サイクル指数

組合せ 数学において、循環指数とは、複数の変数を持つ多項式であり、その係数と指数から、ある集合に順列の集合がどのように 作用するかに関する情報を簡単に読み取ることができるように構造化されています。この代数形式で情報を簡潔に格納する方法は、組合せ列挙において頻繁に用いられます。

有限集合の各順列 π は、_{その集合を巡回に分割します。π の巡回指数単項式は、変数 a 1 、 a 2 、… における単項式であり、この分割の巡回型を表します。a i}の指数は、サイズiのπ_の巡回数_です。順列群の巡回指数多項式 は、その要素の巡回指数単項式の平均です。巡回指数の代わりに、巡回指標という語句が使われることもあります。

順列群の循環指数多項式が分かれば、群の作用による同値類を列挙することができる。これはポリア列挙定理の主要な構成要素である。これらの多項式に対して形式的な代数的演算と微分演算を行い、その結果を組合せ論的に解釈することが、種論の核心である。

順列群と群作用

集合Xからそれ自身への全単射写像はXの置換と呼ばれ、 Xのすべての置換の集合は写像の合成によって群を形成し、これをXの対称群と呼び、Sym( X ) と表記する。Sym( X )の すべての部分群は次数| X  |の置換群 と呼ばれる。 ^[1] G を、 GからSym( X ) への群準同型φを持つ抽象群とする。 像φ ( G ) は置換群である。群準同型は、群Gが集合Xに（ Gの元に関連付けられた置換を用いて）「作用」することを可能にする手段と考えることができる。このような群準同型は、正式にはGの置換表現と呼ばれる。与えられた群は、異なる作用に対応する多くの異なる置換表現を持つことができる。^[2]

群G が集合Xに作用する（つまり、群作用が存在する）と仮定する。組合せ論的応用においては、関心は集合Xにある。例えば、Xに含まれるものを数えたり、 Gによって不変に保たれる構造を知ることなどである。このような設定では順列群を扱ってもほとんど何も失われないので、これらの応用において群を考える際には、その群の順列表現を扱うことになり、したがって群作用を指定しなければならない。一方、代数学者は群そのものに興味があり、群作用の核、すなわち群からその順列表現への移行においてどれだけの損失が生じるかを測定する核に関心を寄せる。^[3]

順列の分離サイクル表現

有限順列は、集合X = {1,2, ..., n }への群作用として表現されることが多い。この設定における順列は、2行表記で表すことができる。つまり、

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&1\end{matrix}}\right)}$

は、 X = {1, 2, 3, 4, 5}上の一対一対応で、1 ↦ 2、2 ↦ 3、3 ↦ 4、4 ↦ 5、5 ↦ 1 を送ります。これは表記の列から読み取ることができます。一番上の行がXの要素を適切な順序で並べたものであると理解されていれば、2 行目のみを書けばよいことになります。この 1 行表記では、例は [2 3 4 5 1] となります。^[4]この例は、数字を「循環させる」ため、巡回置換として知られており、3 つ目の表記法は (1 2 3 4 5) となります。この循環表記法は、各要素がその右側の要素に送られ、最後の要素が最初の要素に送られる (先頭に「循環する」) と読みます。サイクル表記では、サイクルがどこから始まるかは関係ありません。つまり、(1 2 3 4 5)、(3 4 5 1 2)、(5 1 2 3 4) はすべて同じ順列を表します。サイクルの長さは、サイクル内の要素の数です。

すべての順列が巡回順列であるわけではないが、すべての順列は、本質的に一方向に、互いに素な（共通元を持たない）巡回の積^{[5]として表すことができる。 [6]}順列には固定点（順列によって変化しない要素）が存在する場合があり、これらは長さ1の巡回で表すことができる。例えば、次のようになる。^[7]

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&2&3&4&5&6\\2&1&3&5&6&4\end{matrix}}\right)=(12)(3)(456).}$

この順列は、長さ2の閉路と長さ3の閉路、そして固定点の積である。これらの閉路の元はXの互いに素な部分集合であり、 Xの分割を形成する。

順列のサイクル構造は、複数の（ダミー）変数を持つ代数的単項式として以下のようにコード化できる。順列のサイクル分解に現れるサイクルの、異なるサイクル長ごとに変数が必要となる。前の例では3つの異なるサイクル長があったので、a ₁、a ₂、a ₃の3つの変数を使用する（一般的に、長さkのサイクルに対応するには変数a _kを使用する）。変数a _iはj _i  ( g )乗される。ここでj _i  ( g ) は順列gのサイクル分解における長さiのサイクルの数である。次に、サイクルのインデックス単項式を

