L_{m}}{(L_{1}L_{2}-L_{m}^{2})C_{m}}}}}$ （11）

式(6)を一般化し、条件(9)と(10)を満たす関数の定義は、エネルギーベースのアプローチで述べられている。 ^[6]この関数は、周波数依存の誘導性および容量性結合係数を介して式(8)で表され、式で定義される 。${\displaystyle k(f)}$ ${\displaystyle k_{L}(f)}$ ${\displaystyle k_{C}(f)}$

${\displaystyle k_{L}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12L}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}},}$ （12）

${\displaystyle k_{C}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12C}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}}.}$ （13）

ここで、は両方の共振器によって蓄えられた高周波電磁場のエネルギーを表します。上のバーは高周波エネルギーの静的成分を表し、ドットは高周波エネルギーの振動成分の振幅を表します。下付き文字は高周波エネルギーの磁気成分を表し、下付き文字は高周波エネルギーの電気的成分を表します。下付き文字11、12、および22は、それぞれに比例する蓄えられたエネルギー成分を表します。ここで、は第1共振器ポートにおける高周波電圧の複素振幅、は第2共振器ポートにおける電圧の複素振幅です。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle |U_{1}|^{2},}$ ${\displaystyle |U_{1}||U_{2}|}$ ${\displaystyle |U_{2}|^{2}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$

（12）と（13）から得られる結合共振回路のペアに対する周波数依存の誘導性結合と容量性結合の明示的な関数は、次の形をとる^[6] （14）${\displaystyle k_{L}(f)={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{-2}f^{2})(1+f_{2}^{-2}f^{2})}}},}$

${\displaystyle k_{C}(f)={\frac {-C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{2}f^{-2})(1+f_{2}^{2}f^{-2})}}}}$ （15）

ここで、結合によって乱される第1および第2の回路の共振周波数である。これらの関数の値は、式(14)および(15)で定義される定数と一致することがわかる。また、式(8)、(14)、(15)で計算される関数は、式(11)で定義される定数と一致する。 ${\displaystyle f_{1},}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle f=f_{1}=f_{2}}$ ${\displaystyle k_{L}}$ ${\displaystyle k_{C}}$ ${\displaystyle k(f)}$ ${\displaystyle f_{z}}$

フィルタ理論における結合係数

インライン結合トポロジーを備えたバンドパスフィルタ

チェビシェフ周波数応答を持つマイクロ波狭帯域バンドパスフィルタの理論は、モノグラフ^[2]に記載されている。これらのフィルタでは、すべての共振器の共振周波数が通過帯域の中心周波数に調整されている。各共振器は最大2つの隣接共振器と結合される。2つの端共振器のそれぞれは、1つの隣接共振器と2つのフィルタポートのいずれかと結合される。このような共振器結合のトポロジーはインライン結合と呼ばれる。インライン結合トポロジーを持つフィルタでは、入力ポートから出力ポートへのマイクロ波電力伝送経路は1つだけである。 ${\displaystyle f_{0}.}$

インライン結合トポロジーを有するフィルタにおいて、指定されたフィルタ周波数応答を満たす隣接共振器の結合係数の値に関する近似式の導出は、^[2]に示されている。ここで、およびはフィルタ内の結合共振器の次数である。これらの式は、式(2)および(3)と同様に、ローパスプロトタイプフィルタを用いて導出された。ローパスプロトタイプフィルタの周波数応答は、第一種チェビシェフ関数によって特徴付けられる。これらの式は^[7]で初めて発表された。これらの式は、 ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i+1}$

${\displaystyle k_{i,i+1}={\frac {f_{2}-f_{1}}{\sqrt {f_{1}f_{2}g_{i}g_{i+1}}}},}$ （16）

ここで、正規化されたプロトタイプ要素の値、は共振器の数に等しいチェビシェフ関数の次数、はバンドエッジ周波数です。 ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle (i=0,1,2...n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{1},}$ ${\displaystyle f_{2}}$

フィルタの指定されたバンドパスの プロトタイプ要素値は、次の式で計算されます。${\displaystyle g_{i}}$

${\displaystyle g_{0}=1,}$ ${\displaystyle g_{1}=2a_{1}/\gamma ,}$

${\displaystyle g_{i}={\frac {4a_{i-1}a_{i}}{b_{i-1}g_{i-1}}},(i=2,3,...n),}$ （17）

${\displaystyle g_{n+1}=1,}$ 偶数の 場合、${\displaystyle n}$

${\displaystyle g_{n+1}=\mathrm {coth} ^{2}(\beta /4),}$ が奇数の 場合。${\displaystyle n}$

ここでは次の表記が使われた

${\displaystyle \beta =2\mathrm {artanh} {\sqrt {10^{-\Delta L/10}}},}$ ${\displaystyle \gamma =\mathrm {sh} ({\frac {\beta }{2n}}),}$ （18）

${\displaystyle a_{i}=\mathrm {sin} {\frac {(2i-1)\pi }{2n}},}$ ${\displaystyle b_{i}=\gamma ^{2}+\mathrm {sin} ^{2}({\frac {i\pi }{n}}),(i=1,2,...n),}$

ここで、必要な通過帯域リップルは dB 単位です。 ${\displaystyle \Delta L}$

式(16)は近似値であるが、これは結合係数の近似的な定義(2)と(3)が用いられているからというだけでなく、プロトタイプフィルタにおける結合係数の正確な式は^[8]で得られている。しかし、実際のフィルタ設計においては、以前の式も改良された式も近似値のままである。精度はフィルタ構造と共振器構造の両方に依存する。比帯域幅が狭くなると精度は向上する。

