循環順序グループ​​
グループ演算によって尊重される巡回順序を持つグループ

数学において、巡回順序群とは、群構造と巡回順序の両方を持ち、左乗算と右乗算の両方で巡回順序が保持される 集合のことです。

巡回順序群は、 1947年にラディスラフ・リーガーによって初めて深く研究されました。[1]巡回群は、無限巡回群Zと有限巡回群Z / nといった巡回群の一般化です。線型順序は巡回順序を誘導するため、巡回順序群は線型順序群の一般化でもあります。有理数Q、実数Rなどです。巡回順序群の中でも最も重要なものは、どちらのカテゴリにも当てはまりません。例えば、円群Tとその部分群（有理点の部分群など）です。

線型群の商

巡回順序群を商として描くのは自然である。Z n = Z / n Z 、 T = R / Z となる。Zのような線型群であっても、円状に曲げるとZ 2 / Zと考えることができる。Rieger (1946, 1947, 1948) は、この描像が一般的な現象であることを示した。任意の順序群Lと、Lの共終部分群Zを生成する任意の中心元zに対して、商群L / Zは巡回順序群となる。さらに、すべての巡回順序群は、そのような商群として表すことができる。[2]

円群

シュフィエルチコフスキー（1959a）は、リーガーの結果を別の方向から発展させました。巡回順序群Kと順序群Lが与えられたとき、積K × Lは巡回順序群です。特に、Tが円群でLが順序群である場合、 T × Lの任意の部分群は巡回順序群です。さらに、すべての巡回順序群は、 Tとのそのような積の部分群として表すことができます。[3]

アルキメデスの線型順序群との類推により、アルキメデスの巡回順序群は、任意の正の整数nに対して[e, x n , y ]となる元x , yのペアを含まない群として定義できます。[3]正のnのみが考慮されるため、これは線型順序群よりも強い条件です。例えば、 Z はもはやこの条件を満たしません。なぜなら、任意のnに対して[0, n , −1]となるからです。

シュフィエルチコフスキの証明の系として、すべてのアルキメデスの巡回順序群はT自身の部分群である。[3]この結果は、すべてのアルキメデスの線型順序群はRの部分群であるというオットー・ヘルダーの1901年の定理に類似している。[4]

トポロジー

すべてのコンパクト巡回順序群はTの部分群である

グルシャンコフ（1993）は、巡回順序群の特定のサブカテゴリである「弱単位を持つ射影可能なIc群」が、MV代数の特定のサブカテゴリである「射影可能なMV代数」と同値であることを示した。 [5]

注

  1. ^ Pecinová-Kozáková 2005, p. 194.
  2. ^ Świerczkowski 1959a, p. 162
  3. ^ abc Świerczkowski 1959a、161–162ページ。
  4. ^ Hölder 1901、Hofmann & Lawson 1996、19、21、37ページより引用
  5. ^ グルシャンコフ 1993、261ページ。

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