立方体複合体

数学において、立方体複体（立方集合、デカルト複体^{[ 1 ]}とも呼ばれる）は、点、線分、正方形、立方体、およびそれらのn次元対応物から構成される集合である。これらは、位相空間のホモロジーの計算において、単体複体やCW複体と同様に用いられる。非正曲面立方体複体とCAT(0)立方体複体は、幾何学的群論において重要性を増している。

すべてのグラフは1 次元立方体複体（と同相）です。

定義

通常のキューブの場合

次元の単位立方体（単に立方体と呼ばれることが多い）は、単位区間のコピーの有限（）直積として得られる距離空間です。 ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle l^{2}}$ ${\displaystyle C_{n}=I^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$

単位立方体の面は、 の形式の部分集合である。ここで、すべての に対して、は、、 、 のいずれかである。面の次元は、となる添字の数である。次元 の面、つまり-面は、それ自体が 次元の単位基本立方体であり、 の部分立方体と呼ばれることもある。 を次元 の面とみなすこともできる。 ${\displaystyle F\subset {C_{n}}}$ ${\displaystyle F=\prod _{i=1}^{n}J_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle J_{i}=[0,1]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$ ${\textstyle \emptyset }$ ${\textstyle -1}$

立方体複合体は、すべてのセルが単位立方体である計量多面体複合体である。すなわち、面の等長的同一視の集合によって生成される同値関係の下で、単位立方体の複製の非結合和集合の商である。立方体複合体、あるいは立方体複合体という用語は、同じ立方体の2つの面が同一視されない、すなわち各立方体の境界が埋め込まれ、2つの立方体の交差が各立方体の面であるような立方体複合体を指すことが多い。^{[ 2 ]}

立方体複合体は、立方体のセルの次元が有限である場合、有限次元であると言われます。すべての立方体が有限個の立方体のみに含まれる場合、 局所有限です。

不規則な立方体

基本区間は、次の形式の 部分集合である。${\displaystyle I\subsetneq \mathbf {R} }$

${\displaystyle I=[l,l+1]\quad {\text{or}}\quad I=[l,l]}$

ある に対して となる。基本立方体は基本区間の有限積である。すなわち ${\displaystyle l\in \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{d}\subsetneq \mathbf {R} ^{d}}$

ここで、 は基本区間である。同様に、基本立方体とは、ユークリッド空間に埋め込まれた単位立方体の任意の平行移動である（ を満たすものに対して）。^{[ 3 ]}集合が立方体複体（または立方体集合）であるとは、それが基本立方体の和集合として表される（あるいはそのような集合に同相である）場合である。 ^{[ 4 ]}${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots ,I_{d}}$ ${\displaystyle [0,1]^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}$ ${\displaystyle n,d\in \mathbf {N} \cup \{0\}}$ ${\displaystyle n\leq d}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbf {R} ^{d}}$

関連用語

長さ0の基本区間（1点を含む）は退化と呼ばれ、長さ1の基本区間は非退化 と呼ばれます。立方体の次元はにおける非退化区間の数であり、 と表記されます。立方体複体の次元はにおける任意の立方体の最大次元です。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \dim Q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

とが基本立方体で の場合、 はの面です。 が で の面の場合、はの真面です。がで の面の場合、はの面または主面です。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q\subseteq P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q\neq P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \dim Q=\dim P-1}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

代数的位相幾何学では

代数位相幾何学において、立方複体は具体的な計算にしばしば有用である。特に、立方複体に対するホモロジーの定義は、特異点ホモロジーと一致するが、計算可能である。

幾何学的群論では

CAT(0)立方体複体上の等長変換によって幾何学的に作用する群は、CAT(0)群の幅広い例を提供する。

サゲエフ構成はバス・セール理論の高次元一般化として理解することができ、木はCAT(0)立方複体に置き換えられている。^{[ 5 ]}ダニエル・ワイズによる研究は、立方群の基礎的な例を提供している。^{[ 6 ]}立方双曲群が事実上特殊であるというアゴルの定理は、双曲的事実上ハーケン予想を解決した。これは、サーストンの幾何化予想がペレルマンによって証明された後、この予想の唯一のケースであった。^{[ 7 ]}

CAT(0)立方体錯体

グロモフの定理

グロモフの連結条件。有限次元立方体複体は、そのすべての頂点連結が旗単体である場合に限り、局所的にCAT(0)である。複体。

超平面

CAT(0)立方体複合体と群作用

サゲエフ建設

RAAGとRACG

アプリケーション

立方複体は、数学、コンピュータサイエンス、ロボット工学、人工知能など、幅広い分野で応用されています。その組み合わせ論的および幾何学的構造は、離散配置空間をモデル化し、幾何学的群論のツールを実際の問題に適用するための強力な手段を提供します。

最も発展した応用分野の一つはロボット工学と動作計画であり、ここでは立方体複合体が再構成可能なシステムの構成空間を表現するために用いられています。エイブラムス、グリスト、ピーターソンによって導入された状態複合体は、モジュール型ロボットのあらゆる許容構成を非正曲率立方体複合体としてモデル化し、CAT(0)幾何学を用いて最短経路を計算し、再構成戦略を最適化することを可能にします。^{[ 8 ] [ 9 ]}同様の手法は複数のロボットエージェントの協調にも適用されており、衝突のないナビゲーションと自己再構成のための効率的なアルゴリズムを生み出しています。^{[ 10 ]}

立方体複合体は最近、人工知能の安全性にも応用されている。注目すべき例として、Burns と Tang の研究がある。^{[ 11 ]}この研究は、状態複合体の Abrams–Ghrist–Peterson フレームワークを基にして、強化学習研究で一般的に使用されるマルチエージェント グリッドワールド環境を分析している。Burns と Tang は、「ダンス」、つまり独立した、あるいは編みこまれたエージェントの動きをエンコードする高次元の立方体を組み込んだ修正された状態複合体を紹介している。この修正によって、複合体の固有の形状が安全性に重要な情報をエンコードできるようになった。立方体複合体で正の曲率を検出する Gromov のリンク条件の失敗をテストすることにより、^{[ 12 ]}彼らは、潜在的なエージェントの衝突が非正の曲率の局所的な違反に正確に対応することを示す。これにより、トレーニング データを必要とせずに危険な状態や望ましくない状態を識別するための純粋に幾何学的な方法が提供される。特に、衝突検出は頂点のリンク内の単純な組み合わせパターンのチェックにまで簡略化され、マルチエージェントシステムにおけるリアルタイム計画の計算ショートカットを提供します。

立方体複体の他の応用としては、位相データ解析（永続ホモロジーにおける単体複体の代替として役立つ）、幾何学群論（CAT(0)立方体複体が群作用のための空間を提供する）、および組合せ論（立方体複体の超平面構造が2値分類問題^をエンコードできる）などが^{ある。[ 14 ]}

参照

• 単体複体
• 単体ホモロジー
• 抽象的な細胞複合体

参考文献

1. Kovalevsky, Vladimir. 「デジタルトポロジー入門講義ノート」 . 2020年2月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年11月30日閲覧。
2. マーティン・R・ブリッドソン; Haefliger、André (1999)、Bridson、Martin R.; Haefliger、André (編)、「Mκ—Polyhedral Complexes」、非正曲率の計量空間、ベルリン、ハイデルベルク: Springer、p. 115、土井：10.1007/978-3-662-12494-9_7、ISBN 978-3-662-12494-9、 2024年11月19日閲覧
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