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}^{j_{k}(g)}}$

順列gに適用します。この例の循環指数単項式はa ₁ a ₂ a _{3となりますが、順列 (1 2)(3 4)(5)(6 7 8 9)(10 11 12 13) の循環指数単項式は}a ₁ a ₂ ² a ₄ ²となります。

意味

順列群Gの循環指数は、 G内のすべての順列gの循環指数単項式の平均です。

より正式には、Gを位数m、次数n の順列群とする。G内の任意の順列gは、互いに素な閉路（例えばc ₁ c ₂ c ₃ ...）への一意の分解を持つ 。閉路cの長さを| c  |と表記する。

ここで、j _k ( g ) を長さkのgの周期の数とする。ここで

${\displaystyle 0\leq j_{k}(g)\leq \lfloor n/k\rfloor {\mbox{ and }}\sum _{k=1}^{n}k\,j_{k}(g)=n.}$

gに単項式 を関連付ける

${\displaystyle \prod _{c\in g}a_{|c|}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}^{j_{k}(g)}}$

変数a ₁、a ₂、 ...、a _n。

このとき、 Gのサイクル指数Z ( G )は次のように与えられる。

${\displaystyle Z(G)={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\prod _{k=1}^{n}a_{k}^{j_{k}(g)}.}$

例

ユークリッド平面における正方形の回転対称性の群Gを考えてみましょう。その要素は正方形の角の像だけで完全に決まります。これらの角を（例えば時計回りに順に）1、2、3、4 とラベル付けすることで、Gの要素を集合X = {1、2、3、4} の順列として表すことができます。^[8] Gの順列表現は4 つの順列 (1 4 3 2)、(1 3)(2 4)、(1 2 3 4)、e = (1)(2)(3)(4) で構成され、それぞれ反時計回りに 90°、180°、270°、360°回転します。恒等順列 e はGのこの表現において固定点を持つ唯一の順列であることに注目してください。抽象群として、Gは巡回群C ₄として知られており、この置換表現はその正規表現である。巡回指数単項式はそれぞれa ₄、a ₂ ²、a ₄、a ₁ ⁴である。したがって、この置換群の巡回指数は以下の通りである。

${\displaystyle Z(C_{4})={\frac {1}{4}}\left(a_{1}^{4}+a_{2}^{2}+2a_{4}\right).}$

群C _{4 は}Xの順序付けられていない元のペアにも自然に作用する。任意の順列gは { x , y } → { x ^g , y ^g }となる（ただしx ^gは順列gによる元xの像）。^[9]集合Xは { A , B , C , D , E , F } となり、 A = {1,2}, B = {2,3}, C = {3,4}, D = {1,4}, E = {1,3} 、F = {2,4} となる。これらの元は正方形の辺と対角線と考えることもできるし、全く異なる設定では完全グラフK ₄の辺と考えることもできる。この新しいセットに作用すると、4つのグループ要素は( A D C B )( E F )、( AC )( BD )( E )( F )、( ABCD )( EF )、e = ( A )( B )( C )( D )( E )( F )で表され、この作用のサイクル指数は次のようになります。 

${\displaystyle Z(C_{4})={\frac {1}{4}}\left(a_{1}^{6}+a_{1}^{2}a_{2}^{2}+2a_{2}a_{4}\right).}$

群C _4は、 Xの元の順序付きペアに対しても同様に自然な方法で作用します。任意の順列gは ( x , y ) → ( x ^g , y ^g )を送信します（この場合、 ( x , x ) という形式の順序付きペアも存在します）。X の元は、完全有向グラフD ₄（各頂点にループを持つ）の弧と考えることができます。この場合の循環指数は次のようになります 。

${\displaystyle Z(C_{4})={\frac {1}{4}}\left(a_{1}^{16}+a_{2}^{8}+2a_{4}^{4}\right).}$

