磁気ヘリシティ
磁場トポロジーの測定
磁気ヘリシティ
単位系Wb 2 ( SI )、Mx 2 (ガウス)
単位プラズマ物理学、電磁流体力学
シンボルH M
寸法[ML 4 T −2 I −2 ]
保存されたはい（理想的なMHDの場合）

プラズマ物理学において、磁気ヘリシティは磁場のつながり、ねじれ、ねじれの尺度である。[1] [2]

磁気ヘリシティは、多くの天体物理学的環境を含む、非常に低い抵抗率を持つ系の解析に用いられます。抵抗率が低い場合、磁気ヘリシティは長い時間スケールにわたって近似的に保存されます。磁気ヘリシティのダイナミクスは、太陽フレアやコロナ質量放出の研究において重要です。[3]太陽風のダイナミクスにも関連しています。[4]その近似的な保存性は、ダイナモ過程において重要です。また、逆磁場ピンチ実験を含む核融合研究においても重要な役割を果たしています。[5] [6] [7] [8] [9]

磁場が磁気ヘリシティを含む場合、小規模な構造から大規模構造の形成を促進することができます。[10]このプロセスは、フーリエ空間では逆伝達と呼ばれています。3次元では、磁気ヘリシティがより大きなスケールへの成長をサポートします。対照的に、通常の流体力学における多くの3次元流れは乱流であり、大規模な渦がより小さな渦に 分解され、粘性効果によって消散する直接的なカスケードを示します。並行しているが反転したプロセスにより、磁気ヘリシティがゼロではない小さならせん状の磁気構造が結合して、大規模な磁場を形成します。この動作は、太陽系の大規模な磁気構造である太陽圏電流シートのダイナミクスで観測されています。 [11]

歴史

ヘリシティの概念は20世紀半ばに流体力学の分野で出現した。イギリスの流体力学者H・K・モファットは、渦線の結び目と彼がヘリシティと名付けた保存積分を結びつけた。[12]磁気流体力学では、オランダ系アメリカ人の天体物理学者ロデウィク・ウォルチャーが磁気ヘリシティが理想的な不変量であることを証明し、固定ヘリシティにおける最小エネルギー状態を特徴づけた。ドイツ系アメリカ人の地球物理学者ウォルター・M・エルザッサーのダイナモ研究は、宇宙磁気におけるそのような不変量の初期の理論的基礎を提供した。[13] [14]

1970年代から1980年代にかけて、この概念は乱流理論、プラズマ実験室実験、そして位相幾何学の進歩によってさらに発展した。ウリエル・フリッシュと共同研究者たちは、磁気ヘリシティがより大きなスケールへと逆転移することを予測し、これは後に数値的に確認され、磁化乱流における自己組織化への道筋として解釈された。[15]アメリカのプラズマ物理学者JBテイラーは、閉じ込められたプラズマに対する緩和理論を提唱し、低抵抗によってヘリシティが保存されるフォースフリー状態への急速な緩和が可能になると主張した。彼は、緩和の間は「完全な磁気ヘリシティのみが残る」ことを強調した。[16] [17]位相幾何学の分野では、アメリカの数学者ミッチェル・A・バーガーとアメリカの天体物理学者ジョージ・B・フィールドが相対磁気ヘリシティを導入し、磁束が境界を横切る体積にも不変量を拡張した。アメリカのプラズマ物理学者ジョン・M・フィンとトーマス・M・アントンセン・ジュニアは、同等のゲージ不変表現を提示し、「一般ゲージ不変定義」を記述した。[18] [19]

1990年代以降、磁気ヘリシティは太陽物理学および宇宙物理学において重要な観測・診断ツールとなった。ドイツの太陽物理学者ノルベルト・ゼーハーファーは、活動領域における現在のヘリシティは「北半球では主に負」、南半球では「正」であると報告し、経験的な半球則を確立し、広範な追跡研究のきっかけとなった。[20]アメリカの太陽物理学者アレクセイ・A・ペフツォフ、リチャード・C・キャンフィールド、トーマス・R・メトカーフは、活動領域のヘリシティパターンをマッピングし、その緯度変化を実証することで、光球測定とコロナのダイナミクスおよび放出との関連を明らかにした。[21] [22]太陽風と太陽圏の解析では、ヘリシティを用いて大規模な磁気構造と輸送を解釈した。[23]