式(16)とその改良版の不正確さは、共振器やフィルタの構造によって大きく異なる結合係数の周波数分散に起因します。^[9]言い換えれば、周波数における結合係数の最適値は、必要な通過帯域の仕様と導関数の値の両方に依存します。つまり、必要な通過帯域を保証する係数の正確な値は事前に知ることができません。それらはフィルタの最適化後にのみ決定できます。したがって、式(16)は、フィルタの最適化前に結合係数の初期値を決定するために使用できます。 ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle dk_{i,i+1}/df|_{f=f_{0}}.}$ ${\displaystyle k_{i,i+1}}$

近似式(16)は、インライン結合トポロジーを持つフィルタに関するいくつかの普遍的な規則性を明らかにすることを可能にする。例えば、現在のフィルタの通過帯域を広くするには、すべての結合係数をほぼ比例的に増加させる必要がある。これらの係数は、入力ポートと出力ポートの伝送線路の特性インピーダンスが異なるフィルタであっても、中央の共振器または中央の共振器対に対して対称である。係数の値は、外側の共振器対から中央の共振器対へと移動するにつれて単調に減少する。 ${\displaystyle k_{i,i+1}.}$ ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ ${\displaystyle k_{i,i+1}}$

プロトタイプとは異なり、インライン結合トポロジーを採用した実際のマイクロ波フィルタは、阻止帯域に透過零点を持つ場合があります。^[10]透過零点はフィルタの選択性を大幅に向上させます。透過零点が発生する理由の一つは、1組以上の共振器の結合係数の周波数分散であり、透過零点の周波数で結合係数が消失します。^[11]${\displaystyle k_{i,i+1}}$

クロスカップリング付きバンドパスフィルタ

フィルタの選択性を向上させる目的で阻止帯域に透過零点を生成するために、フィルタには最近傍結合に加えて、しばしば複数の補助結合が設けられます。これらはクロスカップリングと呼ばれます。これらの結合は、入力ポートから出力ポートへの複数の波の経路の基礎となります。異なる経路を通過した波の振幅は、出力ポートで加算される際に、いくつかの異なる周波数で互いに補正されることがあります。このような補正によって透過零点が生成されます。

クロスカップリングを持つフィルタでは、次元 , の結合行列を用いて、すべてのフィルタ結合を全体として特徴付けるのに便利です。^{[4] [12]}これは対称です。すべての非対角要素は、 i番目とj番目の共振器の結合係数です。すべての対角要素は、 i番目の共振器の正規化されたサセプタンスです。同調フィルタのすべての対角要素は、共振周波数でサセプタンスがゼロになるため、ゼロになります。 ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle k_{ij}.}$ ${\displaystyle M_{ii}}$ ${\displaystyle M_{ii}}$

この行列の重要な利点は、誘導結合共振回路を有する等価回路の周波数応答を直接計算できることである。^{[4] [12]}したがって、この行列はクロスカップルドフィルタの設計に便利である。特に、結合行列はフィルタの粗いモデルとして使用される。 ^[13]粗いモデルの使用により、フィルタの最適化を何倍も高速化することができる。これは、粗いモデルの周波数応答の計算は、実際のフィルタの計算に比べて CPU時間を消費しないためである。${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$

ベクトル場による結合係数

結合係数は相互インダクタンスと容量の両方の関数であるため、ベクトル場とで表されることもできる。ホンは、結合係数は正規化された重なり積分の和であると提案した^{[14] [15]}${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$

${\displaystyle \kappa =\kappa _{E}+\kappa _{M},}$ （19）

どこ

${\displaystyle \kappa _{E}={\frac {\int _{V}\epsilon \mathbf {E} _{1}{\dot {\mathbf {E} }}_{2}dv}{\sqrt {\int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{1}|^{2}dv\times \int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{2}|^{2}dv}}}}$ （20）

そして

${\displaystyle \kappa _{M}={\frac {\int _{V}\mu \mathbf {H} _{1}{\dot {\mathbf {H} }}_{2}dv}{\sqrt {\int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{1}|^{2}dv\times \int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{2}|^{2}dv}}}.}$ （21）

対照的に、結合モード形式に基づいて、AwaiとZhangは負の符号を使用することを支持する式を導出した。すなわち、^{[16] [17]}${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \kappa =\kappa _{M}-\kappa _{E}.}$ （22）

式(19)と式(22)は近似値である。これらは弱結合の場合のみ式(8)と完全に一致する。式(20)と式(21)は、式(12)と式(13)とは対照的に、多共振器バンドパスフィルタの周波数応答においてしばしば透過率零点として現れる周波数分散を記述していないため、近似値である。

ラグランジュの運動方程式を用いて、メタダイマーを形成する2つのスプリットリング共振器間の相互作用は、2つの項の差に依存することが実証された。この場合、結合エネルギーは表面電荷と電流密度で表された。^{[18] [19] [20]}

^{最近、エネルギー結合モード理論（ECMT） [21]} 、固有値問題の形の結合モード形式に基づいて、結合係数は確かに磁気成分と電気成分の差とであることが示されました。^[22]ポインティングの定理を微視的形式で使用して、共振器モード間の相互作用エネルギーで表現できる ことが示されました。${\displaystyle \kappa _{M}}$ ${\displaystyle \kappa _{E}}$ ${\displaystyle \kappa }$

参考文献

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外部リンク

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