アクションの種類

上記の例が示すように、循環指数は抽象群ではなく群作用に依存します。抽象群には多くの順列表現が存在するため、それらを区別するための用語を用意しておくと便利です。

抽象群が順列によって定義される場合、それは順列群であり、群作用は恒等準同型である。これは自然作用と呼ばれる。

対称群S _3の自然作用には要素^{[10]がある。}

${\displaystyle S_{3}=\{e,(23),(12),(123),(132),(13)\}}$

したがって、そのサイクル指数は次のようになります。

${\displaystyle Z(S_{3})={\frac {1}{6}}\left(a_{1}^{3}+3a_{1}a_{2}+2a_{3}\right).}$

集合X上の置換群Gが推移的であるとは、 Xの元xとyの任意のペアに対して、Gにy = x ^gを満たすgが少なくとも 1 つ存在することを意味する。推移的置換群は、その群において不動点を持つ唯一の置換が恒等置換である場合に、正則（または鋭く推移的とも呼ばれる）である。 

集合X上の有限推移的置換群Gが正則であるための必要十分条件は、| G | = | X |である。[ 11 ] ケイリー^の定理は、あらゆる抽象群は、その群が（集合として）自身に作用する（右）乗法によって与えられる正則置換表現を持つと述べている。これは群の 正則表現と呼ばれる。

巡回群C _{6 の}正規表現には6 つの順列が含まれます (順列の 1 行形式が最初に示されます)。

[1 2 3 4 5 6] = (1)(2)(3)(4)(5)(6)

[2 3 4 5 6 1] = (1 2 3 4 5 6)

[3 4 5 6 1 2] = (1 3 5)(2 4 6)

[4 5 6 1 2 3] = (1 4)(2 5)(3 6)

[5 6 1 2 3 4] = (1 5 3)(2 6 4)

[6 1 2 3 4 5] = (1 6 5 4 3 2)。

したがって、そのサイクル指数は次のようになります。

${\displaystyle Z(C_{6})={\frac {1}{6}}\left(a_{1}^{6}+a_{2}^{3}+2a_{3}^{2}+2a_{6}\right).}$

多くの場合、著者が群作用という用語を使いたくない場合、関係する順列群には、その作用が何であるかを暗示する名前が付けられます。以下の3つの例はこの点を示しています。

サイクル指数はエッジ順列群3頂点の完全グラフ

完全グラフK _{3 を}ユークリッド平面上の正三角形と同一視する。これにより、三角形の対称性として含まれる順列を幾何学的言語で記述することができる。頂点順列群S ₃（上記に示した自然作用におけるS ₃ ）内のあらゆる順列は、辺順列を誘導する。これらの順列は以下の通りである。

• 恒等式：頂点は入れ替えられず、辺も入れ替えられず、寄与は${\displaystyle a_{1}^{3}.}$
• 頂点と反対側の辺の中点を通る軸の3回の反射：これらは1つの辺（頂点に当たらない辺）を固定し、残りの2つの辺を交換する。寄与は${\displaystyle 3a_{1}a_{2}.}$
• 2つの回転、1つは時計回り、もう1つは反時計回り：これらは3つのエッジのサイクルを作成します。寄与は${\displaystyle 2a_{3}.}$

S ₃からの頂点置換によって誘導される辺置換の群Gのサイクル指数は

${\displaystyle Z(G)={\frac {1}{6}}\left(a_{1}^{3}+3a_{1}a_{2}+2a_{3}\right).}$

完全グラフK ₃は自身の線グラフ（頂点-辺双対）と同型であり、したがって頂点置換群によって誘導される辺置換群は頂点置換群と同じであり、すなわちS ₃となり、サイクルインデックスはZ ( S ₃ ) となる。これは3頂点以上の完全グラフには当てはまらない。なぜなら、これらの完全グラフは辺 ( ) が頂点 ( ) より厳密に多いからである。 ${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$ ${\displaystyle n}$