科学者たちは、現実的な開放系におけるヘリシティをいかにして定義し測定するのが最善か、また局所的なプロキシをどのように解釈するかについて議論してきた。現在、境界を横切る磁束を持つ体積に対しては相対磁気ヘリシティが標準的なアプローチとなっているが、完全な3次元測定が不可能な場合には電流ヘリシティやその他のプロキシが用いられる。[18] [19] [24]現在も議論が続いているのはゲージ問題と、弱不均質乱流において意味のある局所ヘリシティ密度を定義できるかどうかであり、ゲージ不変な局所的測定の提案や数値診断の改善につながっている。[25]ダイナモ理論では、磁気ヘリシティ保存則が大規模場の成長を制約する。ヘリシティフラックスと開放境界に関する研究は、そのようなフラックスがこれらの制約を緩和できることを示唆しており、これは天体物理学的ダイナモモデリングで発展した視点である。[26] [27] [28]

数学的な定義

一般的に、体積内に閉じ込められた滑らかなベクトル場のヘリシティは、場の線が互いに巻き付いて渦を巻く程度の尺度である。[29] [2]これは、 のスカラー積とその回転の体積積分として定義される。 H f {\displaystyle H^{\mathbf {f} }} f {\displaystyle \mathbf {f} } V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} f {\displaystyle \mathbf {f} } ∇ × f {\displaystyle \nabla \times {\mathbf {f} }} H f ＝ ∫ V f ⋅ （ ∇ × f ）   d V 。 {\displaystyle H^{\mathbf {f} }=\int _{V}{\mathbf {f} }\cdot \left(\nabla \times {\mathbf {f} }\right)\ dV.}

磁気ヘリシティ

磁気ヘリシティとは、体積 に閉じ込められた磁場が関係する磁気ベクトルポテンシャルのヘリシティである。磁気ヘリシティは次のように表される[5]。 H M {\displaystyle H^{\mathbf {M} }} あ {\displaystyle {\mathbf {A} }} ∇ × あ ＝ B {\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }} V {\displaystyle V} H M ＝ ∫ V あ ⋅ B   d V 。 {\displaystyle H^{\mathbf {M} }=\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV.}

磁気ベクトルポテンシャルはゲージ不変ではないため、磁気ヘリシティも一般にゲージ依存となる。結果として、物理系の磁気ヘリシティを直接測定することはできない。特定の条件下では、系の現在のヘリシティを測定し、さらなる条件が満たされれば磁気ヘリシティを推定することができる。[30]

磁気ヘリシティの単位は磁束の2乗で、 SI単位ではWb 2（ウェーバーの2乗） 、ガウス単位ではMx 2（マクスウェルの2乗）です。[31]

現在のヘリシティ

電流ヘリシティ、つまり体積 に閉じ込められた磁場のヘリシティは、次のように表すことができます 。 ここでは電流密度です。 [32]磁気ヘリシティとは異なり、電流ヘリシティは理想的な不変量ではありません。電気抵抗がゼロで あっても、電流ヘリシティは保存されません。 H J {\displaystyle H^{\mathbf {J} }} B {\displaystyle \mathbf {B} } V {\displaystyle V} H J ＝ ∫ V B ⋅ J   d V {\displaystyle H^{\mathbf {J} }=\int _{V}{\mathbf {B} }\cdot {\mathbf {J} }\ dV} J ＝ ∇ × B {\displaystyle {\mathbf {J} }=\nabla \times {\mathbf {B} }}

ゲージの考慮事項

磁気ヘリシティはゲージに依存する量であり、勾配、つまりゲージの変化を加えることで再定義できる。しかし、完全導体境界や正味の磁束を持たない周期系の場合、領域全体に含まれる磁気ヘリシティはゲージ不変である[32]。つまり、ゲージの選択に依存しない。境界面に非ゼロの磁束を持つ体積に対しては、ゲージ不変の相対ヘリシティが定義されている[11] 。 あ {\displaystyle \mathbf {A} }

位相的解釈

ヘリシティという用語は、速度と渦度を持つ流体中の流体粒子の軌跡が、運動ヘリシティがである領域でヘリックスを形成することを反映しています。 のとき、結果として生じるヘリックスの形状は右巻きです。 のとき、結果として生じるヘリックスの形状は左巻きです。この挙動は磁力線の挙動とよく似ています。 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} ω ＝ ∇ × v {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {v}}} H K ＝ ∫ v ⋅ ω d V ≠ 0 {\displaystyle \textstyle H^{K}=\int \mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\omega }}dV\neq 0} H K > 0 {\displaystyle \textstyle H^{K}>0} H K < 0 {\displaystyle \textstyle H^{K}<0}

