カトラーのバー記法

数学において、カトラーのバー表記法は、2004 年にマーク カトラーが導入した大きな数値の表記システムです。この考え方は、累乗が反復乗算であるのと同じように、反復累乗に基づいています。

導入

正規指数は次のように表現できます。

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{b}&=&\underbrace {a_{}\times a\times \dots \times a} \\&&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}$

しかし、これらの式は、クヌースの上矢印記法のようなシステムを扱う場合、任意に大きくなります。次の式を考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{matrix}&\underbrace {a_{}^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &\\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}$

カトラーのバー表記では、これらの指数関数を反時計回りにシフトして を形成します。この変化を示すために、変数の上にバーが表示されます。つまり、 ${\displaystyle {^{b}}{\bar {a}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{^{b}}{\bar {a}}=&\underbrace {a_{}^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &\\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}$

このシステムは、通常の表記が煩雑になりすぎる場合に、複数の指数で有効になります。

${\displaystyle {\begin{matrix}^{^{b}{b}}{\bar {a}}=&\underbrace {a_{}^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &\\&{{^{b}}{\bar {a}}}{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}$

いつでも、指数関数をもう一度反時計回りに回転させることで、これをさらに短縮することができます。

${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {b_{}^{b^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{b}}}}}}} {\bar {a}}={_{c}}{\bar {a}}\\c{\mbox{ copies of }}b\end{matrix}}}$

同じパターンを4回繰り返すと になります。このため、これはカトラーの循環記法と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle {\bar {a}}_{d}}$

利点と欠点

カトラーバー記法は、他の記法を指数形式で簡単に表現するために使用できます。また、同じ指数を複数回コピーして柔軟にまとめることも可能で、任意の数の指数を反時計回りにシフトして単一の変数に短縮することができます。バー記法はまた、非常に大きな数を比較的迅速にまとめることも可能です。例えば、グーゴルプレックスを超える桁数を持つ数であっても、表記と記憶は比較的シンプルです。 ${\displaystyle {\bar {10}}_{10}}$

しかし、このシステムは、単一の式の中で異なる指数を扱う際に問題に直面します。例えば、式をバー表記で要約することはできません。さらに、指数は3回しかシフトできず、その後は元の位置に戻るため、5度のシフトと1度のシフトを区別できません。一部の人^（誰？）は、その後の回転に二重バー、三重バーを使用することを提案していますが、これは10度や20度のシフトを扱う際に問題を引き起こします。 ${\displaystyle ^{a^{b^{b^{c}}}}}$

同じ演算に対する他の同等の表記法は、固定回数の再帰に制限されずにすでに存在しており、特にKnuth の上矢印表記法とハイパー演算表記法が有名です。

参照

• 数学表記

参考文献

• マーク・カトラー『物理的無限』、2004年
• ダニエル・ガイスラー、tetration.org
• R. ノーベル「指数関数の反復」アメリカ数学月刊誌 88（1981年）