カニンガム数

数学、特に数論において、カニンガム数はイギリスの数学者AJC カニンガムにちなんで名付けられたある種の整数です。

意味

カニンガム数は二項数の一種で、次のような形式をとる。

${\displaystyle b^{n}\pm 1}$

ここで、bとnは整数であり、bは完全べき乗ではありません。これらはC ^± ( b ,  n )と表記されます。

条項

カニンガム数列の最初の 15 項は次のとおりです。

3、5、7、8、9、10、15、17、24、26、28、31、33、35、37、...（OEISの配列A080262）

プロパティ

• カニンガム数は偶数と奇数で無限に存在する。観察によって証明できるのは、

${\displaystyle 6^{n}\pm 1}$

${\displaystyle 5^{n}\pm 1}$

どちらもカニンガム数に含まれており、それぞれ奇数と偶数のみを含みます。

• • 同じ論理で、7 を法とした 10 となるカニンガム数は無限に存在し、6 を法とした 10 となるカニンガム数も同様に無限に存在します。

素数

与えられたカニンガム数が素数であるかどうかを判定することが、この種の数に関する研究の主な焦点となっている。^[1] この点で特に有名なカニンガム数の2つの族は、 C ⁺ (2, 2 ^m )の形のフェルマー数と、 C ⁻ (2,  n )の形のメルセンヌ数である。

カニンガムは、これらの数のうちどれが素数であるかに関する既知のデータをすべて集めることに取り組みました。1925年に彼はHJウッドオールと共に、自身の研究結果をまとめた表を発表しました。その後、これらの表を埋めるために多くの計算が行われました。^[2]

参照

• カニンガムプロジェクト

参考文献

1. J. Brillhart、DH Lehmer、J. Selfridge、B. Tuckerman、SS Wagstaff Jr.、 「b ⁿ ±1、b=2、3、5、6、7、10、11、12の因数分解、n乗まで」 、第3版、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会、1988年。
2. RP Brent および HJJ te Riele、Factorizations of a ⁿ ±1, 13≤a<100 Report NM-R9212、Centrum voor Wiskunde en Informatica。アムステルダム、1992 年。

外部リンク

• MathWorldにおけるカニンガム数
• カニンガム数を因数分解する共同作業であるカニンガムプロジェクト