巡回部分空間

数学、特に線型代数学と関数解析において、巡回部分空間（しゅうこうぶんきょう）とは、ベクトル空間内のベクトルとベクトル空間の線型変換に付随する、ベクトル空間の特定の部分空間である。ベクトル空間V内のベクトルvとVの線型変換Tに付随する巡回部分空間は、 vによって生成されるT -巡回部分空間と呼ばれる。巡回部分空間の概念は、線型代数学における巡回分解定理の定式化における基本的な構成要素である。

意味

をベクトル空間の線型変換とし、をのベクトルとする。によって生成される の巡回部分空間はと表記され、ベクトルの集合 によって生成されるの部分空間である。が位相ベクトル空間である場合、がに稠密であればはの巡回ベクトルと呼ばれる。有限次元空間の特定のケースでは、これはが空間 全体であると言うことと同値である。 ^[1]${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Z(v;T)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{v,T(v),T^{2}(v),\ldots ,T^{r}(v),\ldots \}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z(v;T)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Z(v;T)}$ ${\displaystyle V}$

巡回空間には、これと等価な別の定義がある。を体上の位相ベクトル空間の線型変換とし、を のベクトルとする。 が上の の多項式環に含まれる多項式であるとき、の形のベクトル全体の集合はによって生成される -巡回部分空間である。^[1]${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g(T)v}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle v}$

部分空間はの意味で の不変部分空間です。 ${\displaystyle Z(v;T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle TZ(v;T)\サブセット Z(v;T)}$

例

1. 任意のベクトル空間と上の任意の線形演算子に対して、零ベクトルによって生成される -巡回部分空間は の零部分空間です。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$
2. が恒等演算子である場合、すべての-巡回部分空間は 1 次元です。${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$
3. ${\displaystyle Z(v;T)}$ が 1 次元である場合、かつ が の特性ベクトル(固有ベクトル) である場合に限ります。${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$
4. を2次元ベクトル空間とし、を の標準順序基底に対する行列によって表される上の線型演算子とします。 とします。すると となります。したがって となり、 となります。したがって はの巡回ベクトルとなります。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle Tv={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad T^{2}v=0,\ldots ,T^{r}v=0,\ldots }$ ${\displaystyle \{v,T(v),T^{2}(v),\ldots ,T^{r}(v),\ldots \}=\left\{{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\right\}}$ ${\displaystyle Z(v;T)=V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$

コンパニオンマトリックス

を体上の次元ベクトル空間の線型変換とし、をの巡回ベクトルとする。このとき、ベクトル ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle B=\{v_{1}=v,v_{2}=Tv,v_{3}=T^{2}v,\ldots v_{n}=T^{n-1}v\}}$

の順序基底を形成する。 の特性多項式を ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$ 。

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}Tv_{1}&=v_{2}\\Tv_{2}&=v_{3}\\Tv_{3}&=v_{4}\\\vdots &\\Tv_{n-1}&=v_{n}\\Tv_{n}&=-c_{0}v_{1}-c_{1}v_{2}-\cdots c_{n-1}v_{n}\end{aligned}}}$

したがって、順序基底を基準として、演算子は行列で表される。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&-c_{0}\\1&0&0&\ldots &0&-c_{1}\\0&1&0&\ldots &0&-c_{2}\\\vdots &&&&&\\0&0&0&\ldots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}}$

この行列は多項式 の伴行列と呼ばれる。^[1]${\displaystyle p(x)}$

参照

• コンパニオンマトリックス
• クリロフ部分空間

外部リンク

• PlanetMath: 巡回部分空間

参考文献

1. ホフマン, ケネス;クンツェ, レイ(1971).線形代数（第2版）. イングルウッド・クリフス, ニュージャージー: プレンティス・ホール社. p. 227. ISBN 9780135367971. MR  0276251。