磁気ヘリシティがゼロではない領域には、ヘリカル磁力線などの他の種類の磁気構造も含まれることがあります。磁気ヘリシティとは、磁場を記述するために必要な微分量にリンク数を付与するという位相幾何学的概念の連続的な一般化です。 [11]リンク数が曲線の連結回数を表すのに対し、磁気ヘリシティは磁力線の連結数を表します。[5]

ねじれとねじれの値が変化する曲線の例。磁気ヘリシティは、磁力線におけるこれら2つの量の和を測定する。この和は、曲線が切断または接合されていないすべての変換において保存される。

磁気ヘリシティは、磁力線の位相量であるねじれと捩れの和に比例します。ねじれは磁束管の軸周りの回転であり、捩れは磁束管の軸自体の回転です。位相変換はねじれと捩れを個別に変化させることができますが、それらの和は保存されます。閉じた磁力線ループの集合である磁束管は、磁気流体中では交差を避ける傾向があるため、磁気ヘリシティはよく保存されます。

磁気ヘリシティは流体力学的ヘリシティ（流体の流路に対応する量）と密接に関連しており、それらのダイナミクスは相互に関連している。[10] [33]

プロパティ

理想的な二次不変性

1950年代後半、ロデウィク・ウォルチャーとウォルター・M・エルサーは独立して、磁気ヘリシティの理想不変性[34] [35]、すなわち電気抵抗がゼロのときの磁気ヘリシティの保存性を発見した。以下は、ウォルチャーによる閉系に対する証明の概要である。

理想的な磁気流体力学では、磁場と磁気ベクトル ポテンシャルの時間発展は、それぞれ誘導方程式を使用して表すことができます。 ここ で、はゲージ条件によって与えられるスカラー ポテンシャルです。「ゲージに関する考慮事項」を参照してください。スカラー ポテンシャルがゼロになるゲージを選択すると、体積内の磁気ヘリシティの時間発展は次のように与えられます 。は外積 に直交するため、第 1 項の積分関数のドット積はゼロです 。第2 項は、 の部分で積分して 次の式を得ることができます。第 2 項は、閉システムの境界面上の面積分です。第 1 項の積分関数のドット積は、に直交するため、ゼロです。第 2 項もゼロになります。閉システム内の動きは外部のベクトル ポテンシャルに影響を与えないためです。したがって、境界面では となります。磁気ベクトル ポテンシャルは連続関数であるためです。したがって、 および磁気ヘリシティは理想的に保存されます。磁気ヘリシティがゲージ不変であるすべての状況では、特定のゲージを選択する必要がなく、磁気ヘリシティは理想的に保存される。 ∂ B ∂ t = ∇ × ( v × B ) , ∂ A ∂ t = v × B + ∇ Φ , {\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}=\nabla \times ({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }),\quad {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}={\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }+\nabla \Phi ,} ∇ Φ {\displaystyle \nabla \Phi } ∇ Φ = 0 {\displaystyle \nabla \Phi =\mathbf {0} } V {\displaystyle V} ∂ H M ∂ t = ∫ V ( ∂ A ∂ t ⋅ B + A ⋅ ∂ B ∂ t ) d V = ∫ V ( v × B ) ⋅ B   d V + ∫ V A ⋅ ( ∇ × ∂ A ∂ t ) d V . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}&=\int _{V}\left({\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\cdot {\mathbf {B} }+{\mathbf {A} }\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}\right)dV\\&=\int _{V}({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} })\cdot {\mathbf {B} }\ dV+\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot \left(\nabla \times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right)dV.\end{aligned}}} B {\displaystyle {\mathbf {B} }} v × B {\displaystyle {\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }} ∂ H M ∂ t = ∫ V ( ∇ × A ) ⋅ ∂ A ∂ t   d V + ∫ ∂ V ( A × ∂ A ∂ t ) ⋅ d S {\displaystyle {\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}=\int _{V}\left(\nabla \times {\mathbf {A} }\right)\cdot {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\ dV+\int _{\partial V}\left({\mathbf {A} }\times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {S} } ∂ V {\displaystyle \partial V} ∇ × A = B {\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }} ∂ A / ∂ t . {\displaystyle \partial {\mathbf {A} }/\partial t.} ∂ A / ∂ t = 0 {\displaystyle \partial {\mathbf {A} }/\partial t=\mathbf {0} } ∂ H M ∂ t = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}=0,} ∇ Φ = 0 . {\displaystyle \nabla \Phi =\mathbf {0} .}

