円分的同一性

数学において、円分恒等式は次のように述べられる。

${\displaystyle {1 \over 1-\alpha z}=\prod _{j=1}^{\infty }\left({1 \over 1-z^{j}}\right)^{M(\alpha ,j)}}$

ここでMはモローのネックレスカウント関数であり、

${\displaystyle M(\alpha ,n)={1 \over n}\sum _{d\,|\,n}\mu \left({n \over d}\right)\alpha ^{d},}$

μは数論における典型的なメビウス関数です。

名前は、 円分多項式の積である分母 1 − z ^jに由来します。  

円分恒等式の左辺はα生成元上の自由結合代数の生成関数であり、右辺はα生成元上の自由リー代数の普遍包絡代数の生成関数である。円分恒等式は、これら2つの代数が同型であることを証明している。

ストレールによって発見された円分恒等式の対称的な一般化も存在する。

${\displaystyle \prod _{j=1}^{\infty }\left({1 \over 1-\alpha z^{j}}\right)^{M(\beta ,j)}=\prod _{j=1}^{\infty }\left({1 \over 1-\beta z^{j}}\right)^{M(\alpha ,j)}}$

参考文献

• Metropolis, N.; Rota, Gian-Carlo (1984)「円分恒等式」、Greene, Curtis (編)『組合せ論と代数』（コロラド州ボルダー、1983年）。1983年6月5日～11日にコロラド州ボルダーで開催されたAMS-IMS-SIAM合同夏季研究会議の議事録。Contemp. Math.、第34巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp.  19～ 27、ISBN 978-0-8218-5029-9、MR  0777692