4頂点完全グラフの辺順列群の循環指数

これは3頂点の場合と全く同様です。これらは、頂点の順列（S ₄の自然な作用）と辺の順列（S ₄が順序付けられていないペアに作用する）によって誘導されます。

• 恒等式：この順列はすべての頂点（したがって辺も）をそれ自身に写像し、その寄与は${\displaystyle a_{1}^{6}.}$
• 2つの頂点を交換する6つの順列：これらの順列は、2つの頂点を結ぶ辺と、交換されない2つの頂点を結ぶ辺を保存します。残りの辺は2つの2閉路を形成し、その寄与は${\displaystyle 6a_{1}^{2}a_{2}^{2}.}$
• 1つの頂点を固定し、固定されていない3つの頂点に対して3サイクルを生成する8つの順列：これらの順列は、2つの3サイクルの辺を生成する。1つは頂点に接続しない辺を含み、もう1つは頂点に接続する辺を含む。寄与は${\displaystyle 8a_{3}^{2}.}$
• 2つの頂点ペアを同時に交換する3つの順列：これらの順列は、2つのペアを結ぶ2つの辺を保存します。残りの辺は2つの2閉路を形成し、その寄与は${\displaystyle 3a_{1}^{2}a_{2}^{2}.}$
• 4つのサイクルの頂点を循環させる6つの順列：これらの順列は4つのサイクルの辺（サイクル上にあるもの）を作成し、残りの2つの辺を交換する。寄与は${\displaystyle 6a_{2}a_{4}.}$

順列の種類は、正四面体の対称性として幾何学的に視覚化することができます。これにより、順列の種類は次のように記述されます。

• アイデンティティ。
• 1 つのエッジとそれに対向するエッジの中点を含む平面での反射。
• 頂点と反対側の面の中点を通る軸を中心に 120 度回転します。
• 2 つの反対側のエッジの中点を結ぶ軸を中心に 180 度回転します。
• 90 度のローター反射が6 回あります。

K4の辺順列群Gの循環指数は次の_通りである。

${\displaystyle Z(G)={\frac {1}{24}}\left(a_{1}^{6}+9a_{1}^{2}a_{2}^{2}+8a_{3}^{2}+6a_{2}a_{4}\right).}$

立方体の面順列の循環指数

色付きの面を持つ立方体

三次元空間における通常の立方体とその対称群（これをCと呼ぶ）を考えてみましょう。これは立方体の6つの面を置換します。（辺の置換や頂点の置換も考えられます。）対称性は24種類あります。

• アイデンティティ:

そのような順列が1つあり、その寄与は${\displaystyle a_{1}^{6}.}$

• 90 度の顔の回転が 6 回あります。

面の中心とそれに対向する面の中心を通る軸を中心に回転させます。これにより、面とそれに対向する面が固定され、回転軸に平行な面の4周が作成されます。寄与は${\displaystyle 6a_{1}^{2}a_{4}.}$

• 3 つの 180 度顔回転:

前回と同じ軸を中心に回転しますが、今回は軸に平行な面の4つの周期ではなく、2つの2周期になります。寄与は${\displaystyle 3a_{1}^{2}a_{2}^{2}.}$

• 8 つの 120 度頂点回転:

今回は、2つの反対の頂点（主対角線の端点）を通る軸を中心に回転させます。これにより、2つの3つの面からなる閉路が作成されます（同じ頂点に接する面は閉路を形成します）。寄与は${\displaystyle 8a_{3}^{2}.}$

• 6 つの 180 度エッジ回転:

これらの辺の回転は、同じ面に接していない互いに平行な反対辺の中点を通る軸を中心に回転し、最初の辺に接する2つの面、2番目の辺に接する2つの面、および2つの頂点を共有するが2つの辺と辺を共有しない2つの面を交換します。つまり、3つの2サイクルがあり、寄与は${\displaystyle 6a_{2}^{3}.}$

結論としては、グループCのサイクル指数は

${\displaystyle Z(C)={\frac {1}{24}}\left(a_{1}^{6}+6a_{1}^{2}a_{4}+3a_{1}^{2}a_{2}^{2}+8a_{3}^{2}+6a_{2}^{3}\right).}$

いくつかの順列群の循環指数

アイデンティティグループE_n

このグループには、すべての要素を固定する順列が 1 つ含まれています (これは自然なアクションである必要があります)。

${\displaystyle Z(E_{n})=a_{1}^{n}.}$

巡回群C_n

巡回群C _nは、正n角形の回転群、すなわち円周上に等間隔に配置されたn個の元からなる群である。この群は、 nの約数dごとにφ( d  ) 個の位数 dの元を持つ。ここで φ( d  ) はオイラーの φ 関数であり、 d未満の自然数のうちdと互いに素であるものの個数を与える。 C _nの正規表現において、位数dの順列は長さdの巡回をn / d個持つため、次のようになる。^[12]

${\displaystyle Z(C_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{d|n}\varphi (d)a_{d}^{n/d}.}$

