空間周波数
左から右へ段階的に空間周波数が増加するパターン
緑の貝殻の画像
緑の貝殻の画像
グリーンシーシェル画像の空間周波数表現
グリーンシーシェル画像の空間周波数表現
画像とその空間周波数：周波数領域の大きさは対数的にスケーリングされ、中心に周波数ゼロが位置しています。元の画像は、2次元離散フーリエ変換によって周波数領域に変換されています。注目すべきは、自然画像に典型的な特性である、低周波数領域におけるコンテンツのクラスタリングです。

数学、物理学、工学において、空間周波数とは、空間上の位置にわたって周期的な構造の特性です。空間周波数は、構造の正弦波成分（フーリエ変換によって決定）が単位距離あたりにどれだけの頻度で繰り返されるかを表す尺度です。

空間周波数のSI単位はメートルの逆数（m −1）であるが[ 1 ] 、サイクル/メートル（c/m）も一般的に用いられる。画像処理アプリケーションでは、空間周波数はサイクル/ミリメートル（c/mm）や線対/ミリメートル（LP/mm） で表されることが多い。

波動伝播において、空間周波数は波数とも呼ばれます。常波数は波長 の逆数として定義され、一般的には[ 2 ]、時には[ 3 ]と表記されます。 角波数はラジアン毎メートル（rad/m）で表され、常波数と波長の間には次のような関係があります。 λ{\displaystyle \lambda}ξ{\displaystyle \xi}ν{\displaystyle \nu}ξ＝1λ。{\displaystyle \xi ={\frac {1}{\lambda }}.}け{\displaystyle k}け＝2πξ＝2πλ。{\displaystyle k=2\pi \xi ={\frac {2\pi }{\lambda }}.}

視覚知覚

視覚知覚の研究では、正弦波格子はコントラスト感度などの視覚系の能力を調べるために頻繁に用いられます。これらの刺激において、空間周波数は視角1度あたりの周期数として表されます。正弦波格子は、振幅（明暗の縞模様の強度差の大きさ）、方向、位相においてもそれぞれ異なります。

空間周波数理論

空間周波数理論とは、視覚野は直線のエッジや線のコードではなく、空間周波数のコードに基づいて機能するという理論を指す。この理論は、ヒューベルとヴィーゼルがネコのV1ニューロンを使った初期の実験に基づいて提唱した。 [ 4 ] [ 5 ]この理論を裏付ける実験的観察によると、視覚野ニューロンは、エッジやバーよりも、受容野内に特定の角度で配置された正弦波格子にさらに強く反応する。一次視覚野のほとんどのニューロンは、特定の周波数の正弦波格子が視野内の特定の場所に特定の角度で提示されたときに最もよく反応する。[ 6 ]（しかし、Teller（1984）[ 7 ]が指摘しているように、神経コードが相対的な発火率と関連していることが知られていることを考えると、特定のニューロンの最高の発火率を、特定の刺激の知覚におけるそのニューロンの役割に関して特別な意味を持つものとして扱うのはおそらく賢明ではありません。たとえば、人間の網膜の3つの錐体による色分けでは、最も強く発火している錐体に特別な意味はなく、重要なのは3つすべてが同時に発火する相対的な率です。Teller（1984）も同様に、特定の刺激に対する強い発火率は、ニューロンがその刺激に何らかの形で特化していることを示していると解釈すべきではないと指摘しています。なぜなら、同様の発火率を生み出すことができる刺激の同値クラスは無制限に存在するからです。）

視覚の空間周波数理論は、次の 2 つの物理原理に基づいています。

  • あらゆる視覚刺激は、それを通る線に沿って光の強度をプロットすることによって表現できます。
  • あらゆる曲線は、フーリエ解析によって構成正弦波に分解できます。

この理論（経験的裏付けはまだ確立されていない）によれば、視覚皮質の各機能モジュールでは、受容野に対してフーリエ解析（またはその区分形式[ 8 ]）が実行され、各モジュールのニューロンは正弦波格子のさまざまな方向と周波数に選択的に反応すると考えられています。[ 9 ]特定のシーンの影響を受ける視覚皮質ニューロンがすべて同時に反応すると、さまざまな正弦波格子の合計によってシーンの知覚が生み出されます。 （しかし、この手順は、加算の積を図形や背景などに整理するという問題には対処していません。網膜投影における光子強度と波長の元の（フーリエ解析前の）分布を効果的に復元しますが、この元の分布に情報を追加するものではありません。したがって、このような仮説的な手順の機能的価値は明確ではありません。「フーリエ理論」に対する他の反論は、ウェストハイマー（2001）[ 10 ]で議論されています。）一般的に、すべての要素が本質的に1つの滑らかな表現にブレンドされているため、個々の空間周波数成分は意識されません。しかし、コンピュータベースのフィルタリング手順を使用することで、画像を個々の空間周波数成分に分解することができます。[ 11 ]視覚ニューロンによる空間周波数検出に関する研究は、直線エッジを用いた先行研究を反証するのではなく、補完し拡張するものです。[ 12 ]

さらなる研究により、異なる空間周波数が刺激の外観に関する異なる情報を伝えることが示されています。高い空間周波数は、エッジなど、画像内の急激な空間変化を表し、一般的に特徴情報や細部に対応します。M. Bar (2004) は、低い空間周波数は、全体的な向きや比率など、形状に関する全体的な情報を表すと提唱しています。[ 13 ]顔の迅速かつ専門的な知覚は、低い空間周波数の情報に大きく依存することが知られています。[ 14 ]成人の一般集団では、空間周波数弁別の閾値は約7%です。失読症の患者では、この閾値がより低いことがよくあります。[ 15 ]

