尖頭器官の表現

数論において、尖頭表現は、空間に離散的に現れる代数群の特定の表現である。 「尖頭」という用語は、ある程度の距離を置いて、古典的なモジュラー形式理論の尖頭形式に由来する。現代の保型表現の定式化では、表現が正則関数に取って代わる。これらの表現はアデル代数群の表現となる場合がある。 ${\displaystyle L^{2}}$

群が一般線型群 である場合、尖頭表現は尖頭形式およびマース形式に直接関連している。尖頭形式の場合、各ヘッケ固有形式（新形式）は尖頭表現に対応する。 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}}$

処方

G を数体K上の簡約代数群とし、A を K のアーデルとする。群G ( K ) は、 G ( A )の組 ( g _p ) _pにG ( K )のg を写すことによって、群G ( A )に対角的に埋め込まれる。この場合、すべての（有限および無限の）素数pに対して、 g = g _pとなる。Z をGの中心とし、 ω をZ ( K ) \ Z( A ) ^×からC ^×への連続ユニタリ指標とする。G ( A )にハール測度を固定し、 L ² ₀ ( G ( K ) \  G ( A ), ω)をG ( A ) 上の複素数値可測関数fのヒルベルト空間とし、

1. すべてのγ∈G ( K )に対してf (γg ) = f ( g )
2. すべてのz∈Z ( A )に対してf ( gz )= f ( g ) ω ( z )
3. ${\displaystyle \int _{Z(\mathbf {A} )G(K)\,\setminus \,G(\mathbf {A} )}|f(g)|^{2}\,dg<\infty }$
4. ${\displaystyle \int _{U(K)\,\setminus \,U(\mathbf {A} )}f(ug)\,du=0}$ G ( A ) と g ∈ G ( A )のすべての適切な放物線部分群のすべての単零根基Uに対して。

ベクトル空間 L ² ₀ ( G ( K ) \  G ( A ), ω) は、 G ( A )上の中心特性 ω を持つカスプ形式の空間と呼ばれる。このような空間に現れる関数はカスプ関数と呼ばれる。

尖角関数は、fの右平行移動によって生成される複素ヒルベルト空間上の群G ( A ) のユニタリ表現を生成する。ここで、g ∈ G ( A )の作用は次のように与えられる。 ${\displaystyle V_{f}}$ ${\displaystyle V_{f}}$

${\displaystyle (g\cdot u)(x)=u(xg),\qquad u(x)=\sum _{j}c_{j}f(xg_{j})\in V_{f}}$ 。

中心特性ωを持つカスプ形式の空間はヒルベルト空間の直和に分解される。

${\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\setminus G(\mathbf {A} ),\omega )={\widehat {\bigoplus }}_{(\pi ,V_{\pi })}m_{\pi }V_{\pi }}$

ここで、和はL ² ₀ ( G ( K ) \  G ( A ), ω)の既約部分 表現についてであり、 mπ_は正の整数である（すなわち、各既約部分表現は有限重複度で発生する）。G ( A )の尖端表現は、ある ωに対するそのような部分表現( π , Vπ )_である。

重複度m _{π が}すべて 1 に等しいグループは、重複度 1 の性質を持つと言われています。

参照

• ジャケモジュール

参考文献

• James W. Cogdell、Henry Hyeongsin Kim、Maruti Ram Murty. Lectures on Automorphic L-functions (2004)、Lecture 2の第5節。