二面体群D_n

二面体群は巡回群に似ていますが、鏡映も含みます。その自然な作用は、

${\displaystyle Z(D_{n})={\frac {1}{2}}Z(C_{n})+{\begin{cases}{\frac {1}{2}}a_{1}a_{2}^{(n-1)/2},&n{\mbox{ odd, }}\\{\frac {1}{4}}\left(a_{1}^{2}a_{2}^{(n-2)/2}+a_{2}^{n/2}\right),&n{\mbox{ even.}}\end{cases}}}$

交代グループあ_n

交代群の自然な作用における循環指数は、順列群として

${\displaystyle Z(A_{n})=\sum _{j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +nj_{n}=n}{\frac {1+(-1)^{j_{2}+j_{4}+\cdots }}{\prod _{k=1}^{n}k^{j_{k}}j_{k}!}}\prod _{k=1}^{n}a_{k}^{j_{k}}.}$

分子は、偶数順列の場合は2 、奇数順列の場合は0です。2が必要なのは、 のためです 。 ${\displaystyle {\frac {1}{|A_{n}|}}={\frac {2}{n!}}}$

対称群S_n

対称群 S _nの自然作用における サイクル指数は、次の式で与えられます。

${\displaystyle Z(S_{n})=\sum _{j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +nj_{n}=n}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{n}k^{j_{k}}j_{k}!}}\prod _{k=1}^{n}a_{k}^{j_{k}}}$

これは完全なベル多項式を使っても次のように表すことができます。

${\displaystyle Z(S_{n})={\frac {B_{n}(0!\,a_{1},1!\,a_{2},\dots ,(n-1)!\,a_{n})}{n!}}.}$

この式は、与えられた順列形状が何回出現するかを数えることで得られる。3つのステップがある。まず、n個のラベルの集合を部分集合に分割する。ここで、部分集合はサイズkである。このような部分集合はそれぞれ、長さkのサイクルを生成する。ただし、同じサイズのサイクルは区別しない。つまり、それらは ずつ順列化される。これは以下の式を与える。 ${\displaystyle j_{k}}$ ${\displaystyle k!/k}$ ${\displaystyle S_{j_{k}}}$

${\displaystyle {\frac {n!}{\prod _{k=1}^{n}(k!)^{j_{k}}}}\prod _{k=1}^{n}\left({\frac {k!}{k}}\right)^{j_{k}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{j_{k}!}}={\frac {n!}{\prod _{k=1}^{n}k^{j_{k}}j_{k}!}}.}$

サイクルの合計サイズを追跡するための 追加の変数を使用しながら、すべてのサイクルインデックスを合計すると、式はさらに簡素化されます。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \sum \limits _{n\geq 1}y^{n}Z(S_{n})=\sum \limits _{n\geq 1}\sum _{j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +nj_{n}=n}\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}^{j_{k}}y^{kj_{k}}}{k^{j_{k}}j_{k}!}}=\prod \limits _{k\geq 1}\sum \limits _{j_{k}\geq 0}{\frac {(a_{k}y^{k})^{j_{k}}}{k^{j_{k}}j_{k}!}}=\prod \limits _{k\geq 1}\exp \left({\frac {a_{k}y^{k}}{k}}\right),}$

これにより、サイクル指数の簡略化された形が得られます。 ${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Z(S_{n})&=[y^{n}]\prod \limits _{k\geq 1}\exp \left({\frac {a_{k}y^{k}}{k}}\right)\\&=[y^{n}]\exp \left(\sum \limits _{k\geq 1}{\frac {a_{k}y^{k}}{k}}\right).\end{aligned}}}$

対称群のサイクル指数を求めるための便利な再帰式があります。n を含むサイクルのサイズ l を設定し、考えます。サイクルの 残りの要素を選択する方法は 複数あり、その選択ごとに異なるサイクルが生成されます。 ${\displaystyle Z(S_{0})=1}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}1\leq l\leq n.\end{matrix}}}$ ${\textstyle {n-1 \choose l-1}}$ ${\displaystyle l-1}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {l!}{l}}=(l-1)!\end{matrix}}}$

これにより、

${\displaystyle Z(S_{n})={\frac {1}{n!}}\sum _{g\in S_{n}}\prod _{k=1}^{n}a_{k}^{j_{k}(g)}={\frac {1}{n!}}\sum _{l=1}^{n}{n-1 \choose l-1}\;(l-1)!\;a_{l}\;(n-l)!\;Z(S_{n-l})}$