磁気ヘリシティは、たとえ抵抗率が小さく有限であっても、良好な近似値で保存される。その場合、磁気再結合によってエネルギーが散逸する。[11] [5]

逆転送

小規模な螺旋構造は、より大きな磁気構造を形成する傾向があります。これは、フーリエ空間における逆エネルギー伝達と呼ばれ、3次元乱流流体力学流における直接的なエネルギーカスケードとは対照的です。このような逆エネルギー伝達の可能性は、ウリエル・フリッシュとその共同研究者によって初めて提唱され[10]、多くの数値実験によって検証されてきました。[36] [37 ] [38] [39] [40] [41]結果として、磁気螺旋構造の存在は、宇宙における大規模磁気構造の存在と維持を説明する候補となります。

逆伝達に関する以下の議論は、Frisch et al. [10]に従っています。これは、磁気ヘリシティフーリエスペクトルの「実現可能性条件」に基づいています。ここで、は磁場 の波動ベクトルにおけるフーリエ係数であり、 についても同様に、複素共役を表すスターです。実現可能性条件はコーシー・シュワルツの不等式を応用したもので、磁気エネルギースペクトル でが得られます 。この不等式を得るには、 の関係を使用し、フーリエ変換された磁気ベクトルポテンシャルのソレノイド部分は波動ベクトルに直交します。 です。Frisch et al. [10]では磁気ヘリシティが と定義されているため、係数 2 は存在しません。 H ^ k M = A ^ k ∗ ⋅ B ^ k {\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}={\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }} B ^ k {\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }} k {\displaystyle {\mathbf {k} }} B {\displaystyle {\mathbf {B} }} A ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}} | H ^ k M | ≤ 2 E k M | k | , {\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}\right|\leq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|{\mathbf {k} }|}},} E k M = 1 2 B ^ k ∗ ⋅ B ^ k {\textstyle E_{\mathbf {k} }^{M}={\frac {1}{2}}{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }} | B ^ k | = | k | | A ^ k ⊥ | {\displaystyle |{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }|=|{\mathbf {k} }||{\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }|} A ^ k ⊥ {\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }} B ^ k = i k × A ^ k {\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }=i{\mathbf {k} }\times {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }} 1 2 ∫ V A ⋅ B   d V {\textstyle {\frac {1}{2}}\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV}

速度場がなく、2つの波動ベクトルとにのみ磁場が存在する初期状態を考える。実現可能性条件を満たす完全ならせん状の磁場、およびを仮定する。すべてのエネルギーと磁気ヘリシティが別の波動ベクトルに移ると、磁気ヘリシティと全エネルギー（磁気エネルギーと運動エネルギーの和）の保存則から、 p {\displaystyle \mathbf {p} } q {\displaystyle \mathbf {q} } | H ^ p M | = 2 E p M | p | {\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {p} }^{M}\right|={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|{\mathbf {p} }|}}} | H ^ q M | = 2 E q M | q | {\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {q} }^{M}\right|={\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|{\mathbf {q} }|}}} k {\displaystyle \mathbf {k} } E T = E M + E K {\displaystyle E^{T}=E^{M}+E^{K}} H k M = H p M + H q M , {\displaystyle H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M},} E k T = E p T + E q T = E p M + E q M . {\displaystyle E_{\mathbf {k} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{T}+E_{\mathbf {q} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}.}

初期状態には運動エネルギーがないため、 が成り立ちます。 の代わりに の場合、 となり、 実現可能性条件に違反します。したがって となります。特に の場合、磁気ヘリシティはより小さな波数ベクトルに変換され、より大きな空間スケールに対応します。 | k | ≤ max ( | p | , | q | ) {\displaystyle |\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)} | k | > max ( | p | , | q | ) {\displaystyle |\mathbf {k} |>\max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)} H k M = H p M + H q M = 2 E p M | p | + 2 E q M | q | > 2 ( E p M + E q M ) | k | = 2 E k T | k | ≥ 2 E k M | k | , {\displaystyle H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M}={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|\mathbf {p} |}}+{\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|\mathbf {q} |}}>{\frac {2\left(E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}\right)}{|\mathbf {k} |}}={\frac {2E_{\mathbf {k} }^{T}}{|\mathbf {k} |}}\geq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|\mathbf {k} |}},} | k | ≤ max ( | p | , | q | ) {\displaystyle |\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)} | p | = | q | {\displaystyle |{\mathbf {p} }|=|{\mathbf {q} }|}

参照

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  • ミッチ・バーガーの出版物ページ
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