MRIにおける空間周波数

空間周波数が数学関数の変数として用いられる場合、その関数はk空間にあると言われます。2次元k空間は、MRIにおいて生データの保存空間として導入されています。k空間内の各データ点の値は、空間周波数の単位である1/メートルで測定されます。

k空間の生データが周期関数の特徴を示すことは非常に一般的です。周期性は空間周波数ではなく、時間周波数です。MRI生データマトリックスは、一連の位相可変スピンエコー信号で構成されています。各スピンエコー信号は時間のsinc関数であり、次のように記述できます。 ここ で、は磁気回転比定数、 はスピンの基本共鳴周波数です。勾配Gの存在により、空間情報rは周波数 にエンコードされます。MRI生データに見られる周期性はまさにこの周波数 であり、これは基本的に自然界における時間周波数です。 Spin-Echo=M0sin⁡ωrtωrt{\displaystyle {\text{Spin-Echo}}={\frac {M_{\mathrm {0} }\sin \omega _{\mathrm {r} }t}{\omega _{\mathrm {r} }t}}}ωr=ω0+γ¯rG{\displaystyle \omega _{\mathrm {r} }=\omega _{\mathrm {0} }+{\bar {\gamma }}rG}γ¯{\displaystyle {\bar {\gamma }}}ω0{\displaystyle \omega _{\mathrm {0} }}ω{\displaystyle \omega }ωr{\displaystyle \omega _{\mathrm {r} }}

回転座標系では、 は と簡略化される。 と置くだけで、スピンエコー信号は別の形で表現される。 ω0=0{\displaystyle \omega _{\mathrm {0} }=0}ωr{\displaystyle \omega _{\mathrm {r} }}γ¯rG{\displaystyle {\bar {\gamma }}rG}k=γ¯Gt{\displaystyle k={\bar {\gamma }}Gt}Spin-Echo=M0sin⁡rkrk{\displaystyle {\text{Spin-Echo}}={\frac {M_{\mathrm {0} }\sin rk}{rk}}}

さて、スピンエコー信号はk空間にあります。これはkの周期関数となり、 rはk空間周波数ですが、「空間周波数」ではありません。「空間周波数」は実空間rで観測される周期性の名称として予約されているからです。

k空間領域と空間領域はフーリエ対を形成します。それぞれの領域には、空間情報と空間周波数情報という2つの情報があります。すべての医師にとって非常に重要な空間情報は、k空間領域では周期関数として、空間領域では画像として見られます。一部のMRIエンジニアにとって興味深いかもしれない空間周波数情報は、空間領域では容易には確認できませんが、k空間領域ではデータ点として容易に確認できます。

参照

参考文献

  1. ^ 「ISO 80000-3:2019 量と単位 — パート3：空間と時間」（第2版）国際標準化機構（ISO ）2019年。 2019年10月23日閲覧。[1] (11ページ)
  2. ^ SPIE Optipediaの記事：「空間周波数」
  3. ^この記号は、例えばプランクの式のように、時間周波数を表すためにも使用されます。ν{\displaystyle \nu }
  4. ^ Martinez LM, Alonso JM (2003). 「一次視覚皮質における複雑受容野」 . Neuroscientist . 9 (5): 317–31 . doi : 10.1177/1073858403252732 . PMC 2556291. PMID 14580117 .  
  5. ^ De Valois, RL; De Valois, KK (1988). 『空間視覚』 ニューヨーク: オックスフォード大学出版局.
  6. ^ Issa NP, Trepel C, Stryker MP (2000). 「猫の視覚皮質における空間周波数マップ」 . The Journal of Neuroscience . 20 (22): 8504– 8514. doi : 10.1523/JNEUROSCI.20-22-08504.2000 . PMC 2412904. PMID 11069958 .  
  7. ^ Teller, DY (1984). 「命題の連結」. Vision Research . 24 (10): 1233– 1246. doi : 10.1016/0042-6989(84) 90178-0 . PMID 6395480. S2CID 6146565 .  
  8. ^ Glezer, VD (1995). 視覚と心：精神機能のモデル化. Lawrence Erlbaum Associates, Inc. https://doi.org/10.4324/9780203773932
  9. ^ Barghout, Lauren (2014). 『ビジョン：グローバルな知覚的文脈が局所的なコントラスト処理をどのように変化させるか』（博士論文 2003年）. Computer Vision Techniques 向けに改訂. Scholars' Press. ISBN 978-3-639-70962-9。
  10. ^ウェストハイマー、G.「視覚のフーリエ理論」
  11. ^ Blake, R. および Sekuler, R., Perception、第3版、第3章。ISBN 978-0-072-88760-0
  12. ^ピネル、JPJ、生物心理学、第 6 版。 293–294。 ISBN 0-205-42651-4
  13. ^ Bar M (2004年8月). 「文脈における視覚的オブジェクト」. Nat. Rev. Neurosci . 5 (8): 617–29 . doi : 10.1038/nrn1476 . PMID 15263892. S2CID 205499985 .  
  14. ^ Awasthi B, Friedman J, Williams MA (2011). 「より速く、より強く、左右対称：低空間周波数情報は顔認識をサポートする」Neuropsychologia . 49 (13): 3583– 3590. doi : 10.1016/j.neuropsychologia.2011.08.027 . PMID 21939676 . S2CID 10037045 .  
  15. ^ Ben-Yehudah G, Ahissar M (2004年5月). 「成人失読症患者における連続空間周波数弁別は一貫して障害されている」 . Vision Res . 44 (10): 1047–63 . doi : 10.1016 / j.visres.2003.12.001 . PMID 15031099. S2CID 12605281 .  
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