または

${\displaystyle Z(S_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{l=1}^{n}a_{l}\;Z(S_{n-l}).}$

アプリケーション

この節では、循環インデックスの表記を少し変更し、変数名を明示的に含めます。したがって、置換群Gについては次のように書きます。

${\displaystyle Z(G)=Z(G;a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}).}$

Gを集合Xに作用する群とする。Gはまた、Xのk部分集合と、Xの異なる元のk組（ k = 2の場合の例を参照）にも作用を誘導する（1 ≤ k ≤ n）。f kとF _kをそれぞれ、これらの作用におけるGの軌道の数とする。慣例により、f ₀ = F ₀ = 1とする_。 ^[13]

a) f _kの通常の生成関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}t^{k}=Z(G;1+t,1+t^{2},\ldots ,1+t^{n}),}$ そして

b) F _kの指数生成関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F_{k}t^{k}/k!=Z(G;1+t,1,1,\ldots ,1).}$

G を集合Xに作用する群とし、hをXからYへの写像とする。Gの任意のgに対して、h ( x ^g ) もXからYへの写像である。したがって、G はXからYへのすべての写像の集合Y ^Xへの作用を誘導する。この作用の軌道の数は Z( G ; b , b , ..., b )であり、 b = | Y  | である。^[14]

この結果は、軌道計算の補題（Not Burnside の補題とも呼ばれるが、伝統的には Burnside の補題と呼ばれる）から導かれ、結果の加重バージョンはPólya の列挙定理である。

循環指数は多変数多項式であり、上記の結果は、この多項式の特定の評価が組合せ論的に重要な結果をもたらすことを示しています。多項式として、これらは形式的に加算、減算、微分、積分することも可能です。記号組合せ論の分野は、これらの形式的な演算の結果の組合せ論的解釈を提供します。

ランダム順列のサイクル構造がどのようなものかという問題は、アルゴリズムの解析において重要な問題です。最も重要な結果の概要は、ランダム順列の統計でご覧いただけます。

注記

1. Dixon & Mortimer 1996、2ページ、セクション1.2 対称群
2. キャメロン 1994、227–228ページ
3. キャメロン 1994、231ページ、14.3節
4. この表記スタイルは、コンピュータサイエンスの文献でよく見られます。
5. 巡回順列は関数であり、積という用語は実際にはこれらの関数の合成を意味します。
6. サイクルを記述できるさまざまな方法と、分離したサイクルは交換可能であるため、任意の順序で記述できるという事実まで。
7. Roberts & Tesman 2009、pg. 473
8. 技術的には、群作用の同値性の概念を用いて、正方形の角に作用するG を、 Xに作用するGの置換表現に置き換えています。説明の便宜上、これらの詳細は省略する方がよいでしょう。
9. この記法は幾何学者や組合せ論者の間でよく使われています。伝統的な理由から、より一般的なg(x)の代わりに使用されています。
10. 順列の循環表記では不動点を書かないという慣例がありますが、循環インデックスでは不動点を表す必要があります。
11. ディクソン＆モーティマー 1996、9ページ、補論1.4A(iii)
12. van Lint & Wilson 1992、464ページ、例35.1
13. キャメロン 1994、248ページ、命題15.3.1
14. van Lint & Wilson 1992、463ページ、定理35.1

参考文献

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• キャメロン、ピーター・J.（1994）「15. 群作用による列挙」、組合せ論：トピック、テクニック、アルゴリズム、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、pp.  245– 256、ISBN 0-521-45761-0
• ディクソン、ジョン・D.; モーティマー、ブライアン (1996)、『順列群』、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 0-387-94599-7
• ロバーツ、フレッド・S.; テスマン、バリー (2009)、「8.5 サイクル指数」、応用組合せ論（第2版）、ボカラトン：CRCプレス、pp.  472– 479、ISBN 978-1-4200-9982-9
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• van Lint, JH; Wilson, RM (1992)、「35.ポリア理論による計数」、A Course in Combinatorics、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、pp.  461– 474、ISBN 0-521-42260-4

外部リンク

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• ハラルド・フリペティンガー (1992)。 「音楽理論の列挙」。Beiträge zur Elektronischen Musik。1 .